Areal av trekant i sirkel

Sirkel med sentrum S og innskrevet trekant ABC. Stiplede radier med lengde r går fra S til A, B og C. Vinkelen mellom SB og SC er merket som rett vinkel, og vinkel SBA er 30 grader.

Punktene $A, B$ og $C$ ligger på en sirkel med sentrum i $S$ og radius $r$ .

$\angle S B A=30^{\circ}$ og $\angle B S C=90^{\circ}$

Arealet av $\triangle A B C$ er $2 \sqrt{3}+6$

Se figuren ovenfor.

Bestem en eksakt verdi for $r$ .

Løsningsforslag

Jeg ser at $\triangle SBC$ og $\triangle ABS$ er likebeinte trekanter med to sider med lengde $r$ .

Jeg har fått oppgitt arealet $A=2\sqrt{ 3 }+6$ , derfor ønsker jeg å bruke arealsetningen til å bestemme $r$ . Jeg ser at det er mulig å bruke arealsetningen med $BC$ , $AB$ og $\angle B$ .

Del 2 oppgave 5. Skisse av figuren
CAS-utklipp: linje 1 gir BC := kvadratroten av r² + r², som blir √2·abs(r). Linje 2 gir AB := kvadratroten av r² + r² − 2·r·r·cos(120°), som blir √3·abs(r). Linje 3 definerer A := ½·BC·AB·sin(30° + 45°), som blir ¼·r²·(√3 + 3). Linje 4 løser A = 2√3 + 6 og gir r = −2√2 eller r = 2√2.

For å bestemme $BC$ brukte jeg pytagoras i linje 1 og fant $BC=\sqrt{ 2 } |r|$ . Dette er lik $\sqrt{ 2 }r$ siden radius alltid må være positiv.

For å bestemme $AB$ fant jeg først vinkelen $\angle SAB=\angle SBA=30\degree$ siden $\triangle ABS$ er likebeint. Da må $\angle ASB=120\degree$ . Deretter brukte jeg cosinussetningen i linje 2 på trekant $ABS$ med $AB$ som den ukjente siden. Igjen kan vi se bort fra negative løsninger og $AB=\sqrt{ 3 }r$ .

Siden $\triangle SBC$ er rettvinklet og likebeint må $\angle SBC=45\degree$ . Jeg satt derfor opp arealsetningen på $\triangle ABC$ i linje 3 og løste likningen med det oppgitte arealet i linje 4.

\underline{\underline{r=2\sqrt{ 2 }}}

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 4 poeng

I utgangspunktet får kandidaten 1 poeng for hver riktig sammenheng som brukes i beregningene.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 4
Temaer: Trigonometri, Cosinussetningen, Arealsetningen, Cas
Kompetansemål: Bruke trigonometri til å analysere og løyse samansette teoretiske og praktiske problem med lengder, vinklar og areal
Grunngi sinus-, cosinus- og arealsetninga

Areal av trekant i sirkel

Sync på tvers av enheter

Areal av trekant i sirkel

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave