Trekanttall og induksjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Trekanttall kan illustreres som antall golfballer som danner en trekanttall. Figuren nedenfor viser de tre første trekanttallene $a_1$ , $a_2$ og $a_3$ .

De tre første trekanttallene illustrert med golfballer

$S_n$ er summen av de $n$ første trekanttallene.

Skriv opp de fem første trekanttallene $a_1$ , $a_2$ , $a_3$ , $a_4$ og $a_5$ og de fem første summene $S_1$ , $S_2$ , $S_3$ , $S_4$ og $S_5$ .

Forklar at $a_n = 1 + 2 + 3 + \cdots + n$ . Bruk dette til å vise at $a_n = \dfrac{n(n+1)}{2}$ .

Bruk regresjon på de fem første summene $S_1$ , $S_2$ , $S_3$ , $S_4$ og $S_5$ til å finne et tredjegradsuttrykk for $S_n$ . Vis at tredjegradsuttrykket er en tilnærming av

S_n = \frac{n(n+1)(n+2)}{6}

Resultatet ovenfor gjelder i prinsippet bare for de fem første summene $S_1$ , $S_2$ , $S_3$ , $S_4$ og $S_5$ . Vi ønsker å undersøke om formelen gjelder for alle $n$ -verdier. Da må vi gjennomføre et matematisk bevis.

Bruk induksjon til å bevise at formelen $S_n = \dfrac{n(n+1)(n+2)}{6}$ er riktig.

Oppgavedata

Hentet fra: R2 V2009, del 2, oppgave 5
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Temaer: Tallfølger, Rekker, Induksjon, Bevis

Trekanttall og induksjon

Sync på tvers av enheter

Trekanttall og induksjon

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave