PISA-undersøkelse normalfordeling og hypotesetest

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

PISA er en internasjonal undersøkelse som blir gjennomført hvert tredje år blant skoleelever i en rekke land. Ved undersøkelsen i 2009 var det med 4 700 elever fra Norge. I naturfag scoret de norske elevene gjennomsnittlig 500 poeng. Det var nøyaktig likt det internasjonale gjennomsnittet. Standardavviket for norske elever var 90 poeng.

Vi trekker tilfeldig ut en elev blant de norske deltakerne. I oppgavene a) og b) kan du regne med at poengsummen til eleven er tilnærmet normalfordelt med forventningsverdi 500 poeng og standardavvik 90 poeng.

Bestem sannsynligheten for at eleven scoret minst 650 poeng.

Bestem sannsynligheten for at eleven scoret mellom 475 og 535 poeng.

I virkeligheten kjenner vi ikke forventet poengsum for norske elever. Vi vet bare at gjennomsnittet var 500 poeng for de 4 700 elevene som var med i undersøkelsen.

Er det grunnlag for å si at norske elever var bedre enn elever fra land som scoret 495 poeng? Velg selv signifikansnivå.

Fasit

$\underline{\underline{P(X \geq 650) \approx 0{,}048}}$

$\underline{\underline{P(475 \leq X \leq 535) \approx 0{,}261}}$

$p\text{-verdi} \approx 0{,}00007 < 0{,}05$ – forkaster $H_0$ . Det er grunnlag for å si at norske elever var bedre.

LøsningsforslagKI-generert

$X$ er tilnærmet normalfordelt med $\mu = 500$ og $\sigma = 90$ .

Vi beregner sannsynligheten for at en tilfeldig norsk elev scoret minst 650 poeng:

P(X \geq 650) = 1 - P(X < 650)

Med GeoGebra CAS:

1 - NormalFordeling(500, 90, 650)

P(X \geq 650) \approx \mathbf{0{,}048}

$P(X \geq 650) \approx \underline{\underline{0{,}048}}$ – det er omtrent $4{,}8 \,\%$ sjanse for at en tilfeldig norsk elev scoret minst 650 poeng.

Vi beregner sannsynligheten for at eleven scoret mellom 475 og 535 poeng:

P(475 \leq X \leq 535) = P(X \leq 535) - P(X < 475)

Med GeoGebra CAS:

NormalFordeling(500, 90, 535) - NormalFordeling(500, 90, 475)

P(475 \leq X \leq 535) \approx \mathbf{0{,}261}

$P(475 \leq X \leq 535) \approx \underline{\underline{0{,}261}}$ – det er omtrent $26{,}1 \,\%$ sjanse for at en tilfeldig norsk elev scoret mellom 475 og 535 poeng.

Vi gjennomfører en ensidig hypotesetest. Signifikansnivå: $\alpha = 5\,\%$ .

Hypoteser:

H_0 \colon \mu = 495 \qquad H_1 \colon \mu > 495

Vi vet at $\bar{x} = 500$ , $\sigma = 90$ og $n = 4700$ .

Siden $n$ er stort, er $\bar{X}$ tilnærmet normalfordelt med forventningsverdi $\mu_0 = 495$ og standardfeil

\text{SE} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{90}{\sqrt{4700}} \approx 1{,}313

Vi beregner $z$ -verdien:

z = \frac{\bar{x} - \mu_0}{\text{SE}} = \frac{500 - 495}{\dfrac{90}{\sqrt{4700}}} \approx 3{,}809

Med GeoGebra CAS:

90 / sqrt(4700)          → 1.31278
(500 - 495) / (90/sqrt(4700))   → 3.8087

GeoGebra CAS – normalfordeling og hypotesetest

p-verdien er sannsynligheten for å observere et utvalgsgjennomsnitt like ekstremt som eller mer ekstremt enn $\bar{x} = 500$ , gitt at $H_0$ er sann:

p = P(Z \geq 3{,}809) \approx 0{,}00007

Siden $p \approx 0{,}00007 \ll 0{,}05 = \alpha$ , forkaster vi $H_0$ .

Konklusjon: Det er statistisk grunnlag (på $5\,\%$ signifikansnivå) for å si at $\underline{\underline{\text{norske elever var bedre enn elever fra land som scoret 495 poeng.}}}$

Merk: Selv med $\alpha = 1\,\%$ ( $z$ -kritisk $\approx 2{,}33$ ) vil vi forkaste $H_0$ siden $z \approx 3{,}81 > 2{,}33$ . Resultatet er svært robust for valg av signifikansnivå.

Oppgavedata

Hentet fra: S2 V2012, del 2, oppgave 5
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 7
Temaer: Normalfordeling, Hypotesetest, Statistikk, Sentralgrenseteoremet

PISA-undersøkelse normalfordeling og hypotesetest

Sync på tvers av enheter

PISA-undersøkelse normalfordeling og hypotesetest

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave