a) Delelighet og nullpunkter

Vi sjekker om $(x+2)$ er en faktor ved å bruke faktorteoremet: $P(-2) = 0$ betyr at $(x+2)$ er en faktor.

$$P(-2) = (-2)^3 - 6(-2)^2 + 32 = -8 - 24 + 32 = 0$$

Siden $P(-2) = 0$, er $P(x)$ delelig med $(x+2)$.

Vi utfører polynomdivisjon:

$$P(x) : (x+2) = x^2 - 8x + 16$$

Vi kan kontrollere: $(x+2)(x^2 - 8x + 16) = x^3 - 8x^2 + 16x + 2x^2 - 16x + 32 = x^3 - 6x^2 + 32$ ✓

Vi faktoriserer $x^2 - 8x + 16 = (x-4)^2$, så

$$P(x) = (x+2)(x-4)^2$$

Nullpunktene er der $P(x) = 0$:

• $x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2$
• $(x-4)^2 = 0 \Rightarrow x = 4$

Nullpunktene er $x = -2$ og $x = 4$.

b) Topp- og bunnpunkter

Vi deriverer:

$$P'(x) = 3x^2 - 12x = 3x(x-4)$$

Stasjonære punkter der $P'(x) = 0$:

$$3x(x-4) = 0 \Rightarrow x = 0 \quad \text{eller} \quad x = 4$$

Vi bruker andrederivert for å klassifisere:

$$P''(x) = 6x - 12$$

$x = 0$: $P''(0) = -12 < 0$ $\Rightarrow$ toppunkt. $P(0) = 32$.

Toppunkt: $(0, 32)$

$x = 4$: $P''(4) = 24 - 12 = 12 > 0$ $\Rightarrow$ bunnpunkt. $P(4) = 64 - 96 + 32 = 0$.

Bunnpunkt: $(4, 0)$

c) Vendepunkt

Vendepunkt der $P''(x) = 0$:

$$6x - 12 = 0 \Rightarrow x = 2$$

Vi sjekker at $P''$ skifter fortegn ved $x = 2$ (fra negativ til positiv), så dette er et vendepunkt.

$$P(2) = 8 - 24 + 32 = 16$$

Vendepunkt: $(2, 16)$

d) Skisse av grafen

Vi har følgende punkter å bygge skissen på:

Punkt	Koordinater	Type
Nullpunkt	$(-2, 0)$	$P$ skjærer $x$-aksen
Toppunkt	$(0, 32)$	Lokal topp
Vendepunkt	$(2, 16)$	Bøyningspunkt
Bunnpunkt/nullpunkt	$(4, 0)$	Lokal bunn, tangerer $x$-aksen

Grafen stiger fra venstre, har toppunkt i $(0, 32)$, synker gjennom vendepunktet $(2, 16)$ og tangerer $x$-aksen i bunnpunktet $(4, 0)$, før den stiger igjen mot høyre. $P(x) \to -\infty$ når $x \to -\infty$ og $P(x) \to +\infty$ når $x \to +\infty$.