Andre ordens differensiallikning R2 H16

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Vi har gitt differensialligningen

y^{''} - 4 y^{'} - 5 y = 0

Vis at $y = e^{r x}$ er en løsning til differensialligningen når $r^{2} - 4 r - 5 = 0$ .

Bestem den generelle løsningen til differensialligningen.

Bestem den spesielle løsningen som tilfredsstiller betingelsene $y (0) = 6$ og $y^{'} (0) = 0$ .

Fasit

Se løsningsforslag.

$y = C_{1} e^{5 x} + C_{2} e^{- x}$

$y = e^{5 x} + 5 e^{- x}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi setter $y = e^{r x}$ inn i differensiallikningen. Da er

y^{'} = r \cdot e^{r x} y^{''} = r^{2} \cdot e^{r x}

Innsatt i $y^{''} - 4 y^{'} - 5 y = 0$ gir dette

r^{2} e^{r x} - 4 r e^{r x} - 5 e^{r x} = 0

e^{r x} (r^{2} - 4 r - 5) = 0

Siden $e^{r x} \neq 0$ for alle $x$ , må $r^{2} - 4 r - 5 = 0$ . Dermed er $y = e^{r x}$ en løsning nettopp når $r$ tilfredsstiller den karakteristiske likningen $r^{2} - 4 r - 5 = 0$ .

Vi løser den karakteristiske likningen ved faktorisering:

r^{2} - 4 r - 5 = 0

(r - 5) (r + 1) = 0

r = 5 \lor r = - 1

Siden vi får to reelle, ulike røtter, blir den generelle løsningen

y = C_{1} e^{5 x} + C_{2} e^{- x}

Vi deriverer den generelle løsningen:

y^{'} = 5 C_{1} e^{5 x} - C_{2} e^{- x}

Setter inn startbetingelsene. $y (0) = 6$ gir

C_{1} + C_{2} = 6

$y^{'} (0) = 0$ gir

5 C_{1} - C_{2} = 0 \Rightarrow C_{2} = 5 C_{1}

Setter inn i den første likningen:

C_{1} + 5 C_{1} = 6

6 C_{1} = 6 \Rightarrow C_{1} = 1

Dermed er $C_{2} = 5 \cdot 1 = 5$ . Den spesielle løsningen blir

y = e^{5 x} + 5 e^{- x}

Oppgavedata

Hentet fra: R2 H2016, del 1, oppgave 5
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: Differensiallikning, Eksponentialfunksjon

Andre ordens differensiallikning R2 H16

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Andre ordens differensiallikning R2 H16

Lov på eksamen

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Andre ordens differensiallikning R2 H16

Andre ordens differensiallikning R2 H16

Lov på eksamen

Temaer