S2 Vår 2013

Vi bruker produktregelen ${(uv)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$ med $u=x$ og $v=e^{2x}$.

Vi finner $u^{\prime }=1$ og $v^{\prime }=2e^{2x}$ (kjerneregelen, siden eksponenten $2x$ har derivert $2$).

$f^{\prime }(x)=\underline{\underline{e^{2x}(1+2x)}}$

Vi bruker kvotientregelen ${\left({\displaystyle \frac{u}{v}}\right)}^{\prime }={\displaystyle \frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}}$ med $u=x-1$ og $v=x^2-3$.

Vi finner $u^{\prime }=1$ og $v^{\prime }=2x$.

Vi ekspanderer telleren:

$g^{\prime }(x)=\underline{\underline{{\displaystyle \frac{-x^2+2x-3}{{(x^2-3)}^2}}}}$

Vi skal forkorte ${\displaystyle \frac{x^3-1}{x-1}}$ ved polynomdivisjon.

Divisjonen går opp, og vi får:

${\displaystyle \frac{x^3-1}{x-1}}=\underline{\underline{x^2+x+1}}$

Vi skal finne $a$ slik at $(x^2-2x+a):(x-3)$ går opp.

Ifølge restteoremet er resten ved divisjon med $(x-c)$ lik $f(c)$. Divisjonen går opp når resten er $0$, altså når $f(3)=0$.

La $f(x)=x^2-2x+a$. Vi setter inn $x=3$:

$\underline{\underline{a=-3}}$

Vi skal finne $b$ slik at $(x^2-3x-4):(x-b)$ går opp.

Divisjonen går opp når $b$ er en rot i $f(x)=x^2-3x-4$. Vi faktoriserer telleren ved å finne to tall som multipliserer til $-4$ og adderer til $-3$: det er $-4$ og $1$.

Røttene er $x=4$ og $x=-1$, så $(x-4)$ eller $(x+1)$ kan være divisoren.

$\underline{\underline{b=4}}$ eller $\underline{\underline{b=-1}}$

Vi deriverer $f(x)=x^3-6x^2+9x+1$:

Vi setter $f^{\prime }(x)=0$:

Vi lager en fortegnslinje for $f^{\prime }(x)=3(x-1)(x-3)$:

Siden $f^{\prime }$ skifter fortegn fra $+$ til $-$ i $x=1$, er det et toppunkt der. Siden $f^{\prime }$ skifter fra $-$ til $+$ i $x=3$, er det et bunnpunkt der.

Vi beregner funksjonsverdiene:

Toppunkt i $\underline{\underline{(1,5)}}$ og bunnpunkt i $\underline{\underline{(3,1)}}$.

Vi deriverer $f^{\prime }(x)=3x^2-12x+9$ én gang til:

Vi setter $f^{\prime \prime }(x)=0$:

For $x<2$ er $f^{\prime \prime }(x)<0$ (konkav), og for $x>2$ er $f^{\prime \prime }(x)>0$ (konveks). Siden $f^{\prime \prime }$ skifter fortegn i $x=2$, er dette et vendepunkt.

Vendepunkt i $\underline{\underline{(2,3)}}$.

Fra a) og b) vet vi:

• $f$ stiger for $x<1$, synker for $1<x<3$, stiger for $x>3$
• Toppunkt $(1,5)$, vendepunkt $(2,3)$, bunnpunkt $(3,1)$
• Grafen er konkav (krummer nedover) for $x<2$ og konveks (krummer oppover) for $x>2$

Noen tilleggsverdier for å forankre skissen:

En skisse av grafen:

Grafen skjærer $y$-aksen i $(\mathrm{0,1})$, har toppunkt i $(\mathrm{1,5})$, vendepunkt i $(\mathrm{2,3})$, bunnpunkt i $(\mathrm{3,1})$, og stiger deretter mot høyre.

Alle sannsynlighetene i en sannsynlighetsfordeling må summere til 1:

$\underline{\underline{p=\mathrm{0,1}}}$, fordi summen av alle sannsynligheter må være lik 1.

Med $p=\mathrm{0,1}$ får vi fordelingen:

Forventningsverdi:

$\underline{\underline{\text{E}(X)=2}}$

Varians:

Vi bruker formelen $\text{Var}(X)=\text{E}(X^2)-{[\text{E}(X)]}^2$.

Først beregner vi $\text{E}(X^2)$:

Deretter:

$\underline{\underline{\text{Var}(X)=\mathrm{1,6}}}$

En normalfordelingskurve har toppen (maksimumet) ved $x=\mu$ og bredden bestemmes av $\sigma$: større $\sigma$ gir en lavere og bredere kurve, mens mindre $\sigma$ gir en høyere og smalere kurve.

Vi leser av grafene:

• Graf (1): Toppen er ved $x=10$ og kurven er smal og høy $\Rightarrow$ $\mu =10$, liten $\sigma$. Dette er $X_4$ med $\text{E}(X_4)=10$ og $\text{SD}(X_4)=1$.
• Graf (2): Toppen er ved $x=10$ og kurven er bred og lav $\Rightarrow$ $\mu =10$, stor $\sigma$. Dette er $X_3$ med $\text{E}(X_3)=10$ og $\text{SD}(X_3)=3$.
• Graf (3): Toppen er ved $x=5$ og kurven er bred og lav $\Rightarrow$ $\mu =5$, stor $\sigma$. Dette er $X_2$ med $\text{E}(X_2)=5$ og $\text{SD}(X_2)=3$.
• Graf (4): Toppen er ved $x=5$ og kurven er smal og høy $\Rightarrow$ $\mu =5$, liten $\sigma$. Dette er $X_1$ med $\text{E}(X_1)=5$ og $\text{SD}(X_1)=1$.

Graf (1) = $\underline{\underline{X_4}}$, graf (2) = $\underline{\underline{X_3}}$, graf (3) = $\underline{\underline{X_2}}$, graf (4) = $\underline{\underline{X_1}}$.

Vi skal finne hvilken variabel som har $P(7<X<14)=\mathrm{0,75}$.

Intervallet $(7,14)$ strekker seg fra 7 til 14. Vi undersøker hvilken forventningsverdi som passer.

Eliminering av $X_1$ og $X_2$ ($\mu =5$):

For $X_1$ ($\mu =5$, $\sigma =1$): Verdien 7 er $2\sigma$ over gjennomsnittet. Det er svært lite sannsynlighet i halen over 7, så $P(7<X_1<14)$ er tilnærmet 0. Dette er langt fra 0,75.

For $X_2$ ($\mu =5$, $\sigma =3$): Verdien 7 er $\frac{2}{3}\sigma$ over gjennomsnittet. Hele venstre halvdel av fordelingen (som utgjør 50 %) ligger under $\mu =5$, og en betydelig del ligger mellom 5 og 7. Dermed er $P(7<X_2<14)$ klart under 0,5. Ikke aktuelt.

Eliminering av $X_4$ ($\mu =10$, $\sigma =1$):

For $X_4$: Verdien 7 er $3\sigma$ under gjennomsnittet og 14 er $4\sigma$ over gjennomsnittet. Nesten all sannsynlighet ligger innenfor $3\sigma$ fra gjennomsnittet, så $P(7<X_4<14)\approx 1$. Dette er mye høyere enn 0,75.

$X_3$ er riktig ($\mu =10$, $\sigma =3$):

For $X_3$: Intervallet $(7,14)$ har venstre grense $7=10-3=\mu -\sigma$ og høyre grense $14=\mu +\frac{4}{3}\sigma$.

• $P(X_3<7)=P(Z<\frac{7-10}{3})=P(Z<-1)$. Av 68 %-regelen er $P(\mu -\sigma <X<\mu +\sigma )\approx \mathrm{0,68}$, så $P(X<\mu -\sigma )\approx \frac{1-\mathrm{0,68}}{2}=\mathrm{0,16}$.
• Den resterende sannsynligheten til høyre for 14 er liten, ettersom 14 er godt over gjennomsnittet og kurven faller raskt.
• Samlet gir dette $P(7<X_3<14)=1-P(X_3\le 7)-P(X_3\ge 14)\approx 1-\mathrm{0,16}-\mathrm{0,09}=\mathrm{0,75}$.

Det er $\underline{\underline{X_3}}$ som har $P(7<X<14)=\mathrm{0,75}$.

Fra etterspørselsfunksjonen $E(p)=6000-4p$ løser vi ut prisen $p$ som funksjon av antall solgte enheter $x=E(p)$:

Inntektsfunksjonen er $I(x)=p\cdot x$, det vil si inntekten ved å selge $x$ enheter til pris $p$:

Vi deriverer:

Vi bruker GeoGebra CAS. Overskuddet er størst når grenseinntekten er lik grensekostnaden, $I^{\prime }(x)=K^{\prime }(x)$.

Fra CAS-linje 5 ser vi at $I^{\prime }(x)=K^{\prime }(x)$ gir $x\approx 2741$.

Tilhørende pris (CAS-linje 7):

Bedriften bør produsere og selge $\underline{\underline{x\approx 2741\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{r}}}$ til en pris på $\underline{\underline{p\approx \mathrm{814,81}\mathrm{kr}}}$ per enhet for å maksimere overskuddet.

Bedriften går i balanse når inntektene er lik kostnadene, $I(x)=K(x)$. Fra CAS-linje 8 (se skjermbilde over) finner vi to balansepunkter:

Vi finner tilhørende priser:

Grafen nedenfor viser inntektsfunksjonen $I(x)$ (blå), kostnadsfunksjonen $K(x)$ (rød) og overskuddsfunksjonen $O(x)=I(x)-K(x)$ (grønn). Bedriften går i balanse ved de to skjæringspunktene mellom $I(x)$ og $K(x)$.

Siden bedriften ønsker å senke prisen (selge flere enheter), er det $p_2\approx \mathrm{229,87}\mathrm{kr}$ som er relevant — lavest mulig pris bedriften kan sette og fortsatt gå i balanse.

Den minste prisen bedriften kan sette for å gå i balanse er $\underline{\underline{p_{\min }\approx \mathrm{229,87}\mathrm{kr}}}$.

Vi setter inn $x=6$ (år etter 2006, dvs. 2012) i modellen for firma A:

Firma A solgte omtrent $\underline{\underline{244\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{r}}}$ i 2012.

Vi legger inn tabellverdiene i GeoGebra og bruker FitLogistic for å finne en logistisk regresjonsmodell. La $x$ være antall år etter 2006.

I GeoGebra (grafvindu):

l_B = {(0,135), (1,154), (2,176), (3,192), (4,211), (5,228), (6,243)}
g(x) = FitLogistic(l_B)

GeoGebra gir regresjonsmodellen for firma B:

der parametrene er:

• $a\approx \mathrm{317,2}$ (tak-verdi, maks antall solgte enheter per år)
• $b\approx \mathrm{1,35}$
• $c\approx \mathrm{0,247}$ (vekstrate)

Modellen for firma B er $\underline{\underline{g(x)\approx {\displaystyle \frac{\mathrm{317,2}}{1+\mathrm{1,35}\cdot e^{-\mathrm{0,247}x}}}}}$

I en logistisk modell ${\displaystyle \frac{a}{1+b\cdot e^{-cx}}}$ vil funksjonsverdien nærme seg $a$ når $x\to \infty$. Parameteren $a$ kalles tak-verdien og angir maksimalt antall solgte enheter per år på lang sikt.

• Firma A: tak-verdi $=333$ enheter per år
• Firma B: tak-verdi $\approx 317$ enheter per år

Grafene bekrefter dette – den blå kurven (firma A) flater ut høyere enn den grønne kurven (firma B), se grafen ovenfor.

Firma A vil i det lange løp selge flest enheter per år ($\underline{\underline{333}}$ mot $317$).

Totalt antall solgte enheter fra 2006 (= $x=0$) til og med 2015 (= $x=9$) finner vi ved de bestemte integralene:

Vi beregner dette i GeoGebra:

Integral(f, 0, 9)   →  ≈ 1943
Integral(g, 0, 9)   →  ≈ 1934

• Firma A: ${\displaystyle {\int }_0^{9}f(x)\mathrm{d}x\approx \underline{\underline{1943\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{r}}}}$
• Firma B: ${\displaystyle {\int }_0^{9}g(x)\mathrm{d}x\approx \underline{\underline{1934\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{r}}}}$

Firma A forventes å selge totalt ca. $\underline{\underline{1943\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{r}}}$ og firma B ca. $\underline{\underline{1934\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{r}}}$ i perioden 2006–2015.

Svanhild tar opp et lån på $600000\mathrm{kr}$ og betaler terminbeløp $x$ per år i 20 år med rente $\mathrm{3,5}\%$. Første innbetaling skjer om ett år.

Nåverdien av det første terminbeløpet er ${\displaystyle \frac{x}{\mathrm{1,035}}}$, nåverdien av det andre er ${\displaystyle \frac{x}{{\mathrm{1,035}}^2}}$, og så videre. Nåverdien av det siste terminbeløpet (etter 20 år) er ${\displaystyle \frac{x}{{\mathrm{1,035}}^{20}}}$.

Siden summen av nåverdiene av alle terminbeløpene skal tilsvare lånebeløpet, får vi:

Vi kan faktorisere ut ${\displaystyle \frac{x}{\mathrm{1,035}}}$:

Dette er likningen oppgaven viser. Vi løser den i GeoGebra CAS (se linje 1 i figuren under).

GeoGebra gir $x\approx 42\mathrm{216,65}$.

Terminbeløpet ved $\mathrm{3,5}\%$ rente er $\underline{\underline{x\approx 42\mathrm{216,65}\mathrm{kr}}}$.

Vi bruker annuitetsformelen direkte. Terminbeløpet $T$ ved rente $r$, $n=20$ terminer og lån $L=600000$ er:

Vi ønsker å finne den høyeste renten $r$ slik at $T\le 50000$. Vi setter opp likningen:

Vi løser i GeoGebra CAS (se linje 2 i figuren). Den negative løsningen er ikke fysisk meningsfull, og vi beholder $r\approx \mathrm{0,0545}$.

Den høyeste renten er $\underline{\underline{r\approx \mathrm{5,45}\%}}$.

Nå er renten $r=\mathrm{6,5}\%$ og lån $L=600000\mathrm{kr}$. Vi vil finne minste heltall $n$ slik at terminbeløpet $T<50000\mathrm{kr}$.

Vi setter opp ulikheten $T<50000$:

Vi løser tilhørende likning $T=50000$ (se linje 3 i figuren). GeoGebra gir $n\approx \mathrm{24,04}$.

Vi kan også løse analytisk. La $u={\mathrm{1,065}}^n$:

Siden $n$ må være et heltall og $n\approx \mathrm{24,04}$, er grenseverdien ikke nådd for $n=24$. Vi sjekker:

• $n=24$: $T\approx 50\mathrm{038,62}\mathrm{kr}$ (over grensen)
• $n=25$: $T\approx 49\mathrm{188,89}\mathrm{kr}$ (under grensen) ✓

Svanhild må betale $\underline{\underline{n=25\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{r}}}$ for at terminbeløpet skal være under $50000\mathrm{kr}$.

Vi ønsker å undersøke om kampanjen har redusert andelen røykere under $p_0=\mathrm{0,17}$.

Nullhypotesen antar at kampanjen ikke har hatt effekt — andelen er uendret:

Den alternative hypotesen er at kampanjen har ført til en lavere andel røykere:

Dette er en ensidig (venstresidig) test fordi vi kun er interessert i om andelen er blitt lavere.

$X$ er binomisk fordelt med $n=100$ og $p=\mathrm{0,17}$ (under $H_0$).

Vi observerte $x=12$ røykere av 100 spurte.

P-verdien er sannsynligheten for å observere 12 eller færre røykere dersom $H_0$ er sann:

I GeoGebra CAS bruker vi:

som gir:

Konklusjon:

P-verdien er større enn signifikansnivået på $5\%$. Vi forkaster derfor ikke $H_0$.

Myndighetene har ikke statistisk grunnlag for å konkludere med at kampanjen har hatt effekt på 5 % signifikansnivå. Selv om 12 % er lavere enn 17 %, kan denne differansen godt skyldes tilfeldigheter i utvalget.

Vi tegner grafen til $f(x)=e^{-\frac{{(x-5)}^2}{2}}$ med GeoGebra. Vendepunktene $V{P}_1=(4,e^{-1/2})$ og $V{P}_2=(6,e^{-1/2})$ er markert med grønne punkter.

Vi skal bestemme $f^{\prime }(x)$ og $f^{\prime \prime }(x)$ og vise at

Første deriverte — kjerneregelen

Vi skriver $f(x)=e^{u(x)}$ der den indre funksjonen er

Den deriverte av den indre funksjonen er

Med kjerneregelen $(e^{u(x)}{)}^{\prime }=u^{\prime }(x)\cdot e^{u(x)}$ får vi

Andre deriverte — produktregelen

Vi skriver $f^{\prime }(x)=g(x)\cdot h(x)$ der

Produktregelen gir $f^{\prime \prime }(x)=g^{\prime }(x)\cdot h(x)+g(x)\cdot h^{\prime }(x)$.

Vi har $g^{\prime }(x)=-1$ og $h^{\prime }(x)=-(x-5)e^{-\frac{{(x-5)}^2}{2}}$ (samme kjerneregel som over), så