Tannpuss i romskip, vindmøllespole, pardanning og sampling

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Et romskip beveger seg med svært høy hastighet i forhold til en observatør på jorda. Trude er om bord i romskipet og måler hvor lang tid det tar for henne å pusse tenner.

Trude om bord i et romskip

Bruk spesiell relativitetsteori til å forklare hvorfor observatøren på jorda måler en annen tid for den samme hendelsen.

En enkel vindmølle består av en propell, en aksling og en spole. Når propellen dreies, sørger akslingen for at spolen dreier like mye.

Vindmølle med propell, aksling og spole med N = 200 vindinger i magnetfelt inn i papiret

Spolen har et tverrsnittareal på $0,0050 m^{2}$ og har $N = 200$ vindinger. Spolen roterer med konstant vinkelfart i et homogent magnetfelt med flukstetthet $B = 0,10 T$ .

Hva er maksimalverdien for fluksen gjennom spolen?

Hvilken strømretning får vi i spolen når den dreies litt videre fra posisjonen vist i figuren ovenfor? Er det da viktig å vite hvilken vei spolen dreies? Propellen gjør 5 omdreiinger på ett sekund.

Hva er maksimalverdi for den elektromotoriske spenningen i spolen?

I pardanning kan et foton omdannes til et elektron-positron-par.

Skriv en reaksjonsligning for denne prosessen.

Bestem et uttrykk for den største bølgelengden fotonet kan ha for at denne reaksjonen skal skje.

Figuren nedenfor viser en sinustone og det samplede signalet. De svarte punktene viser de samplede verdiene.

Sinustone og samplet signal der de svarte punktene er de samplede verdiene

Bestem samplingsfrekvensen.

Forklar hva som skjer med det samplede signalet.

Fasit

Lysfarten er den samme for alle observatører. Tannpussen skjer på ett sted i romskipet, så Trude måler egentiden $t_{0}$ , mens observatøren på jorda måler en lengre tid $t = γ t_{0}$ .

1) $Φ_{maks} = 5,0 \cdot 10^{- 4} W b$ 2) Med klokka sett fra samme side som i figuren. Det spiller ingen rolle hvilken vei spolen dreies. 3) $ε_{maks} = π V \approx 3,1 V$

1) $γ \to e^{-} + e^{+}$ 2) $λ_{maks} = \frac{h}{2 m_{e} c}$

1) $f_{s} = 800 H z$ 2) Samplingsfrekvensen er lavere enn det dobbelte av tonefrekvensen ( $1000 H z$ ), så vi får aliasing: Det samplede signalet blir en tone på $200 H z$ .

LøsningsforslagKI-generert

Et av postulatene i den spesielle relativitetsteorien er at lysfarten i vakuum er den samme, $c$ , for alle observatører i inertialsystemer, uavhengig av hvordan de beveger seg i forhold til hverandre.

Tenk deg at Trude har med en lysklokke der en lyspuls går loddrett fram og tilbake mellom to speil med avstand $L$ . For Trude går pulsen rett opp og ned, og ett tikk tar $t_{0} = \frac{2 L}{c}$ . For observatøren på jorda beveger klokka seg sidelengs mens pulsen er underveis, så pulsen går en lengre, skrå vei mellom speilene. Siden lyset har samme fart $c$ også for jordobservatøren, må hvert tikk ta lengre tid for henne. Pytagoras gir

t = \frac{t_{0}}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}} = γ t_{0}

Alle prosesser i romskipet, også tannpussen, må gå i samme takt som klokka, ellers kunne Trude merke at hun beveger seg. Tannpussen starter og slutter på samme sted i romskipet, så Trude måler egentiden $t_{0}$ . Observatøren på jorda måler en lengre tid $t = γ t_{0}$ (tidsdilatasjon).

Fluksen gjennom spolen er størst når spolens plan står normalt på feltet, slik som i figuren. Da er

Φ_{maks} = B A = 0,10 T \cdot 0,0050 m^{2} = 5,0 \cdot 10^{- 4} W b

Dette er fluksen gjennom hver vinding. Den samlede fluksen gjennom alle de 200 vindingene er $N Φ_{maks} = 0,10 W b$ .

I posisjonen i figuren er fluksen inn i papiret størst. Dreies spolen litt videre, blir vinkelen mellom spoleplanet og feltet mindre enn $90 °$ , og fluksen inn i papiret minker. Etter Lenz’ lov går den induserte strømmen slik at den motvirker endringen, altså slik at den lager et felt inn i papiret inni spolen. Det gir strøm med klokka sett fra samme side som i figuren.

Det er ikke viktig å vite hvilken vei spolen dreies. Fluksen er størst i utgangsposisjonen, så den minker uansett hvilken vei spolen dreies, og strømretningen blir den samme.

Med konstant vinkelfart $ω$ er fluksen $Φ = B A \cos (ω t)$ , og den induserte spenningen er

ε = - N Φ^{'} (t) = N B A ω \sin (ω t)

Propellen gjør 5 omdreininger per sekund, så $f = 5,0 H z$ og $ω = 2 π f = 10 π s^{- 1}$ . Maksimalverdien er

ε_{maks} = N B A ω = 200 \cdot 0,10 T \cdot 0,0050 m^{2} \cdot 10 π s^{- 1} = 0,10 \cdot 10 π V = π V \approx 3,1 V

Fotonet omdannes til et elektron og et positron:

γ \to e^{-} + e^{+}

Ladning ( $0 = - 1 + 1$ ) og leptontall ( $0 = 1 + (- 1)$ ) er bevart. For at også bevegelsesmengden skal være bevart, må prosessen skje nær en atomkjerne som tar opp litt bevegelsesmengde.

Fotonet må minst ha nok energi til å lage hvilemassen til de to partiklene. Kjernen er så tung at den tar opp nesten ingen energi, så grensen er

E_{foton} \geq 2 m_{e} c^{2}

Energien til fotonet er $E_{foton} = \frac{h c}{λ}$ . Større bølgelengde gir mindre energi, så den største bølgelengden hører til den minste energien:

\frac{h c}{λ_{maks}} = 2 m_{e} c^{2} \Rightarrow λ_{maks} = \frac{h}{2 m_{e} c}

De samplede punktene ligger ved $t = 0,00125 s$ , $0,0025 s$ , $0,00375 s$ , $0,0050 s$ og så videre. Tiden mellom to samplinger er $T_{s} = 0,00125 s$ , så samplingsfrekvensen er

f_{s} = \frac{1}{T_{s}} = \frac{1}{0,00125 s} = 800 H z

Sinustonen (den blå kurven) har periode $0,0010 s$ , altså frekvensen $f = 1000 H z$ . Samplingsteoremet (Nyquist) sier at vi må sample med minst dobbelt så høy frekvens som den høyeste frekvensen i signalet, her $2 \cdot 1000 H z = 2000 H z$ , for å kunne gjenskape signalet.

Samplingsfrekvensen er bare $800 H z$ , så vi får ikke med oss hver svingning. Tonen gjør litt mer enn én hel svingning mellom hver sampling, og punktene havner på en langsommere sinuskurve (den oransje). Denne kurven har periode $0,0050 s$ , altså frekvensen $200 H z = 1000 H z - 800 H z$ . Når det samplede signalet spilles av, hører vi derfor en dypere tone på $200 H z$ i stedet for den opprinnelige tonen på $1000 H z$ . Dette kalles aliasing.

Vedlegg

Vedleggene i oppgavesettet til Fysikk 2 V2023. De kunne brukes på hele eksamen, også del 1 (om hjelpemidlene).

Åpne på egen side: Faktavedlegg · Formelvedlegg

Oppgavedata

Hentet fra: Fysikk 2 V2023, del 1, oppgave 2
Del: Del 1, uten hjelpemidler, med vedlegg — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker, passer, linjal og vinkelmåler
Vedlegg i oppgavesettet
Ingen kalkulator eller digitale verktøy. Vedleggene i oppgavesettet kan brukes på begge deler.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 12
Temaer: Relativitetsteori, Induksjon, Partikkelfysikk, Digitalisering

Tannpuss i romskip, vindmøllespole, pardanning og sampling

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Tannpuss i romskip, vindmøllespole, pardanning og sampling

Lov på eksamen

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Tannpuss i romskip, vindmøllespole, pardanning og sampling

Tannpuss i romskip, vindmøllespole, pardanning og sampling

Lov på eksamen

Temaer