Kule i fjærpendel og kule som faller gjennom hull i jorda

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Et svingesystem består av ei kule og ei horisontal elastisk fjær. Kula svinger fram og tilbake om likevektslinja. Massen til kula er $10 k g$ , og fjærkonstanten er $500 N / m$ . Fjæra strekkes $20 c m$ fra likevektsstillingen og slippes. Se bort fra friksjon.

Kule festet til horisontal fjær som svinger om likevektslinja

Kalkulator

Bestem den største farten kula får.

Vi tenker oss at vi graver et hull fra den ene siden av jordkloden til den andre. Vi slipper deretter ei kule med masse $10 k g$ ned i hullet. Det kan vises at summen av gravitasjonskreftene som virker på kula når den har en avstand $x$ fra jordas sentrum, er gitt ved

F (x) = k \cdot x hvor k = γ \frac{M m}{r^{3}} .

$M$ er massen til jorda, $m$ er massen til kula, og $r$ er radien til jorda.

Kule i et hull gjennom jorda i avstanden x fra sentrum

For hånd

Beskriv hvordan farten til kula endrer seg gjennom jorda.

For hånd

Bruk uttrykket for kraften $F$ til å finne et uttrykk for den potensielle energien til kula når den har en avstand $x$ fra jordas sentrum.

Kalkulator

Bestem den maksimale farten kula får når den faller gjennom jorda.

Fasit

$v_{maks} = 1,4 m / s$

Farten øker fra null ved overflata og er størst i jordas sentrum. Deretter avtar den symmetrisk til null ved overflata på den andre siden, og kula svinger fram og tilbake.

$E_{p} (x) = \frac{1}{2} k x^{2} = \frac{γ M m}{2 r^{3}} x^{2}$ (med $E_{p} = 0$ i sentrum)

$v_{maks} = 7,9 \cdot 10^{3} m / s$

LøsningsforslagKI-generert

Uten friksjon er den mekaniske energien bevart. I ytterstillingen er kula i ro, og all energi er elastisk potensiell energi $\frac{1}{2} k A^{2}$ , der $A = 0,20 m$ . I likevektsstillingen er fjæra ustrukket, og all energi er kinetisk. Der er farten størst:

\frac{1}{2} m v_{maks}^{2} = \frac{1}{2} k A^{2} \Rightarrow v_{maks} = A \sqrt{\frac{k}{m}}

v_{maks} = 0,20 m \cdot \sqrt{\frac{500 N / m}{10 k g}} = 1,41 m / s \approx 1,4 m / s

Kraften på kula peker hele tiden mot jordas sentrum og har størrelse $k x$ , altså proporsjonal med avstanden til sentrum. Den oppfører seg som en fjærkraft med sentrum som likevektsstilling.

Kula slippes fra ro ved overflata. På veien mot sentrum virker kraften i fartsretningen, så farten øker. Akselerasjonen $a = \frac{k x}{m}$ avtar mot null, så farten øker stadig langsommere.
I sentrum er kraften null, og farten er størst.
På den andre siden av sentrum virker kraften mot fartsretningen, så farten avtar, først langsomt og så raskere. Bevegelsen er symmetrisk, og kula stopper akkurat ved overflata på den andre siden.
Deretter faller kula tilbake. Uten friksjon svinger den fram og tilbake gjennom jorda i en harmonisk svingning, akkurat som kula i a.

Endringen i potensiell energi er lik minus arbeidet gravitasjonskraften gjør. Vi velger $E_{p} = 0$ i sentrum. Når kula flyttes fra sentrum ut til avstanden $x$ , peker kraften $k s$ inn mot sentrum og forflytningen utover. Kraften gjør da det negative arbeidet $- \int_{0}^{x} k s d s$ , og den potensielle energien øker tilsvarende:

E_{p} (x) = \int_{0}^{x} k s d s = {[\frac{1}{2} k s^{2}]}_{0}^{x} = \frac{1}{2} k x^{2}

Med $k = γ \frac{M m}{r^{3}}$ :

E_{p} (x) = \frac{1}{2} k x^{2} = \frac{γ M m}{2 r^{3}} x^{2}

Dette har samme form som elastisk potensiell energi i en fjær. Velger vi i stedet $E_{p} = 0$ ved overflata, blir $E_{p} (x) = \frac{1}{2} k (x^{2} - r^{2})$ . Det gir de samme energiendringene.

Kula slippes fra ro ved overflata ( $x = r$ ), og farten er størst i sentrum ( $x = 0$ ). Energibevaring:

\frac{1}{2} k r^{2} = \frac{1}{2} m v_{maks}^{2} \Rightarrow v_{maks} = r \sqrt{\frac{k}{m}} = r \sqrt{\frac{γ M}{r^{3}}} = \sqrt{\frac{γ M}{r}}

Massen til kula faller bort. Med jordas middelradius:

v_{maks} = \sqrt{\frac{6,67 \cdot 10^{- 11} N m^{2} / k g^{2} \cdot 5,974 \cdot 10^{24} k g}{6,371 \cdot 10^{6} m}} = 7,91 \cdot 10^{3} m / s \approx 7,9 \cdot 10^{3} m / s

Det er den samme farten som en satellitt ville hatt i en sirkelbane helt nede ved jordoverflata. Vi har sett bort fra luftmotstand og jordrotasjonen.

Vedlegg

Vedleggene i oppgavesettet til Fysikk 2 V2023. De kunne brukes på hele eksamen, også del 1 (om hjelpemidlene).

Åpne på egen side: Faktavedlegg · Formelvedlegg

Oppgavedata

Hentet fra: Fysikk 2 V2023, del 2, oppgave 7
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 8
Temaer: Fjærkraft, Energibevaring, Gravitasjon

Kule i fjærpendel og kule som faller gjennom hull i jorda

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Kule i fjærpendel og kule som faller gjennom hull i jorda

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Kule i fjærpendel og kule som faller gjennom hull i jorda

Kule i fjærpendel og kule som faller gjennom hull i jorda

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer