Tallfølge og delbarhet

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En tallfølge $\{a_n\}$ er gitt ved $a_n = n^3 + 1$

Skriv opp de fire første leddene i tallfølgen.

Vis at leddene $a_1, a_2, a_3$ og $a_4$ er delelige med henholdsvis 2, 3, 4 og 5.

Vis at $a_n$ er delelig med $n + 1$

Fasit

$a_1 = 2$ , $a_2 = 9$ , $a_3 = 28$ , $a_4 = 65$

$a_1 = 2$ er delelig med 2, $a_2 = 9$ er delelig med 3, $a_3 = 28$ er delelig med 4, $a_4 = 65$ er delelig med 5.

$n^3 + 1 = (n+1)(n^2 - n + 1)$ , som er delelig med $n+1$ for alle naturlige tall $n$ .

LøsningsforslagKI-generert

Vi setter inn $n = 1, 2, 3, 4$ i formelen $a_n = n^3 + 1$ :

a_1 = 1^3 + 1 = 2

a_2 = 2^3 + 1 = 9

a_3 = 3^3 + 1 = 28

a_4 = 4^3 + 1 = 65

Vi sjekker at hvert ledd er delelig med henholdsvis 2, 3, 4 og 5:

\frac{a_1}{2} = \frac{2}{2} = 1 \quad \Rightarrow \quad a_1 \text{ er delelig med } 2

\frac{a_2}{3} = \frac{9}{3} = 3 \quad \Rightarrow \quad a_2 \text{ er delelig med } 3

\frac{a_3}{4} = \frac{28}{4} = 7 \quad \Rightarrow \quad a_3 \text{ er delelig med } 4

\frac{a_4}{5} = \frac{65}{5} = 13 \quad \Rightarrow \quad a_4 \text{ er delelig med } 5

Vi ønsker å vise at $a_n = n^3 + 1$ er delelig med $n + 1$ for alle naturlige tall $n$ .

Vi faktoriserer $n^3 + 1$ ved å bruke at $n = -1$ er en rot (siden $(-1)^3 + 1 = 0$ ), og utfører polynomdivisjon:

n^3 + 1 = (n + 1)(n^2 - n + 1)

Vi kan verifisere dette ved å gange ut:

(n+1)(n^2 - n + 1) = n^3 - n^2 + n + n^2 - n + 1 = n^3 + 1 \checkmark

Siden $n^3 + 1 = (n+1)(n^2 - n + 1)$ , er $(n+1)$ en faktor i $a_n$ for alle naturlige tall $n$ . Dermed er $a_n$ delelig med $n + 1$ .

Oppgavedata

Sync på tvers av enheter