S2 Vår 2013

Vi bruker produktregelen $(uv)' = u'v + uv'$ med $u = x$ og $v = e^{2x}$.

Vi finner $u' = 1$ og $v' = 2e^{2x}$ (kjerneregelen, siden eksponenten $2x$ har derivert $2$).

$f'(x) = \underline{\underline{e^{2x}(1+2x)}}$

Vi bruker kvotientregelen $\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$ med $u = x-1$ og $v = x^2-3$.

Vi finner $u' = 1$ og $v' = 2x$.

Vi ekspanderer telleren:

$g'(x) = \underline{\underline{\dfrac{-x^2+2x-3}{(x^2-3)^2}}}$

Vi skal forkorte $\dfrac{x^3-1}{x-1}$ ved polynomdivisjon.

Divisjonen går opp, og vi får:

$\dfrac{x^3-1}{x-1} = \underline{\underline{x^2+x+1}}$

Vi skal finne $a$ slik at $(x^2 - 2x + a) : (x-3)$ går opp.

Ifølge restteoremet er resten ved divisjon med $(x - c)$ lik $f(c)$. Divisjonen går opp når resten er $0$, altså når $f(3) = 0$.

La $f(x) = x^2 - 2x + a$. Vi setter inn $x = 3$:

$\underline{\underline{a = -3}}$

Vi skal finne $b$ slik at $(x^2 - 3x - 4) : (x - b)$ går opp.

Divisjonen går opp når $b$ er en rot i $f(x) = x^2 - 3x - 4$. Vi faktoriserer telleren ved å finne to tall som multipliserer til $-4$ og adderer til $-3$: det er $-4$ og $1$.

Røttene er $x = 4$ og $x = -1$, så $(x-4)$ eller $(x+1)$ kan være divisoren.

$\underline{\underline{b = 4}}$ eller $\underline{\underline{b = -1}}$

Vi deriverer $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1$:

Vi setter $f'(x) = 0$:

Vi lager en fortegnslinje for $f'(x) = 3(x-1)(x-3)$:

Siden $f'$ skifter fortegn fra $+$ til $-$ i $x=1$, er det et toppunkt der. Siden $f'$ skifter fra $-$ til $+$ i $x=3$, er det et bunnpunkt der.

Vi beregner funksjonsverdiene:

Toppunkt i $\underline{\underline{(1,\, 5)}}$ og bunnpunkt i $\underline{\underline{(3,\, 1)}}$.

Vi deriverer $f'(x) = 3x^2 - 12x + 9$ én gang til:

Vi setter $f''(x) = 0$:

For $x < 2$ er $f''(x) < 0$ (konkav), og for $x > 2$ er $f''(x) > 0$ (konveks). Siden $f''$ skifter fortegn i $x = 2$, er dette et vendepunkt.

Vendepunkt i $\underline{\underline{(2,\, 3)}}$.

Fra a) og b) vet vi:

• $f$ stiger for $x < 1$, synker for $1 < x < 3$, stiger for $x > 3$
• Toppunkt $(1, 5)$, vendepunkt $(2, 3)$, bunnpunkt $(3, 1)$
• Grafen er konkav (krummer nedover) for $x < 2$ og konveks (krummer oppover) for $x > 2$

Noen tilleggsverdier for å forankre skissen:

En skisse av grafen:

  y
5 |     *               *
  |   *   *
3 |        * ← vendepunkt
  |          *
1 |            *
  |
  +---+---+---+---→ x
  0   1   2   3   4

Grafen skjærer $y$-aksen i $(0,1)$, har toppunkt i $(1,5)$, vendepunkt i $(2,3)$, bunnpunkt i $(3,1)$, og stiger deretter mot høyre.

Alle sannsynlighetene i en sannsynlighetsfordeling må summere til 1:

$\underline{\underline{p = 0{,}1}}$, fordi summen av alle sannsynligheter må være lik 1.

Med $p = 0{,}1$ får vi fordelingen:

Forventningsverdi:

$\underline{\underline{\text{E}(X) = 2}}$

Varians:

Vi bruker formelen $\text{Var}(X) = \text{E}(X^2) - [\text{E}(X)]^2$.

Først beregner vi $\text{E}(X^2)$:

Deretter:

$\underline{\underline{\text{Var}(X) = 1{,}6}}$

En normalfordelingskurve har toppen (maksimumet) ved $x = \mu$ og bredden bestemmes av $\sigma$: større $\sigma$ gir en lavere og bredere kurve, mens mindre $\sigma$ gir en høyere og smalere kurve.

Vi leser av grafene:

• Graf (1): Toppen er ved $x = 10$ og kurven er smal og høy $\Rightarrow$ $\mu = 10$, liten $\sigma$. Dette er $X_4$ med $\text{E}(X_4) = 10$ og $\text{SD}(X_4) = 1$.
• Graf (2): Toppen er ved $x = 10$ og kurven er bred og lav $\Rightarrow$ $\mu = 10$, stor $\sigma$. Dette er $X_3$ med $\text{E}(X_3) = 10$ og $\text{SD}(X_3) = 3$.
• Graf (3): Toppen er ved $x = 5$ og kurven er bred og lav $\Rightarrow$ $\mu = 5$, stor $\sigma$. Dette er $X_2$ med $\text{E}(X_2) = 5$ og $\text{SD}(X_2) = 3$.
• Graf (4): Toppen er ved $x = 5$ og kurven er smal og høy $\Rightarrow$ $\mu = 5$, liten $\sigma$. Dette er $X_1$ med $\text{E}(X_1) = 5$ og $\text{SD}(X_1) = 1$.

Graf (1) = $\underline{\underline{X_4}}$, graf (2) = $\underline{\underline{X_3}}$, graf (3) = $\underline{\underline{X_2}}$, graf (4) = $\underline{\underline{X_1}}$.

Vi skal finne hvilken variabel som har $P(7 < X < 14) = 0{,}75$.

Intervallet $(7, 14)$ strekker seg fra 7 til 14. Vi undersøker hvilken forventningsverdi som passer.

Eliminering av $X_1$ og $X_2$ ($\mu = 5$):

For $X_1$ ($\mu = 5$, $\sigma = 1$): Verdien 7 er $2\sigma$ over gjennomsnittet. Det er svært lite sannsynlighet i halen over 7, så $P(7 < X_1 < 14)$ er tilnærmet 0. Dette er langt fra 0,75.

For $X_2$ ($\mu = 5$, $\sigma = 3$): Verdien 7 er $\frac{2}{3}\sigma$ over gjennomsnittet. Hele venstre halvdel av fordelingen (som utgjør 50 %) ligger under $\mu = 5$, og en betydelig del ligger mellom 5 og 7. Dermed er $P(7 < X_2 < 14)$ klart under 0,5. Ikke aktuelt.

Eliminering av $X_4$ ($\mu = 10$, $\sigma = 1$):

For $X_4$: Verdien 7 er $3\sigma$ under gjennomsnittet og 14 er $4\sigma$ over gjennomsnittet. Nesten all sannsynlighet ligger innenfor $3\sigma$ fra gjennomsnittet, så $P(7 < X_4 < 14) \approx 1$. Dette er mye høyere enn 0,75.

$X_3$ er riktig ($\mu = 10$, $\sigma = 3$):

For $X_3$: Intervallet $(7, 14)$ har venstre grense $7 = 10 - 3 = \mu - \sigma$ og høyre grense $14 = \mu + \frac{4}{3}\sigma$.

• $P(X_3 < 7) = P\!\left(Z < \frac{7-10}{3}\right) = P(Z < -1)$. Av 68 %-regelen er $P(\mu - \sigma < X < \mu + \sigma) \approx 0{,}68$, så $P(X < \mu - \sigma) \approx \frac{1-0{,}68}{2} = 0{,}16$.
• Den resterende sannsynligheten til høyre for 14 er liten, ettersom 14 er godt over gjennomsnittet og kurven faller raskt.
• Samlet gir dette $P(7 < X_3 < 14) = 1 - P(X_3 \leq 7) - P(X_3 \geq 14) \approx 1 - 0{,}16 - 0{,}09 = 0{,}75$.

Det er $\underline{\underline{X_3}}$ som har $P(7 < X < 14) = 0{,}75$.

Fra etterspørselsfunksjonen $E(p) = 6000 - 4p$ løser vi ut prisen $p$ som funksjon av antall solgte enheter $x = E(p)$:

Inntektsfunksjonen er $I(x) = p \cdot x$, det vil si inntekten ved å selge $x$ enheter til pris $p$:

Vi deriverer:

Vi bruker GeoGebra CAS. Overskuddet er størst når grenseinntekten er lik grensekostnaden, $I'(x) = K'(x)$.

Fra CAS-linje 5 ser vi at $I'(x) = K'(x)$ gir $x \approx 2741$.

Tilhørende pris (CAS-linje 7):

Bedriften bør produsere og selge $\underline{\underline{x \approx 2741 \mathrm{~enheter}}}$ til en pris på $\underline{\underline{p \approx 814{,}81 \, \mathrm{kr}}}$ per enhet for å maksimere overskuddet.

Bedriften går i balanse når inntektene er lik kostnadene, $I(x) = K(x)$. Fra CAS-linje 8 (se skjermbilde over) finner vi to balansepunkter:

Vi finner tilhørende priser:

Grafen nedenfor viser inntektsfunksjonen $I(x)$ (blå), kostnadsfunksjonen $K(x)$ (rød) og overskuddsfunksjonen $O(x) = I(x) - K(x)$ (grønn). Bedriften går i balanse ved de to skjæringspunktene mellom $I(x)$ og $K(x)$.

Siden bedriften ønsker å senke prisen (selge flere enheter), er det $p_2 \approx 229{,}87 \, \mathrm{kr}$ som er relevant — lavest mulig pris bedriften kan sette og fortsatt gå i balanse.

Den minste prisen bedriften kan sette for å gå i balanse er $\underline{\underline{p_{\min} \approx 229{,}87 \, \mathrm{kr}}}$.

Vi setter inn $x = 6$ (år etter 2006, dvs. 2012) i modellen for firma A:

Firma A solgte omtrent $\underline{\underline{244 \mathrm{~enheter}}}$ i 2012.

Vi legger inn tabellverdiene i GeoGebra og bruker FitLogistic for å finne en logistisk regresjonsmodell. La $x$ være antall år etter 2006.

I GeoGebra (grafvindu):

l_B = {(0,135), (1,154), (2,176), (3,192), (4,211), (5,228), (6,243)}
g(x) = FitLogistic(l_B)

GeoGebra gir regresjonsmodellen for firma B:

der parametrene er:

• $a \approx 317{,}2$ (tak-verdi, maks antall solgte enheter per år)
• $b \approx 1{,}35$
• $c \approx 0{,}247$ (vekstrate)

Modellen for firma B er $\underline{\underline{g(x) \approx \dfrac{317{,}2}{1 + 1{,}35 \cdot e^{-0{,}247x}}}}$

I en logistisk modell $\dfrac{a}{1 + b \cdot e^{-cx}}$ vil funksjonsverdien nærme seg $a$ når $x \to \infty$. Parameteren $a$ kalles tak-verdien og angir maksimalt antall solgte enheter per år på lang sikt.

• Firma A: tak-verdi $= 333$ enheter per år
• Firma B: tak-verdi $\approx 317$ enheter per år

Grafene bekrefter dette – den blå kurven (firma A) flater ut høyere enn den grønne kurven (firma B), se grafen ovenfor.

Firma A vil i det lange løp selge flest enheter per år ($\underline{\underline{333}}$ mot $317$).

Totalt antall solgte enheter fra 2006 (= $x=0$) til og med 2015 (= $x=9$) finner vi ved de bestemte integralene:

Vi beregner dette i GeoGebra:

Integral(f, 0, 9)   →  ≈ 1943
Integral(g, 0, 9)   →  ≈ 1934

• Firma A: $\displaystyle\int_0^9 f(x) \, \mathrm{d}x \approx \underline{\underline{1943 \mathrm{~enheter}}}$
• Firma B: $\displaystyle\int_0^9 g(x) \, \mathrm{d}x \approx \underline{\underline{1934 \mathrm{~enheter}}}$

Firma A forventes å selge totalt ca. $\underline{\underline{1943 \mathrm{~enheter}}}$ og firma B ca. $\underline{\underline{1934 \mathrm{~enheter}}}$ i perioden 2006–2015.

Svanhild tar opp et lån på $600\,000 \, \mathrm{kr}$ og betaler terminbeløp $x$ per år i 20 år med rente $3{,}5 \,\%$. Første innbetaling skjer om ett år.

Nåverdien av det første terminbeløpet er $\dfrac{x}{1{,}035}$, nåverdien av det andre er $\dfrac{x}{1{,}035^2}$, og så videre. Nåverdien av det siste terminbeløpet (etter 20 år) er $\dfrac{x}{1{,}035^{20}}$.

Siden summen av nåverdiene av alle terminbeløpene skal tilsvare lånebeløpet, får vi:

Vi kan faktorisere ut $\dfrac{x}{1{,}035}$:

Dette er likningen oppgaven viser. Vi løser den i GeoGebra CAS (se linje 1 i figuren under).

GeoGebra gir $x \approx 42\,216{,}65$.

Terminbeløpet ved $3{,}5 \,\%$ rente er $\underline{\underline{x \approx 42\,216{,}65 \, \mathrm{kr}}}$.

Vi bruker annuitetsformelen direkte. Terminbeløpet $T$ ved rente $r$, $n = 20$ terminer og lån $L = 600\,000$ er:

Vi ønsker å finne den høyeste renten $r$ slik at $T \leq 50\,000$. Vi setter opp likningen:

Vi løser i GeoGebra CAS (se linje 2 i figuren). Den negative løsningen er ikke fysisk meningsfull, og vi beholder $r \approx 0{,}0545$.

Den høyeste renten er $\underline{\underline{r \approx 5{,}45 \,\%}}$.

Nå er renten $r = 6{,}5 \,\%$ og lån $L = 600\,000 \, \mathrm{kr}$. Vi vil finne minste heltall $n$ slik at terminbeløpet $T < 50\,000 \, \mathrm{kr}$.

Vi setter opp ulikheten $T < 50\,000$:

Vi løser tilhørende likning $T = 50\,000$ (se linje 3 i figuren). GeoGebra gir $n \approx 24{,}04$.

Vi kan også løse analytisk. La $u = 1{,}065^n$:

Siden $n$ må være et heltall og $n \approx 24{,}04$, er grenseverdien ikke nådd for $n = 24$. Vi sjekker:

• $n = 24$: $T \approx 50\,038{,}62 \, \mathrm{kr}$ (over grensen)
• $n = 25$: $T \approx 49\,188{,}89 \, \mathrm{kr}$ (under grensen) ✓

Svanhild må betale $\underline{\underline{n = 25 \mathrm{~terminer}}}$ for at terminbeløpet skal være under $50\,000 \, \mathrm{kr}$.

Vi ønsker å undersøke om kampanjen har redusert andelen røykere under $p_0 = 0{,}17$.

Nullhypotesen antar at kampanjen ikke har hatt effekt — andelen er uendret:

Den alternative hypotesen er at kampanjen har ført til en lavere andel røykere:

Dette er en ensidig (venstresidig) test fordi vi kun er interessert i om andelen er blitt lavere.

$X$ er binomisk fordelt med $n = 100$ og $p = 0{,}17$ (under $H_0$).

Vi observerte $x = 12$ røykere av 100 spurte.