S2 Vår 2010

Oppgave 1-1Derivasjon, uendelig rekke og polynomdivisjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Deriver funksjonene:

f (x) = x^{2} \cdot \ln x

g (x) = 3 \cdot e^{x^{2}}

Gitt den uendelige rekken

1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \dots

Avgjør om rekken konvergerer, og bestem eventuelt summen av rekken.

Sannsynlighetsfordelingen til en stokastisk variabel $X$ er gitt ved

$x$	$- 3$	$0$	$1$	$B$
$P (X = x)$	$0,2$	$0,1$	$A$	$0,3$

Du får opplyst at $B > 1$ .

Bestem $A$ og $P (X < 1)$ .

Bestem $B$ når du får opplyst at $E (X) = 1,0$ .

Vis at variansen er $Var (X) = 6,0$ .

Vi har gitt funksjonen $f (x) = 3 x^{3} + 6 x^{2} - 3 x - 6$

Vis at $f (x)$ er delelig med $(x + 1)$ .

Løs likningen $f (x) = 0$ .

En polynomfunksjon $f$ av andre grad er gitt ved

f (x) = a x^{2} + b x + c

Du får oppgitt at: $f (2) = - 4$ , $f^{'} (2) = 0$ og $f^{''} (2) = 8$ .

Bestem funksjonsuttrykket til $f$ .

Finn nullpunktene til $f$ og eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til $f$ .

En stabel med aluminiumsrør ligger delvis skjult bak en murvegg.

La antall rør i rad nummer $n$ ovenfra være $a_{n}$ . Ta utgangspunkt i tegningen og forklar at $a_{n} = n + 3$ når $n \geq 1$ .

Vis at antall rør til sammen i de $n$ øverste radene er gitt ved

S_{n} = \frac{7 n + n^{2}}{2}

Hvor mange rader trengs for å få plass til $225$ rør? (Du kan få bruk for at $\sqrt{1849} = 43$ .)

Fasit

$f^{'} (x) = x (2 \ln x + 1)$ , $g^{'} (x) = 6 x e^{x^{2}}$

Konvergerer, $s = 2$

$A = 0,4$ , $P (X < 1) = 0,3$ , $B = 4$ , $Var (X) = 6,0$

$x = - 2, x = - 1, x = 1$

$f (x) = 4 x^{2} - 16 x + 12$ , nullpunkter $x = 1, x = 3$ , bunnpunkt $(2, - 4)$

$a_{n} = n + 3$ , $S_{n} = \frac{7 n + n^{2}}{2}$ , $n = 18$

LøsningsforslagKI-generert

$f (x) = x^{2} \cdot \ln x$ . Vi bruker produktregelen med $u = x^{2}$ , $u^{'} = 2 x$ , $v = \ln x$ , $v^{'} = \frac{1}{x}$ :

f^{'} (x) = 2 x \cdot \ln x + x^{2} \cdot \frac{1}{x} = 2 x \ln x + x = x (2 \ln x + 1)

$g (x) = 3 \cdot e^{x^{2}}$ . Kjerneregelen med indre funksjon $x^{2}$ (derivert $2 x$ ) gir:

g^{'} (x) = 3 \cdot e^{x^{2}} \cdot 2 x = 6 x e^{x^{2}}

Rekken $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \dots$ er en geometrisk rekke med $a_{1} = 1$ og kvotient $k = \frac{1}{2}$ . Siden $| k | < 1$ , konvergerer rekken.

s = \frac{a_{1}}{1 - k} = \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2

s = 2

Summen av alle sannsynlighetene må være $1$ :

0,2 + 0,1 + A + 0,3 = 1 \Rightarrow A = 1 - 0,6 = 0,4

P (X < 1) = P (X = - 3) + P (X = 0) = 0,2 + 0,1 = 0,3

Vi bruker at $E (X) = 1,0$ :

E (X) = - 3 \cdot 0,2 + 0 \cdot 0,1 + 1 \cdot 0,4 + B \cdot 0,3 = - 0,6 + 0,4 + 0,3 B = - 0,2 + 0,3 B

- 0,2 + 0,3 B = 1,0 \Rightarrow 0,3 B = 1,2 \Rightarrow B = 4

Siden $B = 4 > 1$ stemmer dette med opplysningen i oppgaven.

B = 4

Vi finner $E (X^{2})$ med $B = 4$ :

E (X^{2}) = {(- 3)}^{2} \cdot 0,2 + 0^{2} \cdot 0,1 + 1^{2} \cdot 0,4 + 4^{2} \cdot 0,3 = 1,8 + 0 + 0,4 + 4,8 = 7,0

Var (X) = E (X^{2}) - {(E (X))}^{2} = 7,0 - {1,0}^{2} = 6,0

Dette viser at $Var (X) = 6,0$ .

$f (x) = 3 x^{3} + 6 x^{2} - 3 x - 6$ . Vi setter inn $x = - 1$ :

f (- 1) = 3 \cdot (- 1) + 6 \cdot 1 - 3 \cdot (- 1) - 6 = - 3 + 6 + 3 - 6 = 0

Siden $f (- 1) = 0$ , er $f (x)$ delelig med $(x + 1)$ .

Polynomdivisjon gir:

(3 x^{3} + 6 x^{2} - 3 x - 6) \div (x + 1) = 3 x^{2} + 3 x - 6

Faktoriserer videre: $3 x^{2} + 3 x - 6 = 3 (x^{2} + x - 2) = 3 (x + 2) (x - 1)$ .

Dermed er $f (x) = 3 (x + 1) (x + 2) (x - 1)$ , og $f (x) = 0$ når:

x = - 2, x = - 1, x = 1

Vi har $f (x) = a x^{2} + b x + c$ , med $f^{'} (x) = 2 a x + b$ og $f^{''} (x) = 2 a$ .

Fra $f^{''} (2) = 8$ : $2 a = 8 \Rightarrow a = 4$

Fra $f^{'} (2) = 0$ : $2 \cdot 4 \cdot 2 + b = 0 \Rightarrow 16 + b = 0 \Rightarrow b = - 16$

Fra $f (2) = - 4$ : $4 \cdot 2^{2} + (- 16) \cdot 2 + c = - 4 \Rightarrow 16 - 32 + c = - 4 \Rightarrow c = 12$

f (x) = 4 x^{2} - 16 x + 12

Nullpunkter: $4 x^{2} - 16 x + 12 = 0$ . Deler på $4$ : $x^{2} - 4 x + 3 = 0 \Rightarrow (x - 1) (x - 3) = 0$

x = 1 eller x = 3

Siden $a = 4 > 0$ og $f^{'} (2) = 0$ , har grafen et bunnpunkt i $x = 2$ : $f (2) = - 4$ . Det finnes ikke noe toppunkt, siden parabelen bare vender oppover.

Bunnpunkt (2, - 4), nullpunkter x = 1 og x = 3

Ifølge figuren har øverste rad $a_{1} = 4$ rør, og hver rad nedover har ett rør mer enn raden over. Dette gir en arimetisk følge med $a_{1} = 4$ og differanse $d = 1$ :

a_{n} = a_{1} + (n - 1) \cdot d = 4 + (n - 1) = n + 3

Summen av de $n$ øverste radene er en aritmetisk rekke:

S_{n} = \sum_{i = 1}^{n} (i + 3) = \frac{n (n + 1)}{2} + 3 n = \frac{n (n + 1) + 6 n}{2} = \frac{n^{2} + 7 n}{2} = \frac{7 n + n^{2}}{2}

Vi setter $S_{n} = 225$ :

\frac{n^{2} + 7 n}{2} = 225 \Rightarrow n^{2} + 7 n - 450 = 0

Bruker abc-formelen:

n = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 1800}}{2} = \frac{- 7 \pm \sqrt{1849}}{2} = \frac{- 7 \pm 43}{2}

Siden $n$ må være positiv, velger vi $n = \frac{36}{2} = 18$ .

n = 18 rader

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Temaer: Derivasjon, Uendelig rekke, Diskrete sannsynlighetsfordelinger, Polynomdivisjon, Aritmetisk rekke
Egen side: Åpne oppgave 1-1 for seg selv

Oppgave 2-2Sparing med fast årlig innskudd og annuitet

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Signe bestemmer seg for å spare penger. Hun vil sette inn $30 000$ kroner på en bankkonto i begynnelsen av hvert år. Det første beløpet skal settes inn om ett år. Renten er $4 %$ per år i hele spareperioden.

Kalkulator

Hvor mye penger har Signe på kontoen rett etter at hun har satt inn det åttende beløpet?

Kalkulator

Finn ved regning hvor lenge Signe må spare for at det skal stå $400 000$ kroner på kontoen.

Kalkulator

Signe ønsker å ha $400 000$ kroner på kontoen like etter at hun har satt inn det åttende beløpet. Finn ved regning hvor mye Signe i så fall må sette inn på kontoen hvert år.

Fasit

$S_{8} \approx 276 426,79 kr$

$n = 11 år$

$T \approx 43 411,13 kr$

LøsningsforslagKI-generert

Signe setter inn $30 000$ kroner i begynnelsen av hvert år, første gang om ett år, med rente $4 %$ per år. Beløpene vokser med rentefaktoren $1,04$ helt til uttaksdatoen, så innskuddene danner en geometrisk rekke.

Rett etter det $n$ -te innskuddet har det første innskuddet stått og vokst i $n - 1$ år, det andre i $n - 2$ år, osv., mens det siste ( $n$ -te) innskuddet akkurat er satt inn. Saldoen er derfor

S_{n} = 30 000 \cdot \sum_{i = 0}^{n - 1} {1,04}^{i} = 30 000 \cdot \frac{{1,04}^{n} - 1}{1,04 - 1}

For $n = 8$ :

S_{8} = 30 000 \cdot \frac{{1,04}^{8} - 1}{0,04} \approx 276 426,79 kr

Se CAS-utklippet (linje 1), som gir $S_{8} \approx 276 426,7878$ .

CAS-utregning av sparebeløp og annuitet

Rett etter det åttende innskuddet har Signe $S_{8} \approx 276 426,79 kr$ på kontoen.

Vi bruker samme formel som i a), men lar $n$ være ukjent, og krever at saldoen skal være minst $400 000$ kroner:

30 000 \cdot \frac{{1,04}^{n} - 1}{0,04} = 400 000

Vi løser for ${1,04}^{n}$ :

{1,04}^{n} - 1 = \frac{400 000 \cdot 0,04}{30 000} = \frac{16 000}{30 000} \approx 0,5333

{1,04}^{n} \approx 1,5333

Tar logaritmen på begge sider:

n = \frac{\lg (1,5333)}{\lg (1,04)} \approx 10,90

Se CAS-utklippet (linje 2), som gir $n \approx 10,89843$ .

Siden Signe bare setter inn penger én gang i året, må $n$ være et helt tall. Etter $10$ innskudd har hun ikke nådd $400 000$ kroner ennå, siden $n = 10$ gir en saldo under kravet ( $n \approx 10,9$ er nødvendig). Hun må derfor spare i ett år til.

Signe må spare i $11 år$ (dvs. til rett etter det $11.$ innskuddet) før det står minst $400 000$ kroner på kontoen.

Nå er $n = 8$ fast, og vi skal finne det årlige innskuddet $T$ slik at saldoen rett etter det åttende innskuddet er nøyaktig $400 000$ kroner:

T \cdot \frac{{1,04}^{8} - 1}{0,04} = 400 000

T = \frac{400 000 \cdot 0,04}{{1,04}^{8} - 1}

Se CAS-utklippet (linje 3), som gir $T \approx 43 411,13282$ .

Signe må sette inn $T \approx 43 411,13 kr$ hvert år for å ha $400 000$ kroner på kontoen rett etter det åttende innskuddet.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Temaer: Sparing, Geometrisk rekke, Annuitetslån
Egen side: Åpne oppgave 2-2 for seg selv

Oppgave 2-3Normalfordeling med μ=30 og σ=2,5

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En stokastisk variabel $X$ er normalfordelt med $μ = 30$ og $σ = 2,5$ .

Kalkulator

Bestem $P (X \leq 31)$ .

Kalkulator

Bestem $P (X > 28)$ .

Fasit

$P (X \leq 31) \approx 0,6554$

$P (X > 28) \approx 0,7881$

LøsningsforslagKI-generert

$X$ er normalfordelt med $μ = 30$ og $σ = 2,5$ . Vi bruker GeoGebra til å beregne sannsynlighetene.

$P (X \leq 31)$ finner vi direkte som kumulativ sannsynlighet i normalfordelingen:

P (X \leq 31) \approx 0,6554

$P (X > 28)$ finner vi ved å bruke komplementet:

P (X > 28) = 1 - P (X \leq 28) \approx 1 - 0,2119 = 0,7881

Normalfordelingssannsynligheter beregnet i GeoGebra

Skjermbildet viser at $P (X \leq 31) \approx 0,66$ og $P (X > 28) \approx 0,79$ (avrundet til to desimaler i GeoGebra-vinduet; eksakte verdier fra beregningen er oppgitt over).

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Temaer: Normalfordeling, Kontinuerlige sannsynlighetsfordelinger
Egen side: Åpne oppgave 2-3 for seg selv

Oppgave 2-4Hypotesetest for ødelagte jordbærkasser

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En grossist som selger jordbær, har over tid registrert at $10 %$ av jordbærkassene inneholder bær som er ødelagt. En dag mottar grossisten $50$ kasser. Vi antar at $10 %$ av kassene inneholder bær som er ødelagt.

Kalkulator

Hva er sannsynligheten for at akkurat $5$ av kassene har ødelagte bær?

Kalkulator

Finn sannsynligheten for at minst $5$ kasser inneholder ødelagte bær.

Grossisten får mistanke om at mer enn $10 %$ av kassene inneholder ødelagte bær. For å undersøke forholdet nærmere kontrollerer han $90$ kasser. Ved denne kontrollen viser det seg at $15$ av de $90$ kassene inneholder bær som er ødelagt.

Vi lar $p$ være sannsynligheten for at en tilfeldig valgt kasse inneholder ødelagte bær.

Kalkulator

Sett opp en nullhypotese og en alternativ hypotese som passer til denne problemstillingen. Forklar hvordan du har tenkt.

Kalkulator

Undersøk om resultatet av kontrollen gir grunnlag for å si at kvaliteten på jordbærene har blitt dårligere. Velg et signifikansnivå på $5 %$ .

Fasit

$P (X = 5) \approx 0,1849$

$P (X \geq 5) \approx 0,5688$

$H_{0} : p = 0,10$ , $H_{1} : p > 0,10$

$p -verdi \approx 0,0333 < 0,05 \Rightarrow forkast H_{0}$

LøsningsforslagKI-generert

a og b

La $X$ være antall kasser med ødelagte bær blant de $50$ kassene grossisten mottar. Siden hver kasse uavhengig av de andre har sannsynlighet $10 %$ for å inneholde ødelagte bær, er $X$ binomisk fordelt med $n = 50$ og $p = 0,10$ .

Vi bruker GeoGebra CAS til å beregne sannsynlighetene direkte fra binomisk-formelen $P (X = k) = (\binom{n}{k}) \cdot p^{k} \cdot {(1 - p)}^{n - k}$ :

P (X = 5) = (\binom{50}{5}) \cdot {0,10}^{5} \cdot {0,90}^{45}

P (X \geq 5) = 1 - \sum_{i = 0}^{4} (\binom{50}{i}) \cdot {0,10}^{i} \cdot {0,90}^{50 - i}

GeoGebra CAS-utregning

Fra utklippet (P5 og PMinst5) ser vi at

P (X = 5) \approx 0,1849

P (X \geq 5) \approx 0,5688

Svar:

Sannsynligheten for at akkurat $5$ av de $50$ kassene har ødelagte bær, er $P (X = 5) \approx 0,1849$ , altså om lag $18,5 %$ .

Sannsynligheten for at minst $5$ kasser har ødelagte bær, er $P (X \geq 5) \approx 0,5688$ , altså om lag $56,9 %$ .

Grossisten har mistanke om at andelen kasser med ødelagte bær har økt utover de kjente $10 %$ . Vi lar $p$ være den sanne (ukjente) sannsynligheten for at en tilfeldig kasse inneholder ødelagte bær, og setter opp en test der nullhypotesen er «ingen endring», mens den alternative hypotesen er påstanden grossisten vil undersøke («andelen har økt»):

H_{0} : p = 0,10

H_{1} : p > 0,10

Dette er en ensidig test fordi grossisten spesifikt mistenker at kvaliteten er blitt dårligere (en høyere andel ødelagte kasser), ikke bare at andelen har endret seg i en av retningene.

Vi tester $H_{0} : p = 0,10$ mot $H_{1} : p > 0,10$ på signifikansnivå $5 %$ , basert på et utvalg på $n = 90$ kasser der $x = 15$ viste seg å inneholde ødelagte bær.

Under $H_{0}$ er antall ødelagte kasser $Y$ i utvalget binomisk fordelt med $n = 90$ og $p = 0,10$ . Vi finner $p$ -verdien, altså sannsynligheten for å få et resultat som er minst like ekstremt som det observerte ( $15$ eller flere ødelagte kasser), gitt at $H_{0}$ er sann:

p -verdi = P (Y \geq 15) = 1 - \sum_{i = 0}^{14} (\binom{90}{i}) \cdot {0,10}^{i} \cdot {0,90}^{90 - i}

Fra samme GeoGebra CAS-utklipp (PVerdi) over ser vi at

p -verdi \approx 0,0333

Siden $p -verdien \approx 0,0333 < 0,05$ , forkaster vi $H_{0}$ .

Svar: $p -verdi \approx 0,0333 < 0,05 \Rightarrow forkast H_{0}$ . Resultatet av kontrollen gir dermed grunnlag for å si at kvaliteten på jordbærene har blitt dårligere — andelen kasser med ødelagte bær ser ut til å ha økt utover de tidligere kjente $10 %$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Temaer: Binomisk fordeling, Hypotesetest, Sannsynlighet
Egen side: Åpne oppgave 2-4 for seg selv

Oppgave 2-5Derivert som aritmetisk rekke og gjenlevende i kull

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Vi har gitt andregradsfunksjonen

f (x) = 10 x^{2} - 2000 x + 100 000

Kalkulator

Bestem $f^{'} (x)$ . Regn ut $f^{'} (0)$ , $f^{'} (1)$ , $f^{'} (2)$ og $f^{'} (3)$ .

Kalkulator

Forklar at rekken $f^{'} (0) + f^{'} (1) + f^{'} (2) + f^{'} (3) + \dots$ er en aritmetisk rekke der første ledd er $a_{1} = - 2000$ og differensen er $d = 20$ .

Kalkulator

Vis at summen av de $n$ første leddene er gitt ved uttrykket

S_{n} = 10 \cdot n^{2} - 2010 \cdot n

I et land ble det et år født $100 000$ barn. Etter $x$ år er antall gjenlevende i dette kullet gitt ved modellen

f (x) = 10 x^{2} - 2000 x + 100 000 når x \in [0, 100]

Kalkulator

Regn ut $S_{100} = f^{'} (0) + f^{'} (1) + f^{'} (2) + \dots + f^{'} (99)$ . Tolk svaret du kommer fram til.

Fasit

$f^{'} (x) = 20 x - 2000$ , og $f^{'} (0) = - 2000$ , $f^{'} (1) = - 1980$ , $f^{'} (2) = - 1960$ , $f^{'} (3) = - 1940$

Aritmetisk rekke med $a_{1} = - 2000$ og $d = 20$

$S_{n} = 10 n^{2} - 2010 n$

$S_{100} = - 101 000$ — nesten hele kullet er borte etter 100 år

LøsningsforslagKI-generert

Vi deriverer $f (x) = 10 x^{2} - 2000 x + 100 000$ ledd for ledd:

f^{'} (x) = 20 x - 2000

Setter vi inn $x = 0,1,2,3$ , får vi

f^{'} (0) = - 2000, f^{'} (1) = - 1980, f^{'} (2) = - 1960, f^{'} (3) = - 1940

Differansen mellom to påfølgende ledd i rekken $f^{'} (0) + f^{'} (1) + f^{'} (2) + \dots$ er

f^{'} (x + 1) - f^{'} (x) = (20 (x + 1) - 2000) - (20 x - 2000) = 20

Differansen er altså konstant lik $d = 20$ for alle $x$ , uavhengig av hvor i rekken vi er. Dette er nettopp definisjonen på en aritmetisk rekke. Det første leddet er

a_{1} = f^{'} (0) = - 2000

Summen av de $n$ første leddene i en aritmetisk rekke er gitt ved

S_{n} = \frac{n}{2} (2 a_{1} + (n - 1) \cdot d)

Setter vi inn $a_{1} = - 2000$ og $d = 20$ :

S_{n} = \frac{n}{2} (2 \cdot (- 2000) + (n - 1) \cdot 20) = \frac{n}{2} (- 4000 + 20 n - 20) = \frac{n}{2} (20 n - 4020)

S_{n} = n (10 n - 2010) = 10 n^{2} - 2010 n

Dette bekreftes i GeoGebra CAS, der Sum(fmerket(k), k, 0, n-1) forenkles til $10 n (n - 201) = 10 n^{2} - 2010 n$ (se skjermbilde under).

Løsning i GeoGebra CAS

Vi setter $n = 100$ inn i formelen fra c), slik det også vises i CAS-utklippet over:

S_{100} = 10 \cdot 100^{2} - 2010 \cdot 100 = 100 000 - 201 000 = - 101 000

Summen $S_{100} = f^{'} (0) + f^{'} (1) + \dots + f^{'} (99)$ er tilnærmet lik den totale endringen i antall gjenlevende i kullet fra $x = 0$ til $x = 100$ , altså $f (100) - f (0)$ . Siden $f (0) = 100 000$ og modellen gir $f (100) = 0$ , stemmer dette godt med at $S_{100}$ ligger tett opp mot $- 100 000$ .

At $S_{100}$ er negativ og tallmessig omtrent like stor som hele det opprinnelige kullet, betyr at praktisk talt alle de $100 000$ barna som ble født, er døde i løpet av de $100$ årene modellen gjelder for.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Temaer: Derivasjon, Aritmetisk rekke, Rekker
Egen side: Åpne oppgave 2-5 for seg selv

Oppgave 2-6-IOverskudd med etterspørsel og kostnadsfunksjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Du skal svare på enten alternativ I eller alternativ II. De to alternativene teller like mye ved vurderingen.

Alternativ I

Ved produksjon av en vare er etterspørselen $E (p)$ enheter per uke uttrykt ved

E (p) = - 0,5 p + 80 p \in [10, 70]

Prisen $p$ per enhet er gitt i kroner.

Inntektene per uke kan uttrykkes ved funksjonen $I (p)$ . Produksjonen legges opp slik at det produseres like mange enheter som det selges. Kostnadene knyttet til produksjonen er gitt ved funksjonen

K (x) = 8 x^{2} - 1200 x + 45 600

der $x = E (p)$ er antall produserte og solgte enheter.

Kalkulator

Vis at funksjonsuttrykkene til $I (p)$ og $K (p)$ er gitt ved

I (p) = - 0,5 p^{2} + 80 p

K (p) = 2 p^{2} - 40 p + 800

Kalkulator

Hvilken pris gir størst overskudd?

Kalkulator

Hvor mange enheter per uke produseres det når overskuddet er størst?

Ved produksjon av en annen vare er etterspørselen per uke gitt ved

g (x) = 200 \cdot e^{0,02 x} x \in [1, 26]

$x = 1$ betyr uke nr. 1, og $x = 2$ betyr uke nr. 2 i produksjonstiden osv. Også for denne varen produseres det like mange enheter per uke som det selges.

Kalkulator

Tegn grafen til $g$ . I hvilken uke er etterspørselen $270$ enheter? Finn svaret både grafisk og ved regning.

Kalkulator

Hvor mange enheter produseres det i løpet av det halve året?

Fasit

$I (p) = - 0,5 p^{2} + 80 p$ , $K (p) = 2 p^{2} - 40 p + 800$

$p = 24 kr$

$x = 68 enheter$

$x \approx 15$ , altså uke $15$

$\approx 6889 enheter$

LøsningsforslagKI-generert

Inntekten er pris ganger antall solgte enheter, $I (p) = p \cdot E (p)$ :

I (p) = p (- 0,5 p + 80) = - 0,5 p^{2} + 80 p

Kostnadene er gitt ved $K (x)$ der $x = E (p)$ , altså setter vi $E (p)$ inn for $x$ i $K (x)$ :

K (p) = 8 {(- 0,5 p + 80)}^{2} - 1200 (- 0,5 p + 80) + 45 600

Vi regner ut hvert ledd. Kvadratet blir

{(- 0,5 p + 80)}^{2} = 0,25 p^{2} - 80 p + 6400

8 {(- 0,5 p + 80)}^{2} = 2 p^{2} - 640 p + 51 200

- 1200 (- 0,5 p + 80) = 600 p - 96 000

Legger vi sammen alle leddene:

K (p) = 2 p^{2} - 640 p + 51 200 + 600 p - 96 000 + 45 600 = 2 p^{2} - 40 p + 800

Dette stemmer med det vi skulle vise. Dette er også bekreftet med GeoGebra CAS (se s2-v10-2-6a.png, linje 5–6, der $O (p) = I (p) - K (E (p))$ regnes ut med $I (p)$ og $K (p)$ substituert direkte).

Overskuddet er inntekt minus kostnad:

O (p) = I (p) - K (p) = - 0,5 p^{2} + 80 p - (2 p^{2} - 40 p + 800) = - 2,5 p^{2} + 120 p - 800

Vi deriverer og setter den deriverte lik null for å finne toppunktet, se s2-v10-2-6a.png (linje 7–8):

O^{'} (p) = - 5 p + 120 = 0 \Rightarrow p = 24

Siden $O^{''} (p) = - 5 < 0$ , er dette et toppunkt (maksimum), og $p = 24 \in [10,70]$ er innenfor det gyldige intervallet. CAS gir $O (24) = 640$ (linje 9).

CAS-utregning for a, b og c

Størst overskudd oppnås ved prisen

p = 24 kr

Antall produserte enheter ved $p = 24$ er $x = E (24)$ . Fra CAS (linje 10 i s2-v10-2-6a.png) er $E (24) = 68$ . Det produseres altså

x = 68 enheter per uke

Grafen til $g (x) = 200 \cdot e^{0,02 x}$ er en voksende eksponentialkurve, fra $g (1) \approx 204$ enheter i uke 1 til $g (26) \approx 332$ enheter i uke 26. Grafisk finner vi uken der etterspørselen er $270$ enheter ved å lese av $x$ -verdien der grafen til $g$ skjærer den vannrette linjen $y = 270$ ; dette skjer omtrent ved $x \approx 15$ .

Ved regning løser vi likningen $g (x) = 270$ :

200 \cdot e^{0,02 x} = 270 \Rightarrow e^{0,02 x} = 1,35 \Rightarrow x = \frac{\ln (1,35)}{0,02}

CAS gir $x \approx 15,005$ (se s2-v10-2-6de.png, linje 2).

CAS-utregning for d og e

Siden $x$ må være et helt uketall, blir etterspørselen $270$ enheter i

uke 15

Samlet produksjon over det halve året (26 uker) er summen

\sum_{x = 1}^{26} g (x) = \sum_{x = 1}^{26} 200 \cdot e^{0,02 x}

Dette er en geometrisk rekke med $a_{1} = 200 \cdot e^{0,02}$ og kvotient $k = e^{0,02}$ . CAS gir summen direkte (se s2-v10-2-6de.png, linje 3):

\sum_{x = 1}^{26} g (x) \approx 6888,71

Siden dette er antall enheter, produseres det totalt omtrent

6889 enheter

i løpet av det halve året.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Temaer: Optimering, Derivasjon, Grenseinntekt og grensekostnad
Egen side: Åpne oppgave 2-6-I for seg selv

Oppgave 2-6-IILogistisk kostnadsfunksjon og grensekostnad

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Du skal svare på enten alternativ I eller alternativ II. De to alternativene teller like mye ved vurderingen.

Alternativ II

En bedrift produserer $x$ enheter per dag av en vare. De samlede kostnadene per dag kan beskrives ved funksjonen

K (x) = 1000 + \frac{8000}{1 + 70 \cdot e^{- 0,15 x}} x < 60

Kostnadene er gitt i kroner.

Kalkulator

Tegn grafen til $K$ .

Kalkulator

Vis ved regning at uttrykket for grensekostnaden kan skrives

K^{'} (x) = \frac{84 000 \cdot e^{- 0,15 x}}{{(1 + 70 \cdot e^{- 0,15 x})}^{2}}

Bestem $K^{'} (20)$ og forklar hva dette tallet forteller.

Kalkulator

Undersøk hvilken produksjonsmengde som gir størst grensekostnad. Finn den største grensekostnaden.

Vi går ut fra at hele produksjonen blir solgt, og at samlet inntekt ved salg av $x$ enheter er

I (x) = 220 x - x^{2}

Oppsett for hånd

Tegn grafen til $I$ i samme koordinatsystem som grafen til $K$ . Hvor mange enheter må bedriften produsere og selge per dag for at overskuddet skal bli størst mulig?

Bedriften eksperimenterer med ulike modeller for inntektsfunksjonen. De tenker seg at samlet inntekt ved salg av $x$ enheter alltid kan beskrives ved et uttrykk på formen

h (x) = a x - x^{2} der a er en positiv konstant.

Kalkulator

Er det mulig å oppnå overskudd hvis $a = 120$ ? Hva er den minste verdien $a$ kan ha dersom bedriften skal gå med overskudd?

Fasit

Se graf under (blå kurve).

$K^{'} (x) = \frac{84 000 e^{- 0,15 x}}{{(1 + 70 e^{- 0,15 x})}^{2}}$ , og $K^{'} (20) \approx 208 k r / e n h e t$

$x \approx 28 e n h e t e r, K_{\max}^{'} = 300 k r / e n h e t$

$19 e n h e t e r / d a g$ , som gir et overskudd på ca. $1235 kr$

Nei, ikke mulig med $a = 120$ . Minste verdi: $a \approx 145,1$

LøsningsforslagKI-generert

Kostnadsfunksjonen

K (x) = 1000 + \frac{8000}{1 + 70 e^{- 0,15 x}}, x < 60

er en logistisk vekstkurve: den starter i $K (0) = 1000 + \frac{8000}{71} \approx 1112,7$ og vokser mot den vannrette asymptoten $y = 9000$ når $x$ blir stor. I GeoGebra er $K$ tegnet inn sammen med $I$ fra oppgave d):

Graf av K og I

Vi skriver $K$ som en sammensatt funksjon og deriverer med kvotientregelen (indre/ytre-funksjon $u (x) = 1 + 70 e^{- 0,15 x}$ , $u^{'} (x) = - 10,5 e^{- 0,15 x}$ ):

K^{'} (x) = - 8000 \cdot \frac{u^{'} (x)}{u {(x)}^{2}} = - 8000 \cdot \frac{- 10,5 e^{- 0,15 x}}{{(1 + 70 e^{- 0,15 x})}^{2}} = \frac{84 000 e^{- 0,15 x}}{{(1 + 70 e^{- 0,15 x})}^{2}}

Dette bekrefter uttrykket i oppgaven. GeoGebra CAS gir samme resultat, og regner samtidig ut $K^{'} (20)$ :

CAS: derivasjon og K'(20)

Vi finner

K^{'} (20) \approx 207,9 k r / e n h e t

Tolkning: Når bedriften produserer $x = 20$ enheter per dag, øker de samlede kostnadene med omtrent $208 kr$ dersom produksjonen økes med én enhet til. $K^{'} (20)$ er altså grensekostnaden (marginalkostnaden) ved en produksjon på $20$ enheter.

Den største grensekostnaden finner vi der $K^{''} (x) = 0$ , altså i vendepunktet til $K$ . Vi løser $K^{''} (x) = 0$ i CAS:

CAS: Løs K''(x)=0

x = \frac{20}{3} \ln (70)

Deretter regner vi ut $x$ numerisk og setter inn i $K^{'} (x)$ :

CAS: numerisk x og maks K'

x \approx 28,3 \Rightarrow K^{'} (x) \approx 300

Siden $x$ må være et helt antall enheter, gir en produksjon på $x = 28 e n h e t e r$ tilnærmet størst grensekostnad, som da er $K_{\max}^{'} = 300 k r / e n h e t$ .

Overskuddet er $O (x) = I (x) - K (x) = 220 x - x^{2} - K (x)$ . Størst overskudd finner vi der $O^{'} (x) = 0$ , altså der $I^{'} (x) = K^{'} (x)$ (stigningstallet til inntektskurven er lik grensekostnaden). Fra grafen i a) ser vi at $I$ og $K$ har lik stigning (kurvene ligger nærmest parallelt) rundt $x \approx 18$ – $19$ , markert med punktet $MaksOverskudd \approx (18,55, 1236,5)$ på grafen over.

Siden $x$ må være et helt antall enheter, sammenligner vi $O (18)$ og $O (19)$ :

CAS: O(18) og O(19)

O (18) \approx 1233,6 kr O (19) \approx 1234,6 kr

Overskuddet er størst ved $x = 19$ . Bedriften bør altså produsere og selge $19 enheter per dag$ , noe som gir et overskudd på omtrent $1235 kr$ .

Med $h (x) = a x - x^{2}$ er overskuddet $P (x) = h (x) - K (x)$ . Størst overskudd (for en gitt $a$ ) inntreffer der $P^{'} (x) = a - 2 x - K^{'} (x) = 0$ .

Med $a = 120$ : Vi finner det største overskuddet numerisk (Extremum av $P$ på GeoGebra) og får maksimum i $x \approx 12,6$ , med verdi $P (12,6) \approx - 338 kr$ . Siden det største mulige overskuddet er negativt, er det $ikke mulig å oppnå overskudd når a = 120$ — bedriften vil alltid gå med underskudd.

Minste verdi av $a$ : Overskuddet blir akkurat mulig ( $P_{\max} = 0$ ) når grafen til $h$ tangerer grafen til $K$ , det vil si når

h (x) = K (x) og h^{'} (x) = K^{'} (x)

samtidig, altså $a x - x^{2} = K (x)$ og $a - 2 x = K^{'} (x)$ . Løser vi dette systemet numerisk i GeoGebra, finner vi tangeringspunktet $x \approx 14,31$ og $a \approx 145,07$ . Grafen viser $K$ (blå), $h$ med $a = 120$ (rød, alltid under $K$ ) og $h$ med $a \approx 145,07$ (grønn, tangerer $K$ i det markerte punktet):

Graf: tangering mellom h og K

For at bedriften skal kunne gå med overskudd, må altså $a$ være større enn dette. Den minste verdien $a$ kan ha er dermed

a \approx 145,1

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Temaer: Derivasjon, Grenseinntekt og grensekostnad, Optimering
Egen side: Åpne oppgave 2-6-II for seg selv

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Del 1uten hjelpemidler · 2 timer · 1 oppgaver

Oppgave 1-1Derivasjon, uendelig rekke og polynomdivisjon

Forstå oppgaven med en KI

Del 2alle hjelpemidler · 3 timer · 6 oppgaver

Oppgave 2-2Sparing med fast årlig innskudd og annuitet

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-3Normalfordeling med μ=30 og σ=2,5

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-4Hypotesetest for ødelagte jordbærkasser

a og b

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-5Derivert som aritmetisk rekke og gjenlevende i kull

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-6-IOverskudd med etterspørsel og kostnadsfunksjon

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-6-IILogistisk kostnadsfunksjon og grensekostnad

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Del 1uten hjelpemidler · 2 timer · 1 oppgaver

Oppgave 1-1·Derivasjon, uendelig rekke og polynomdivisjon

Del 2alle hjelpemidler · 3 timer · 6 oppgaver

Oppgave 2-2·Sparing med fast årlig innskudd og annuitet

Oppgave 2-3·Normalfordeling med μ=30 og σ=2,5

Oppgave 2-4·Hypotesetest for ødelagte jordbærkasser

a og b

Oppgave 2-5·Derivert som aritmetisk rekke og gjenlevende i kull

Oppgave 2-6-I·Overskudd med etterspørsel og kostnadsfunksjon

Oppgave 2-6-II·Logistisk kostnadsfunksjon og grensekostnad

Temaer

Oppgave 1-1Derivasjon, uendelig rekke og polynomdivisjon

Oppgave 2-2Sparing med fast årlig innskudd og annuitet

Oppgave 2-3Normalfordeling med μ=30 og σ=2,5

Oppgave 2-4Hypotesetest for ødelagte jordbærkasser

Oppgave 2-5Derivert som aritmetisk rekke og gjenlevende i kull

Oppgave 2-6-IOverskudd med etterspørsel og kostnadsfunksjon

Oppgave 2-6-IILogistisk kostnadsfunksjon og grensekostnad