Arealsetningen og eksakt verdi for sinus til 120 grader

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

|350

Arealet av trekanten ovenfor er $12$ .

Bruk dette til å vise at

\sin 120^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}

Fasit

$\sin 120^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

LøsningsforslagKI-generert

Trekanten har to kjente sider, $2 \sqrt{3}$ og $8$ , med vinkelen $120^{\circ}$ mellom dem. Da kan vi bruke arealsetningen:

T = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin C

Vi setter inn $a = 2 \sqrt{3}$ , $b = 8$ , $C = 120^{\circ}$ og $T = 12$ :

12 = \frac{1}{2} \cdot 2 \sqrt{3} \cdot 8 \cdot \sin 120^{\circ}

Vi forenkler høyresiden:

12 = 8 \sqrt{3} \cdot \sin 120^{\circ}

Vi løser for $\sin 120^{\circ}$ ved å dele begge sider på $8 \sqrt{3}$ :

\sin 120^{\circ} = \frac{12}{8 \sqrt{3}} = \frac{3}{2 \sqrt{3}}

Til slutt rasjonaliserer vi nevneren ved å multiplisere med $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ :

\sin 120^{\circ} = \frac{3}{2 \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{3 \sqrt{3}}{2 \cdot 3} = \frac{\sqrt{3}}{2}

Vi har dermed vist at

\sin 120^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}

Oppgavedata

Hentet fra: 1T V2019, del 1, oppgave 12
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Geometri, Trigonometri, Arealsetningen, Eksakte verdier

Innstillinger