Kjeglependel for å bestemme tyngdeakselerasjonen

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En kjeglependel består av ei kule med masse $m$ og ei snor med lengde $L$ . Kula beveger seg med konstant banefart i en horisontal sirkel med radius $r$ . Du kan se bort fra luftmotstand og regne med at snora er masseløs.

Kjeglependel med snorlengde L, vinkel theta mot vertikalen og kule med masse m i horisontal sirkel med radius r

For hånd

Tegn en figur som viser kreftene som virker på kula. Finn et uttrykk for kreftene ved hjelp av $m$ og $θ$ .

For hånd

Vis at akselerasjonen til kula kan skrives både som $a = g \tan θ$ og $a = \frac{4 π^{2} L \sin θ}{T^{2}}$ , der $T$ er rundetiden.

En gruppe elever skal bruke en kjeglependel til å bestemme tyngdeakselerasjonen $g$ .

For hånd

Vis at $g = \frac{4 π^{2} L \cos θ}{T^{2}}$ .

Kula har masse $m = 10,0 g$ , og snora har lengde $L = 0,15 m$ . Elevene varierer farten på kula og gjør målinger med resultat som vist under.

$θ$ /grader	$30$	$40$	$50$	$60$
$T$ /s	$0,72$	$0,68$	$0,63$	$0,56$

Kalkulator

Bruk målingene til å bestemme en verdi for $g$ med usikkerhet.

Elevene øker farten helt til snorkraften er $3,0 N$ .

Kalkulator

Bruk $g = 9,81 m / s^{2}$ , og bestem farten til kula.

Fasit

Se kraftdiagram. $G = m g$ og $S = \frac{m g}{\cos θ}$ . Kraftsummen er $Σ F = m g \tan θ$ mot sentrum.

Vist: $Σ F = m g \tan θ = m a$ , og $a = \frac{4 π^{2} r}{T^{2}}$ med $r = L \sin θ$ .

Vist ved å sette uttrykkene fra b) lik hverandre.

$g = (9,7 \pm 0,2) m / s^{2}$

$v = 6,7 m / s$

LøsningsforslagKI-generert

Det virker to krefter på kula: tyngdekraften $\vec{G}$ rett nedover og snorkraften $\vec{S}$ langs snora mot opphengspunktet. Luftmotstanden ser vi bort fra.

Kraftdiagram for kula i kjeglependelen

Kula går i en horisontal sirkel med konstant banefart, så akselerasjonen er horisontal og peker mot sentrum av sirkelen. Kraftsummen i vertikal retning er derfor null:

S \cos θ - m g = 0 \Rightarrow S = \frac{m g}{\cos θ}

Tyngdekraften er $G = m g$ . Den horisontale komponenten av snorkraften er da den eneste kraften som ikke blir opphevet, og den er kraftsummen, rettet inn mot sentrum:

Σ F = S \sin θ = \frac{m g}{\cos θ} \cdot \sin θ = m g \tan θ

Newtons 2. lov gir

a = \frac{Σ F}{m} = \frac{m g \tan θ}{m} = g \tan θ

Kula har jevn sirkelbevegelse med banefart $v = \frac{2 π r}{T}$ , så sentripetalakselerasjonen er

a = \frac{v^{2}}{r} = \frac{4 π^{2} r^{2}}{T^{2} r} = \frac{4 π^{2} r}{T^{2}}

Fra figuren er radiusen $r = L \sin θ$ , og dermed er

a = \frac{4 π^{2} L \sin θ}{T^{2}}

De to uttrykkene gjelder den samme akselerasjonen, så vi setter dem lik hverandre:

g \tan θ = \frac{4 π^{2} L \sin θ}{T^{2}} \Rightarrow g \cdot \frac{\sin θ}{\cos θ} = \frac{4 π^{2} L \sin θ}{T^{2}}

Vi deler på $\sin θ$ , som ikke er null når kula går i sirkel, og ganger med $\cos θ$ :

g = \frac{4 π^{2} L \cos θ}{T^{2}}

Vi regner ut $g$ for hver måling med $L = 0,15 m$ . Den første målingen gir for eksempel

g = \frac{4 π^{2} \cdot 0,15 m \cdot \cos 30 °}{{(0,72 s)}^{2}} = 9,89 m / s^{2}

$θ$ /grader	$30$	$40$	$50$	$60$
$T$ /s	$0,72$	$0,68$	$0,63$	$0,56$
$g / (m / s^{2})$	$9,89$	$9,81$	$9,59$	$9,44$

Middelverdien er

\overline{g} = \frac{9,89 + 9,81 + 9,59 + 9,44}{4} m / s^{2} = 9,68 m / s^{2}

Som usikkerhet bruker vi halve variasjonsbredden, altså halvparten av avstanden mellom største og minste verdi:

Δ g = \frac{9,89 - 9,44}{2} m / s^{2} = 0,23 m / s^{2}

Standardavviket til de fire verdiene er $0,21 m / s^{2}$ , altså omtrent det samme. Vi avrunder usikkerheten til ett gjeldende siffer og middelverdien til samme desimal:

g = (9,7 \pm 0,2) m / s^{2}

Tabellverdien $9,81 m / s^{2}$ ligger innenfor intervallet. Legg merke til at $g$ -verdiene avtar systematisk når vinkelen øker. Det tyder på en systematisk feil. Vinkelen er vanskelig å måle nøyaktig mens kula er i bevegelse, og en feil i vinkelen gir større utslag i $\cos θ$ jo større vinkelen er.

Snorkraften er $S = 3,0 N$ , mens tyngdekraften bare er $G = m g = 0,0100 k g \cdot 9,81 m / s^{2} = 0,0981 N$ . Kraftsummen vertikalt er null, som i a), så

\cos θ = \frac{m g}{S} = \frac{0,0981 N}{3,0 N} = 0,0327 \Rightarrow θ = 88,1 °

Snora er altså nesten horisontal. Den horisontale komponenten av snorkraften er sentripetalkraften, og radiusen er $r = L \sin θ$ :

S \sin θ = \frac{m v^{2}}{r} = \frac{m v^{2}}{L \sin θ} \Rightarrow v = \sin θ \sqrt{\frac{S L}{m}}

v = \sin 88,1 ° \cdot \sqrt{\frac{3,0 N \cdot 0,15 m}{0,0100 k g}} = 6,7 m / s

Farten til kula er $v = 6,7 m / s$ .

Vedlegg

Vedleggene i oppgavesettet til Fysikk 2 V2022. De kunne brukes på hele eksamen, også del 1 (om hjelpemidlene).

Åpne på egen side: Faktavedlegg · Formelvedlegg

Oppgavedata

Hentet fra: Fysikk 2 V2022, del 2, oppgave 3
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 10
Temaer: Sirkelbevegelse, Måleusikkerhet, Forsøk

Kjeglependel for å bestemme tyngdeakselerasjonen

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Kjeglependel for å bestemme tyngdeakselerasjonen

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Kjeglependel for å bestemme tyngdeakselerasjonen

Kjeglependel for å bestemme tyngdeakselerasjonen

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer