S2 Vår 2010

LK06 7 oppgaver 5 timer

0 av 7 klart

Ikke prøvd Prøvd Trenger hjelp Klart

S2 Vår 2010 – oversikt over oppgavene
№	Navn	LF
Del 1 2 timer uten hjelpemidler · 1 oppgaver
1	Derivasjon, uendelig rekke og polynomdivisjon	—
Del 2 3 timer med hjelpemidler · 6 oppgaver
2	Sparing med fast årlig innskudd og annuitet	—
3	Normalfordeling med μ=30 og σ=2,5	—
4	Hypotesetest for ødelagte jordbærkasser	—
5	Derivert som aritmetisk rekke og gjenlevende i kull	—
6	Overskudd med etterspørsel og kostnadsfunksjon	—
6	Logistisk kostnadsfunksjon og grensekostnad	—

Del 1 — uten hjelpemidler · 2 timer · 1 oppgaver

Oppgave 1-1 : Derivasjon, uendelig rekke og polynomdivisjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Deriver funksjonene:

f(x)=x^2\cdot\ln x

g(x)=3\cdot e^{x^2}

Gitt den uendelige rekken

1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\cdots

Avgjør om rekken konvergerer, og bestem eventuelt summen av rekken.

Sannsynlighetsfordelingen til en stokastisk variabel $X$ er gitt ved

$x$	$-3$	$0$	$1$	$B$
$P(X=x)$	$0{,}2$	$0{,}1$	$A$	$0{,}3$

Du får opplyst at $B>1$ .

Bestem $A$ og $P(X<1)$ .

Bestem $B$ når du får opplyst at $\text{E}(X)=1{,}0$ .

Vis at variansen er $\text{Var}(X)=6{,}0$ .

Vi har gitt funksjonen $f(x)=3x^3+6x^2-3x-6$

Vis at $f(x)$ er delelig med $(x+1)$ .

Løs likningen $f(x)=0$ .

En polynomfunksjon $f$ av andre grad er gitt ved

f(x)=ax^2+bx+c

Du får oppgitt at: $f(2)=-4$ , $f'(2)=0$ og $f''(2)=8$ .

Bestem funksjonsuttrykket til $f$ .

Finn nullpunktene til $f$ og eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til $f$ .

En stabel med aluminiumsrør ligger delvis skjult bak en murvegg.

La antall rør i rad nummer $n$ ovenfra være $a_n$ . Ta utgangspunkt i tegningen og forklar at $a_n=n+3$ når $n\geq 1$ .

Vis at antall rør til sammen i de $n$ øverste radene er gitt ved

S_n=\frac{7n+n^2}{2}

Hvor mange rader trengs for å få plass til $225$ rør? (Du kan få bruk for at $\sqrt{1849}=43$ .)

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Temaer: Derivasjon, Uendelig rekke, Diskrete sannsynlighetsfordelinger, Polynomdivisjon, Aritmetisk rekke

Del 2 — med hjelpemidler · 3 timer · 6 oppgaver

Oppgave 2-2 : Sparing med fast årlig innskudd og annuitet

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Signe bestemmer seg for å spare penger. Hun vil sette inn $30\,000$ kroner på en bankkonto i begynnelsen av hvert år. Det første beløpet skal settes inn om ett år. Renten er $4\,\%$ per år i hele spareperioden.

Hvor mye penger har Signe på kontoen rett etter at hun har satt inn det åttende beløpet?

Finn ved regning hvor lenge Signe må spare for at det skal stå $400\,000$ kroner på kontoen.

Signe ønsker å ha $400\,000$ kroner på kontoen like etter at hun har satt inn det åttende beløpet. Finn ved regning hvor mye Signe i så fall må sette inn på kontoen hvert år.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Temaer: Sparing, Geometrisk rekke, Annuitetslån

Oppgave 2-3 : Normalfordeling med μ=30 og σ=2,5

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En stokastisk variabel $X$ er normalfordelt med $\mu=30$ og $\sigma=2{,}5$ .

Bestem $P(X\leq 31)$ .

Bestem $P(X>28)$ .

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Temaer: Normalfordeling, Kontinuerlige sannsynlighetsfordelinger

Oppgave 2-4 : Hypotesetest for ødelagte jordbærkasser

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En grossist som selger jordbær, har over tid registrert at $10\,\%$ av jordbærkassene inneholder bær som er ødelagt. En dag mottar grossisten $50$ kasser. Vi antar at $10\,\%$ av kassene inneholder bær som er ødelagt.

Hva er sannsynligheten for at akkurat $5$ av kassene har ødelagte bær?

Finn sannsynligheten for at minst $5$ kasser inneholder ødelagte bær.

Grossisten får mistanke om at mer enn $10\,\%$ av kassene inneholder ødelagte bær. For å undersøke forholdet nærmere kontrollerer han $90$ kasser. Ved denne kontrollen viser det seg at $15$ av de $90$ kassene inneholder bær som er ødelagt.

Vi lar $p$ være sannsynligheten for at en tilfeldig valgt kasse inneholder ødelagte bær.

Sett opp en nullhypotese og en alternativ hypotese som passer til denne problemstillingen. Forklar hvordan du har tenkt.

Undersøk om resultatet av kontrollen gir grunnlag for å si at kvaliteten på jordbærene har blitt dårligere. Velg et signifikansnivå på $5\,\%$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Temaer: Binomisk fordeling, Hypotesetest, Sannsynlighet

Oppgave 2-5 : Derivert som aritmetisk rekke og gjenlevende i kull

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Vi har gitt andregradsfunksjonen

f(x)=10x^2-2000x+100\,000

Bestem $f'(x)$ . Regn ut $f'(0)$ , $f'(1)$ , $f'(2)$ og $f'(3)$ .

Forklar at rekken $f'(0)+f'(1)+f'(2)+f'(3)+\cdots$ er en aritmetisk rekke der første ledd er $a_1=-2000$ og differensen er $d=20$ .

Vis at summen av de $n$ første leddene er gitt ved uttrykket

S_n=10\cdot n^2-2010\cdot n

I et land ble det et år født $100\,000$ barn. Etter $x$ år er antall gjenlevende i dette kullet gitt ved modellen

f(x)=10x^2-2000x+100\,000 \qquad \text{når } x\in[0,\,100]

Regn ut $S_{100}=f'(0)+f'(1)+f'(2)+\cdots+f'(99)$ . Tolk svaret du kommer fram til.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Temaer: Derivasjon, Aritmetisk rekke, Rekker

Oppgave 2-6 : Overskudd med etterspørsel og kostnadsfunksjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Du skal svare på enten alternativ I eller alternativ II. De to alternativene teller like mye ved vurderingen.

Alternativ I

Ved produksjon av en vare er etterspørselen $E(p)$ enheter per uke uttrykt ved

E(p)=-0{,}5p+80 \qquad p\in[10,\,70]

Prisen $p$ per enhet er gitt i kroner.

Inntektene per uke kan uttrykkes ved funksjonen $I(p)$ . Produksjonen legges opp slik at det produseres like mange enheter som det selges. Kostnadene knyttet til produksjonen er gitt ved funksjonen

K(x)=8x^2-1200x+45\,600

der $x=E(p)$ er antall produserte og solgte enheter.

Vis at funksjonsuttrykkene til $I(p)$ og $K(p)$ er gitt ved

I(p)=-0{,}5p^2+80p

K(p)=2p^2-40p+800

Hvilken pris gir størst overskudd?

Hvor mange enheter per uke produseres det når overskuddet er størst?

Ved produksjon av en annen vare er etterspørselen per uke gitt ved

g(x)=200\cdot e^{0{,}02x} \qquad x\in[1,\,26]

$x=1$ betyr uke nr. 1, og $x=2$ betyr uke nr. 2 i produksjonstiden osv. Også for denne varen produseres det like mange enheter per uke som det selges.

Tegn grafen til $g$ . I hvilken uke er etterspørselen $270$ enheter? Finn svaret både grafisk og ved regning.

Hvor mange enheter produseres det i løpet av det halve året?

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Temaer: Optimering, Derivasjon, Grenseinntekt og grensekostnad

Oppgave 2-6 : Logistisk kostnadsfunksjon og grensekostnad

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Du skal svare på enten alternativ I eller alternativ II. De to alternativene teller like mye ved vurderingen.

Alternativ II

En bedrift produserer $x$ enheter per dag av en vare. De samlede kostnadene per dag kan beskrives ved funksjonen

K(x)=1000+\frac{8000}{1+70\cdot e^{-0{,}15x}} \qquad x<60

Kostnadene er gitt i kroner.

Tegn grafen til $K$ .

Vis ved regning at uttrykket for grensekostnaden kan skrives

K'(x)=\frac{84\,000\cdot e^{-0{,}15x}}{(1+70\cdot e^{-0{,}15x})^2}

Bestem $K'(20)$ og forklar hva dette tallet forteller.

Undersøk hvilken produksjonsmengde som gir størst grensekostnad. Finn den største grensekostnaden.

Vi går ut fra at hele produksjonen blir solgt, og at samlet inntekt ved salg av $x$ enheter er

I(x)=220x-x^2

Tegn grafen til $I$ i samme koordinatsystem som grafen til $K$ . Hvor mange enheter må bedriften produsere og selge per dag for at overskuddet skal bli størst mulig?

Bedriften eksperimenterer med ulike modeller for inntektsfunksjonen. De tenker seg at samlet inntekt ved salg av $x$ enheter alltid kan beskrives ved et uttrykk på formen

h(x)=ax-x^2 \qquad \text{der } a \text{ er en positiv konstant.}

Er det mulig å oppnå overskudd hvis $a=120$ ? Hva er den minste verdien $a$ kan ha dersom bedriften skal gå med overskudd?

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Temaer: Derivasjon, Grenseinntekt og grensekostnad, Optimering

Sync på tvers av enheter

S2 Vår 2010

Del 1 — uten hjelpemidler · 2 timer · 1 oppgaver

Oppgave 1-1 : Derivasjon, uendelig rekke og polynomdivisjon

Del 2 — med hjelpemidler · 3 timer · 6 oppgaver

Oppgave 2-2 : Sparing med fast årlig innskudd og annuitet

Oppgave 2-3 : Normalfordeling med μ=30 og σ=2,5

Oppgave 2-4 : Hypotesetest for ødelagte jordbærkasser

Oppgave 2-5 : Derivert som aritmetisk rekke og gjenlevende i kull

Oppgave 2-6 : Overskudd med etterspørsel og kostnadsfunksjon

Oppgave 2-6 : Logistisk kostnadsfunksjon og grensekostnad

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave