Andregradsfunksjon areal kun avhengig av differansen CAS

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En funksjon $f$ er gitt ved

f (x) = a x^{2} + b x + c, D_{f} = ℝ

Et område er avgrenset av grafen til $f$ og en rett linje. Skjæringspunktene mellom grafen til $f$ og den rette linjen har $x$ -koordinater $p$ og $q$ . Se skissen nedenfor.

Areal mellom andregradsfunksjon og sekant

Bruk CAS til å vise at arealet som er begrenset av grafen til $f$ og den rette linjen bare er avhengig av differansen $p - q$ og $a$ (eller differansen $q - p$ og $a$ ).

Fasit

$A = \frac{| a |}{6} \cdot | q - p |^{3}$ , altså arealet avhenger bare av $a$ og differansen $q - p$ .

LøsningsforslagKI-generert

Vi lar $f (x) = a x^{2} + b x + c$ og lar $l (x)$ være den rette linjen (sekanten) gjennom punktene $(p, f (p))$ og $(q, f (q))$ på grafen til $f$ . Stigningstallet til sekanten er $\frac{f (q) - f (p)}{q - p}$ , så

l (x) = f (p) + \frac{f (q) - f (p)}{q - p} (x - p)

Vi bruker CAS til å finne differansen $f (x) - l (x)$ og deretter det bestemte integralet av denne differansen fra $p$ til $q$ , som gir arealet mellom grafen og sekanten.

CAS-utregning

Fra linje 3 i CAS-utklippet ser vi at

f (x) - l (x) = a (p - x) (q - x)

Dette er ikke uventet: $f (x) - l (x)$ er et andregradsuttrykk med samme ledende koeffisient $a$ som $f$ , og det er null nettopp for $x = p$ og $x = q$ (skjæringspunktene).

Fra linje 5 ser vi at det bestemte integralet av differansen blir

\int_{p}^{q} (f (x) - l (x)) d x = \frac{a}{6} {(p - q)}^{3}

Arealet mellom grafen og sekanten er tallverdien av dette integralet:

A = | \frac{a}{6} {(p - q)}^{3} | = \frac{| a |}{6} \cdot | q - p |^{3}

Uttrykket for arealet inneholder altså kun koeffisienten $a$ og differansen $q - p$ (eventuelt $p - q$ , siden $| p - q | = | q - p |$ ) — verken $b$ , $c$ , $p$ og $q$ hver for seg, eller plasseringen av intervallet på $x$ -aksen har noen betydning for arealet. Dermed er påstanden vist.

Oppgavedata

Hentet fra: R2 E2015, del 2, oppgave 6
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 3
Temaer: Integrasjon, Bestemt integral, CAS, Argumentasjon

Andregradsfunksjon areal kun avhengig av differansen CAS

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Andregradsfunksjon areal kun avhengig av differansen CAS

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Andregradsfunksjon areal kun avhengig av differansen CAS

Andregradsfunksjon areal kun avhengig av differansen CAS

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer