Skjæringspunktene med $x$-aksen finner vi ved å løse $f(x)=a{x}^2+bx+c=0$. Fra annengradsformelen er løsningene

Siden $a<0$ og $c>0$, er $ac<0$, slik at $-4ac>0$ og dermed

Diskriminanten er altså alltid positiv, så likningen har to reelle løsninger uansett hvilke $a$, $b$, $c$ vi velger (så lenge $a<0$ og $c>0$). Det stemmer med skissen, der grafen skjærer $x$-aksen i to punkter.

Vi må avgjøre hvilken løsning som ligger til venstre. La $D=b^2-4ac>0$. De to røttene er

I telleren er $-b+\sqrt{D}>-b-\sqrt{D}$ siden $\sqrt{D}>0$. Men $a<0$, så når vi deler begge sider på $2a$ (et negativt tall), snur ulikheten:

Altså er $x_1<x_2$, som betyr at punktet med $+\sqrt{D}$ i telleren ligger lengst til venstre. Dette er nettopp punktet $P$, mens punktet med $-\sqrt{D}$ er $Q$. Dermed er

med $P$ til venstre for $Q$, slik oppgaven ber om.

Toppunktet $R$ har $x$-koordinat $x_R=-{\displaystyle \frac{b}{2a}}$, og $y$-koordinaten $y_R=f(x_R)$ blir (etter forenkling)

Siden $a<0$, er $y_R>0$ — toppunktet ligger over $x$-aksen, som stemmer med skissen.

Trekanten $PQR$ har grunnlinje $PQ$ langs $x$-aksen og høyde $y_R$ opp til $R$. Grunnlinjen har lengde

som er positiv siden $a<0$. Arealet av trekanten blir da

som er formelen vi skulle vise.

Vi kontrollerer denne strategien i CAS med et konkret talleksempel, $f(x)=-x^2+2x+3$ (her er $a=-1$, $b=2$, $c=3$, som oppfyller $a<0$ og $c>0$). Da blir $P(-\mathrm{1,0})$, $Q(\mathrm{3,0})$ og $R(\mathrm{1,4})$, og

I formelen: $D=b^2-4ac=4+12=16$, så $T_1={\displaystyle \frac{16\sqrt{16}}{8\cdot 1}}={\displaystyle \frac{64}{8}}=8$. Dette stemmer, se T_1 i CAS-utklippet under.

Arealet $T_2$ mellom grafen og $x$-aksen er det bestemte integralet av $f$ fra $x_P$ til $x_Q$ (siden $f(x)\ge 0$ mellom røttene, fordi $a<0$):

Ved å skrive $f(x)=a(x-x_P)(x-x_Q)$ og bruke standardresultatet ${\displaystyle {\int }_{x_P}^{x_Q}a(x-x_P)(x-x_Q)\mathrm{d}x=-\frac{a}{6}{(x_Q-x_P)}^3}$, får vi med $x_Q-x_P=-{\displaystyle \frac{\sqrt{D}}{a}}$:

For talleksemplet: $T_2={\displaystyle {\int }_{-1}^3(-x^2+2x+3)\mathrm{d}x}$. CAS gir T_2 := 32/3, se utklippet under. Kontroll med formelen: $T_2={\displaystyle \frac{16\sqrt{16}}{6}}={\displaystyle \frac{64}{6}}={\displaystyle \frac{32}{3}}$ — stemmer.

Forholdet mellom arealene blir

Forholdet er altså konstant lik ${\displaystyle \frac{3}{4}}$, uavhengig av $a$, $b$ og $c$. CAS bekrefter dette for talleksemplet: Forhold := 3/4 (se bilde under).

Dette er for øvrig et spesialtilfelle av Arkimedes’ setning om parabelsegmenter: arealet mellom en parabel og en korde (her $x$-aksen) er $\frac{4}{3}$ ganger arealet av trekanten med samme grunnlinje og toppunkt i det punktet på parabelen der tangenten er parallell med korden (her toppunktet $R$, der tangenten er horisontal).