Areal av sideflaten i avkortet pyramide

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Figuren viser en rett avkortet pyramide med hjørner i punktene $O (0,0,0)$ , $A (4,0,0)$ , $B (4,4,0)$ , $C (0,4,0)$ , $D (1,1,3)$ , $E (3,1,3)$ , $F (3,3,3)$ og $G (1,3,3)$ .

Bruk vektorregning til å bestemme arealet av sideflaten $B C G F$ .

Avkortet pyramide

Fasit

$3 \sqrt{10} \approx 9,49$

LøsningsforslagKI-generert

Vi deler trapeset $B C G F$ i to trekanter ved diagonalen $B G$ : trekant $B C G$ og trekant $B F G$ .

Trekant $B C G$

Vi finner vektorene fra $B (4,4,0)$ :

\vec{B C} = C - B = (0 - 4, 4 - 4, 0 - 0) = (- 4, 0, 0)

\vec{B G} = G - B = (1 - 4, 3 - 4, 3 - 0) = (- 3, - 1, 3)

Kryssprodukt:

\vec{B C} \times \vec{B G} = | \begin{matrix} 𝐢 & 𝐣 & 𝐤 \\ - 4 & 0 & 0 \\ - 3 & - 1 & 3 \end{matrix} |

= (0 \cdot 3 - 0 \cdot (- 1), 0 \cdot (- 3) - (- 4) \cdot 3, (- 4) \cdot (- 1) - 0 \cdot (- 3)) = (0, 12, 4)

| \vec{B C} \times \vec{B G} | = \sqrt{0^{2} + 12^{2} + 4^{2}} = \sqrt{160} = 4 \sqrt{10}

T_{B C G} = \frac{4 \sqrt{10}}{2} = 2 \sqrt{10}

Trekant $B F G$

Vi finner vektoren fra $B (4,4,0)$ til $F (3,3,3)$ :

\vec{B F} = F - B = (3 - 4, 3 - 4, 3 - 0) = (- 1, - 1, 3)

Kryssprodukt med $\vec{B G} = (- 3, - 1, 3)$ :

\vec{B G} \times \vec{B F} = | \begin{matrix} 𝐢 & 𝐣 & 𝐤 \\ - 3 & - 1 & 3 \\ - 1 & - 1 & 3 \end{matrix} |

= ((- 1) \cdot 3 - 3 \cdot (- 1), 3 \cdot (- 1) - (- 3) \cdot 3, (- 3) \cdot (- 1) - (- 1) \cdot (- 1)) = (0, 6, 2)

| \vec{B G} \times \vec{B F} | = \sqrt{0^{2} + 6^{2} + 2^{2}} = \sqrt{40} = 2 \sqrt{10}

T_{B F G} = \frac{2 \sqrt{10}}{2} = \sqrt{10}

Samlet areal

T_{B C G F} = T_{B C G} + T_{B F G} = 2 \sqrt{10} + \sqrt{10} = 𝟑 \sqrt{𝟏𝟎} \approx 𝟗,𝟒𝟗

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 2 poeng

For å få full uttelling, må kandidaten bruke relevant vektorregning. Kandidater som regner ut arealet uten å bruke vektorregning, kan få 1 poeng.

Oppgavedata

Hentet fra: R2 H2023, del 1, oppgave 6
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Vektorer, Areal og omkrets, Geometri
Kompetansemål: Utforske og forstå regneregler for vektorer i rommet, og bruke vektorer til å beregne ulike størrelser i rommet

Areal av sideflaten i avkortet pyramide

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Areal av sideflaten i avkortet pyramide

Lov på eksamen

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Areal av sideflaten i avkortet pyramide

Areal av sideflaten i avkortet pyramide

Lov på eksamen

Temaer