Areal av trekant i sirkel

Oppsett for hånd

Sirkel med sentrum S og innskrevet trekant ABC. Stiplede radier med lengde r går fra S til A, B og C. Vinkelen mellom SB og SC er merket som rett vinkel, og vinkel SBA er 30 grader.

Punktene $A, B$ og $C$ ligger på en sirkel med sentrum i $S$ og radius $r$ .

$∠ S B A = 30^{\circ}$ og $∠ B S C = 90^{\circ}$

Arealet av $△ A B C$ er $2 \sqrt{3} + 6$

Se figuren ovenfor.

Bestem en eksakt verdi for $r$ .

Fasit

$r = 2 \sqrt{2}$

Løsningsforslag

Jeg ser at $△ S B C$ og $△ A B S$ er likebeinte trekanter med to sider med lengde $r$ .

Jeg har fått oppgitt arealet $A = 2 \sqrt{3} + 6$ , derfor ønsker jeg å bruke arealsetningen til å bestemme $r$ . Jeg ser at det er mulig å bruke arealsetningen med $B C$ , $A B$ og $∠ B$ .

Del 2 oppgave 5. Skisse av figuren
CAS-utklipp: linje 1 gir BC := kvadratroten av r² + r², som blir √2·abs(r). Linje 2 gir AB := kvadratroten av r² + r² − 2·r·r·cos(120°), som blir √3·abs(r). Linje 3 definerer A := ½·BC·AB·sin(30° + 45°), som blir ¼·r²·(√3 + 3). Linje 4 løser A = 2√3 + 6 og gir r = −2√2 eller r = 2√2.

For å bestemme $B C$ brukte jeg pytagoras i linje 1 og fant $B C = \sqrt{2} | r |$ . Dette er lik $\sqrt{2} r$ siden radius alltid må være positiv.

For å bestemme $A B$ fant jeg først vinkelen $∠ S A B = ∠ S B A = 30 °$ siden $△ A B S$ er likebeint. Da må $∠ A S B = 120 °$ . Deretter brukte jeg cosinussetningen i linje 2 på trekant $A B S$ med $A B$ som den ukjente siden. Igjen kan vi se bort fra negative løsninger og $A B = \sqrt{3} r$ .

Siden $△ S B C$ er rettvinklet og likebeint må $∠ S B C = 45 °$ . Jeg satt derfor opp arealsetningen på $△ A B C$ i linje 3 og løste likningen med det oppgitte arealet i linje 4.

r = 2 \sqrt{2}

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 4 poeng

I utgangspunktet får kandidaten 1 poeng for hver riktig sammenheng som brukes i beregningene.

Oppgavedata

Hentet fra: 1T V2023, del 2, oppgave 5
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 4
Temaer: Trigonometri, Cosinussetningen, Arealsetningen, CAS
Kompetansemål: Bruke trigonometri til å analysere og løyse samansette teoretiske og praktiske problem med lengder, vinklar og areal
Grunngi sinus-, cosinus- og arealsetninga

Areal av trekant i sirkel

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Areal av trekant i sirkel

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Areal av trekant i sirkel

Areal av trekant i sirkel

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer