Vi setter $t = 0{,}5$ inn i $x(t)$:

Bilen har kjørt omtrent $\underline{\underline{34{,}6 \, \mathrm{km}}}$ i løpet av den første halvtimen.

Vi bruker digitalt verktøy til å løse likningen $x(t) = 500$.

Vi tegner grafen til $x(t) = 80t + 30e^{-0{,}4t} - 30$ og den horisontale linjen $y = 500$, og finner skjæringspunktet.

Fra grafen leser vi av at skjæringspunktet er ved $t \approx 6{,}60$.

Bilen bruker omtrent $\underline{\underline{t \approx 6{,}60 \mathrm{~timer}}}$ på de første 500 km.

Vi skal derivere $b(x) = 0{,}07 \cdot x \cdot (1 + e^{-0{,}5x})$.

Vi skriver $b(x) = u(x) \cdot v(x)$ der $\textcolor{steelblue}{u(x) = 0{,}07x}$ og $\textcolor{tomato}{v(x) = 1 + e^{-0{,}5x}}$.

Produktregelen gir $b'(x) = \textcolor{steelblue}{u'(x)} \cdot \textcolor{tomato}{v(x)} + \textcolor{steelblue}{u(x)} \cdot \textcolor{tomato}{v'(x)}$.

Vi deriverer $v(x) = 1 + e^{-0{,}5x}$ med kjerneregelen: la $g(x) = -0{,}5x$, da er $v(x) = 1 + e^{g(x)}$ og

Vi setter inn:

Vi kan verifisere dette med GeoGebra CAS:

Praktisk betydning av $b'(10)$:

$b'(10)$ er den momentane endringen i bensinforbruk per km når bilen har kjørt 10 km, dvs. bilen forbruker omtrent $0{,}068$ liter per km akkurat ved $x = 10 \, \mathrm{km}$.

Vi skal finne $f(0{,}5) = b'(x(0{,}5)) \cdot x'(0{,}5)$.

Vi fant allerede i a) at $x(0{,}5) \approx 34{,}56 \, \mathrm{km}$.

Vi deriverer $x(t) = 80t + 30e^{-0{,}4t} - 30$ med kjerneregelen:

Vi beregner $b'(x(0{,}5)) = b'(34{,}56)$:

(Leddet med $e^{-17{,}28}$ er svært nær null og kan neglisjeres.)

Bensinforbruket per time etter en halv time:

Vi omregner til per minutt ved å dele på 60:

Bensinforbruket etter en halv times kjøring er omtrent $\underline{\underline{0{,}082 \, \mathrm{l/min}}}$.