Et fotballmål har lengde $CD = 7{,}3 \mathrm{~m}$. En fotballspiller løper med ballen langs linjestykket $AB$, slik figuren nedenfor viser. Punktet $B$ ligger $8{,}0 \mathrm{~m}$ fra punktet $C$. Han vil skyte på mål når $\angle\alpha = \angle DAC$ er størst mulig. $\angle\alpha$ avhenger av lengden $x = AB$.

Vi setter $\angle DAB = u$ og $\angle CAB = v$ og lar $f(x) = \tan(\alpha) = \tan(u-v)$

a)

Bruk formelen $\tan(u-v) = \dfrac{\tan u - \tan v}{1 + \tan u \cdot \tan v}$ til å vise at

$$f(x) = \frac{7{,}3x}{x^2 + 122{,}4}$$

b)

Bestem den største verdien for $f(x)$ og tilhørende verdi for $x$.

Vi vet at $\alpha$ har sin største verdi når $\tan\alpha$ har sin største verdi.

c)

Bestem $\alpha_{\text{maks}}$.