2P Høst 2022 · Matematikkoppgaver

Oppgave 1-1Median eller gjennomsnitt for Maias boklesing

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

I sommerferien liker Maia å lese bøker. Nedenfor ser du hvor mange sider hun leste hver av de 10 første dagene i ferien.

20 15 15 25 20 15 25 100 25 20

Bestem medianen og gjennomsnittet for datamaterialet.

Hvilket av de to sentralmålene mener du best beskriver datamaterialet? Husk å begrunne svaret ditt.

Fasit

$Median = 20$ , $Gjennomsnitt = 28$

Medianen beskriver datamaterialet best

LøsningsforslagKI-generert

Vi sorterer tallene fra minst til størst:

15, 15, 15, 20, 20, 20, 25, 25, 25, 100

Det er $10$ tall, altså et partall. Da er medianen gjennomsnittet av de to midterste tallene, som er tall nummer $5$ og $6$ i den sorterte rekken:

Median = \frac{20 + 20}{2} = 20

Gjennomsnittet finner vi ved å summere alle tallene og dele på antallet:

Gjennomsnitt = \frac{15 + 15 + 15 + 20 + 20 + 20 + 25 + 25 + 25 + 100}{10} = \frac{280}{10} = 28

Medianen er $20 sider$ , og gjennomsnittet er $28 sider$ .

Én av dagene leste Maia hele $100$ sider, mens hun de andre dagene leste mellom $15$ og $25$ sider. Denne ene ekstremverdien drar gjennomsnittet kraftig opp, slik at gjennomsnittet på $28$ sider gir et feilaktig inntrykk av en “typisk” lesedag for Maia — de fleste dagene leste hun langt mindre enn dette.

Medianen på $20$ sider blir ikke påvirket av ekstremverdien på samme måte, siden den bare ser på hvilket tall som ligger i midten av datamaterialet.

Medianen beskriver derfor datamaterialet best, fordi den ikke lar seg påvirke av enkeltdager med uvanlig høyt eller lavt lesetall.

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Temaer: Statistikk, Sentralmål
Egen side: Åpne oppgave 1-1 for seg selv

Oppgave 1-2Kjøpekraft for Anna i 2015 og 2019

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Tabellen nedenfor viser konsumprisindeksen (KPI) for årene 2015—2021.

År	2015	2016	2017	2018	2019	2020	2021
KPI	100	103,6	105,5	108,4	110,8	112,2	116,1

I 2015 hadde Anna en nominell lønn på $400 000$ kroner. I 2019 hadde hun en nominell lønn på $440 000$ kroner.

I hvilket av disse to årene hadde hun størst kjøpekraft?

Fasit

$Anna hadde størst kjøpekraft i 2015$

LøsningsforslagKI-generert

For å sammenligne kjøpekraften i to forskjellige år må vi regne om den nominelle (faktiske) lønnen til det vi kaller reallønn, altså hva lønnen er verdt målt i faste priser. Vi bruker $2015$ som referanseår, siden KPI $= 100$ det året. Reallønnen finner vi med formelen

Reallønn = \frac{Nominell lønn}{KPI} \cdot 100

Reallønn i 2015:

I 2015 er KPI $= 100$ , så reallønnen er lik den nominelle lønnen:

{Reallønn}_{2015} = \frac{400 000}{100} \cdot 100 = 400 000 kr

Reallønn i 2019:

I 2019 er KPI $= 110,8$ , og den nominelle lønnen er $440 000 kr$ :

{Reallønn}_{2019} = \frac{440 000}{110,8} \cdot 100 \approx 397 112 kr

Sammenligning:

Reallønnen (kjøpekraften) i 2015 var $400 000 kr$ , mens reallønnen i 2019 var omtrent $397 112 kr$ , altså litt lavere. Selv om Anna hadde en høyere nominell lønn i 2019, hadde hun dermed noe mindre kjøpekraft det året, fordi prisene (KPI) hadde steget mer enn lønnen hennes.

Anna hadde derfor størst kjøpekraft i $2015$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Temaer: Prisindeks, Reallønn, Økonomi
Egen side: Åpne oppgave 1-2 for seg selv

Oppgave 1-3Python-program med if-test for a, b og c

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

# Velger verdier for a, b og c

a = 4
b = 5
c = 3

if a ** 2 + b ** 2 == c ** 2  or  a ** 2 + c ** 2 == b ** 2  or  b ** 2 + c ** 2 == a ** 2:

    print("                        ")

Lars har laget programmet ovenfor.

Hva kan han bruke programmet til? Foreslå en passende tekst som kan skrives i linje 11.

Fasit

Programmet sjekker om $a$ , $b$ og $c$ kan være sidelengdene i en rettvinklet trekant (Pytagoras’ setning). Forslag til linje 11: $𝚙𝚛𝚒𝚗𝚝("𝚊, 𝚋 𝚘𝚐 𝚌 𝚔𝚊𝚗 𝚟æ𝚛𝚎 𝚜𝚒𝚍𝚎𝚕𝚎𝚗𝚐𝚍𝚎𝚗𝚎 𝚒 𝚎𝚗 𝚛𝚎𝚝𝚝𝚟𝚒𝚗𝚔𝚕𝚎𝚝 𝚝𝚛𝚎𝚔𝚊𝚗𝚝")$

LøsningsforslagKI-generert

Vi sporer gjennom programmet linje for linje.

I linje 3–5 blir variablene satt til $a = 4$ , $b = 5$ og $c = 3$ .

I linje 9 sjekker if-testen om én av de tre sammenhengene som gjelder for en rettvinklet trekant (Pytagoras’ setning) er oppfylt, altså om kvadratet av én side er lik summen av kvadratene til de to andre sidene. Vi setter inn tallene i hvert av de tre leddene:

a^{2} + b^{2} = 4^{2} + 5^{2} = 16 + 25 = 41, c^{2} = 3^{2} = 9

Her er $41 \neq 9$ , så dette leddet er usant.

a^{2} + c^{2} = 4^{2} + 3^{2} = 16 + 9 = 25, b^{2} = 5^{2} = 25

Her er $25 = 25$ , så dette leddet er sant.

Siden if-testen bruker or, holder det at ett av leddene er sant for at hele betingelsen skal bli sann. Betingelsen i linje 9 blir dermed sann, og programmet går inn i if-blokken og kjører print-setningen i linje 11.

Programmet sjekker altså, for tre gitte tall $a$ , $b$ og $c$ , om de kan være sidelengdene i en rettvinklet trekant. Med $a = 4$ , $b = 5$ og $c = 3$ stemmer dette, siden $4$ , $3$ og $5$ er sidene i en velkjent rettvinklet trekant (den minste pytagoreiske tripletten).

En passende tekst i linje 11 må derfor fortelle brukeren at de tre tallene faktisk danner en rettvinklet trekant, for eksempel:

𝚙𝚛𝚒𝚗𝚝("𝚊, 𝚋 𝚘𝚐 𝚌 𝚔𝚊𝚗 𝚟æ𝚛𝚎 𝚜𝚒𝚍𝚎𝚕𝚎𝚗𝚐𝚍𝚎𝚗𝚎 𝚒 𝚎𝚗 𝚛𝚎𝚝𝚝𝚟𝚒𝚗𝚔𝚕𝚎𝚝 𝚝𝚛𝚎𝚔𝚊𝚗𝚝")

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Temaer: Programmering, Pytagoras
Egen side: Åpne oppgave 1-3 for seg selv

Oppgave 1-4Solveig løser ulikhet og likning grafisk

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Grafen til f(x) = x² − 5x + 4 for x mellom −1 og 5

I koordinatsystemet ovenfor ser du grafen til funksjonen $f$ gitt ved

f (x) = x^{2} - 5 x + 4

Solveig har fått de to oppgavene nedenfor.

Løs ulikheten $x^{2} - 5 x < - 4$
Løs likningen $x^{2} - 5 x + 4 = 2 x - 6$

Vis Solveig hvordan hun kan løse oppgavene ved å bruke den grafiske framstillingen.

Fasit

$1 < x < 4$
$x = 2 eller x = 5$

LøsningsforslagKI-generert

1) Ulikheten $x^{2} - 5 x < - 4$

Vi flytter alt over på venstre side, slik at ulikheten sammenlignes med $f (x)$ :

x^{2} - 5 x < - 4 \Leftrightarrow x^{2} - 5 x + 4 < 0 \Leftrightarrow f (x) < 0

Å løse ulikheten er dermed det samme som å finne ut hvilke $x$ -verdier som gjør at grafen til $f$ ligger under $x$ -aksen. Av den oppgitte grafen ser vi at $f$ skjærer $x$ -aksen i $x = 1$ og $x = 4$ , og at grafen ligger under $x$ -aksen mellom disse to nullpunktene (parabelen vender grenene oppover, og er negativ mellom røttene).

Løsningen av ulikheten er $1 < x < 4$ .

2) Likningen $x^{2} - 5 x + 4 = 2 x - 6$

Her er venstre side lik $f (x)$ , mens høyre side er uttrykket for en rett linje, $y = 2 x - 6$ . Å løse likningen grafisk vil si å tegne linjen $y = 2 x - 6$ inn i samme koordinatsystem som $f$ , og lese av $x$ -koordinatene til skjæringspunktene mellom grafen og linjen.

Linjen $y = 2 x - 6$ har stigningstall $2$ og skjærer $y$ -aksen i $y = - 6$ . Vi tegner den inn sammen med grafen til $f$ :

Grafen til f sammen med linjen y = 2x - 6, med skjæringspunktene (2, -2) og (5, 4)

Av skissen ser vi at grafen til $f$ og linjen skjærer hverandre i punktene $(2, - 2)$ og $(5, 4)$ .

Løsningen av likningen er $x = 2 eller x = 5$ , altså $x$ -koordinatene til skjæringspunktene.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Temaer: Andregradsfunksjon, Grafisk løsning, Andregradsulikhet, Likninger
Egen side: Åpne oppgave 1-4 for seg selv

Oppgave 2-1Prisforskjell mellom to kaffetyper 2P H22

Kalkulator

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Graf som viser pris i kroner mot vekt i hektogram for kaffetypene A og B

Den grafiske framstillingen ovenfor viser sammenhengen mellom vekt og pris for to ulike typer kaffe, type A og type B.

Hvor stor er prisforskjellen per hektogram?

Fasit

$14 k r / h g$

LøsningsforslagKI-generert

For en proporsjonal sammenheng er stigningstallet lik prisen per hektogram. Vi finner stigningstallet til hver linje ved å lese av et punkt på linja der linja krysser en gitterlinje.

For linje $A$ leser vi av punktet $(10, 220)$ :

a_{A} = \frac{220}{10} = 22 k r / h g

For linje $B$ leser vi av punktet $(10, 80)$ :

a_{B} = \frac{80}{10} = 8 k r / h g

Prisforskjellen per hektogram blir dermed

a_{A} - a_{B} = 22 - 8 = 14 k r / h g

Kaffetype A koster altså $14$ kroner mer per hektogram enn kaffetype B.

$Prisforskjellen er 14 k r / h g$

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Temaer: Lineære funksjoner, Graftolkning, Proporsjonalitet
Egen side: Åpne oppgave 2-1 for seg selv

Oppgave 2-2Ukjent tall på tallinje med lengdene 2a og 5a

Kalkulator

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

På tallinjen nedenfor er det merket av noen tall og noen lengder.

Tallinje fra −28 til 56 med en tom rute mellom. Avstanden fra −28 til ruten er 2a, og avstanden fra ruten til 56 er 5a

Hvilket tall skal stå i den tomme ruten? Husk å forklare hvordan du kommer fram til svaret.

Fasit

$- 4$

LøsningsforslagKI-generert

Hele lengden på tallinjen fra $- 28$ til $56$ er summen av de to delstrekningene $2 a$ og $5 a$ . Vi finner først den totale lengden:

56 - (- 28) = 84

Siden strekningen er delt i $2 a$ og $5 a$ , setter vi opp likningen

2 a + 5 a = 84

7 a = 84

a = \frac{84}{7} = 12

Tallet i den tomme ruta finner vi ved å gå $2 a$ til høyre for $- 28$ :

- 28 + 2 a = - 28 + 2 \cdot 12 = - 28 + 24 = - 4

Vi kontrollerer ved å gå $5 a$ til venstre for $56$ :

56 - 5 a = 56 - 5 \cdot 12 = 56 - 60 = - 4

Begge veiene gir samme svar, så tallet i ruta stemmer.

$Tallet i den tomme ruta er - 4$

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Temaer: Tallregning, Likninger, Argumentasjon
Egen side: Åpne oppgave 2-2 for seg selv

Oppgave 2-3Prisøkning med ulik prosentsats 2P H22

Kalkulator

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Prisen for en vare ble satt opp med $1,5 %$ . Dette tilsvarte en prisøkning på 300 kroner.

Hvor mange kroner ville prisøkningen tilsvart dersom prisen for varen i stedet hadde blitt satt opp med $4,0 %$ ?

Fasit

$800 kr$

LøsningsforslagKI-generert

Vi vet at $1,5 %$ av prisen tilsvarer $300$ kroner. Da finner vi først hva $1 %$ av prisen tilsvarer:

1 % \to \frac{300}{1,5} = 200 kr

Prisøkningen ved $4,0 %$ blir da

4,0 % \to 4,0 \cdot 200 = 800 kr

En prisøkning på $4,0 %$ ville altså tilsvart $800$ kroner.

$Prisøkningen ville vært 800 kr$

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 1
Temaer: Prosentregning, Proporsjonalitet
Egen side: Åpne oppgave 2-3 for seg selv

Oppgave 2-4Seks rektangler med samme areal og diagramvalg

For hånd

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Jens har seks rektangler. Alle rektanglene har samme areal.

Hvilket av diagrammene nedenfor viser sammenhengen mellom lengden $(x)$ og bredden $(y)$ i hvert rektangel?

Husk å begrunne svaret ditt.

Fem punktdiagrammer A–E med seks punkter hver. A: vannrett rekke. B: stigende rett linje. C: synkende rett linje. D: loddrett rekke. E: synkende kurve som flater ut

Fasit

Diagram E.

LøsningsforslagKI-generert

For alle de seks rektanglene er arealet det samme. Kaller vi dette felles arealet for $A$ , gjelder for hvert rektangel

x \cdot y = A \Rightarrow y = \frac{A}{x}

Bredden $y$ er altså omvendt proporsjonal med lengden $x$ : øker $x$ , må $y$ minke slik at produktet forblir konstant.

For å se hvordan denne sammenhengen ser ut, kan vi tenke oss et areal, for eksempel $A = 24 m^{2}$ , og regne ut noen tilhørende verdipar:

$x$	1	2	3	4	6	8
$y = 24 / x$	24	12	8	6	4	3

Vi ser at $y$ avtar når $x$ øker, men ikke jevnt: for små $x$ -verdier faller $y$ raskt, mens for store $x$ -verdier flater kurven ut (fra $x = 6$ til $x = 8$ synker $y$ bare fra $4$ til $3$ ). Dette gir en synkende, buet kurve, ikke en rett linje.

Dette utelukker de andre diagrammene:

A (vannrett rekke) og D (loddrett rekke) betyr at $y$ (eller $x$ ) er konstant uansett $x$ (eller $y$ ) — det stemmer ikke, siden begge sidene i rektanglene varierer.
B (stigende rett linje) ville betydd at $y$ øker når $x$ øker — da ville arealet $x \cdot y$ blitt stadig større, ikke konstant.
C (synkende rett linje) er også feil, fordi en rett linje svarer til en lineær sammenheng ( $y = A - k x$ ), ikke en omvendt proporsjonal sammenheng. Med en rett linje ville produktet $x \cdot y$ variert langs linjen, ikke holdt seg konstant.

Bare diagram E, med en synkende kurve som flater ut, kan vise seks punkter som alle ligger på en hyperbel $y = A / x$ med konstant areal.

$Diagram E$

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Temaer: Omvendt proporsjonalitet, Areal og omkrets, Graftolkning
Egen side: Åpne oppgave 2-4 for seg selv

Oppgave 2-5Fylle beholdere med vann 2P H22

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Tre beholdere A, B og C med hver sin kran. A er en sylinder. B er en vid, lav sylinder oppå en smal sylinder. C er en smal sylinder oppå en vid, lav sylinder

Per skal fylle de tre beholderne ovenfor med vann. Vannet renner inn i hver beholder med samme konstante hastighet.

For hånd

Grafene nedenfor viser sammenhengen mellom tid og vannhøyde for to av beholderne. Hvilke to? Husk å begrunne svaret ditt.

Koordinatsystem med tid på x-aksen og vannhøyde på y-aksen. Den ene grafen er en rett linje fra origo. Den andre stiger bratt først og deretter slakere

For hånd

Tegn av koordinatsystemet ovenfor med de to grafene. Tegn også inn grafen som viser sammenhengen mellom tid og vannhøyde når den tredje beholderen blir fylt. Forklar hvordan du tenker når du tegner den siste grafen.

Fasit

$Grafene passer til beholder A og beholder B$

Se skisse i løsningsforslaget

LøsningsforslagKI-generert

Farten vannet stiger med, avhenger av hvor bredt tverrsnittet til beholderen er der vannet står. Jo smalere tverrsnitt, jo raskere stiger vannhøyden, siden det skal mindre vann til for å heve nivået med én centimeter. Jo bredere tverrsnitt, jo saktere stiger vannhøyden.

Beholder A er en sylinder med samme bredde hele veien opp. Da stiger vannet like fort hele tiden, og grafen blir en rett linje fra origo.
Beholder B er smal nederst og vid øverst. Vannet stiger derfor raskt (bratt graf) mens den smale delen fylles, og deretter saktere (slakere graf) når den vide delen på toppen fylles.
Beholder C er vid nederst og smal øverst. Vannet stiger derfor saktere (slak graf) mens den vide delen fylles, og deretter raskere (bratt graf) når den smale delen på toppen fylles.

Den ene grafen som er gitt, er en rett linje gjennom origo — det passer med beholder A. Den andre grafen stiger bratt først og flater deretter ut — det passer med beholder B, siden den fylles fort i den smale bunnen og sakte i den vide toppen.

De to gitte grafene viser beholder A og beholder B

Grafen til beholder C skal ha motsatt form av grafen til beholder B: den skal stige sakte (slakt) i starten, mens den brede bunnen av C fylles, og deretter raskt (bratt) mot slutten, når den smale toppen av C fylles.

Koordinatsystemet tegnet av med de to gitte grafene A (rett linje, blå) og B (bratt så slakk, grønn), og den nye grafen for C (slak så bratt, rød)

Forklaring: Siden C har en vid (bred) del nederst, trengs det mye vann for å heve vannstanden der, så grafen starter med et lite stigningstall (slak). Når vannet når den smale delen øverst i C, skal det mye mindre vann til per centimeter høyde, så grafen blir brattere mot slutten.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Temaer: Graftolkning, Funksjoner, Modellering
Egen side: Åpne oppgave 2-5 for seg selv

Oppgave 2-6Misvisende linjediagram for e-poster 2P H22

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Linjediagram over antall tusen e-poster sendt per dag i årene 2013, 2015, 2016, 2017, 2018 og 2021, med like lang avstand mellom alle årstallene på førsteaksen

Jens har laget et linjediagram som skal vise hvor mange e-poster som i gjennomsnitt ble sendt hver dag i et firma i årene 2013–2021. Se ovenfor.

For hånd

Hvorfor er diagrammet misvisende?

For hånd

Lag et linjediagram du mener er mindre misvisende. Begrunn hvorfor du mener diagrammet ditt illustrerer de gitte opplysningene på en bedre måte.

Jens påstår at antallet e-poster som i gjennomsnitt ble sendt hver dag, økte mest fra 2017 til 2018.

Kalkulator

Vurder om denne påstanden kan være riktig.

Fasit

Tidsaksen har lik avstand mellom årstallene, selv om tidsrommene mellom dem ikke er like lange.

$Korrigert diagram med proporsjonal tidsakse, se under$

$Påstanden stemmer målt i antall$

LøsningsforslagKI-generert

I diagrammet står årstallene $2013, 2015, 2016, 2017, 2018$ og $2021$ med like stor avstand mellom seg langs førsteaksen. I virkeligheten er ikke tidsrommene mellom disse årstallene like lange:

Intervall	Antall år
2013–2015	2
2015–2016	1
2016–2017	1
2017–2018	1
2018–2021	3

Fordi aksen ikke er en riktig tallakse for tid, ser det ut som om e-postmengden vokser i et jevnt tempo fra punkt til punkt. I virkeligheten er for eksempel den siste økningen (fra 2018 til 2021) strukket ut over tre år, men den er tegnet med samme bredde som overgangene som bare gjelder ett år. Diagrammet gir dermed et misvisende inntrykk av hvor raskt antallet e-poster faktisk økte i de ulike periodene.

Vi lager et nytt linjediagram der førsteaksen er en riktig tallakse for årstall, slik at avstanden mellom to årstall på aksen er proporsjonal med hvor mange år som faktisk skiller dem. Andreaksen starter fortsatt på $0$ , slik som i det opprinnelige diagrammet.

Korrigert linjediagram med proporsjonal tidsakse, som viser at økningen fra 2018 til 2021 i realiteten er slakere enn fra 2017 til 2018

Nå ser vi at linjestykket fra $2018$ til $2021$ strekker seg over en mye bredere del av aksen enn de andre linjestykkene, siden det dekker tre år. Diagrammet gir dermed et riktigere bilde av hvor bratt økningen faktisk var i de ulike periodene.

Vi leser av (omtrent) følgende verdier fra diagrammet, i tusen e-poster per dag:

År	2013	2015	2016	2017	2018	2021
Antall (tusen)	$10$	$18$	$35$	$62$	$108$	$188$

Vi regner ut økningen i antall (differansen) mellom hvert par av nabotall, og hvor mange år økningen er fordelt på:

Periode	Økning (tusen)	Antall år	Økning per år
2013–2015	$18 - 10 = 8$	$2$	$8 / 2 = 4,0$
2015–2016	$35 - 18 = 17$	$1$	$17$
2016–2017	$62 - 35 = 27$	$1$	$27$
2017–2018	$108 - 62 = 46$	$1$	$46$
2018–2021	$188 - 108 = 80$	$3$	$80 / 3 \approx 26,7$

Den årlige økningen fra 2017 til 2018 er $46$ tusen e-poster, som er klart mer enn i alle de andre periodene — også mer enn gjennomsnittet på ca. $26,7$ tusen per år for perioden 2018–2021 (som samlet økte med $80$ tusen, men fordelt på tre år). Målt i antall stemmer altså Jens’ påstand: ingen annen ettårsperiode i datamaterialet har en like stor økning som 2017–2018.

Det er verdt å merke seg at vi ikke har egne tall for 2019 og 2020, men siden gjennomsnittet for hele perioden 2018–2021 er godt under $46$ tusen per år, støtter datagrunnlaget vi har påstanden.

Absolutt økning er ikke det samme som prosentvis økning. Regner vi i stedet ut hvor mange prosent antallet økte med i hver periode,

\frac{35 - 18}{18} \approx 94,4 %

ser vi at den prosentvis største økningen var fra 2015 til 2016 ( $\approx 94,4 %$ ), mens økningen fra 2017 til 2018 bare var på $\frac{46}{62} \approx 74,2 %$ . Så om Jens hadde ment «økte mest» i prosent, ville påstanden vært feil — men målt i faktisk antall e-poster stemmer den.

$Påstanden stemmer når vi ser på økningen målt i antall (46 000 fra 2017 til 2018).$

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Temaer: Diagram, Presentasjon av data, Argumentasjon
Egen side: Åpne oppgave 2-6 for seg selv

Oppgave 2-7Blomsterbed formet som to formlike trekanter

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Blomsterbed formet som to trekanter ABE og CDE som møtes i punktet E. AB = 8 m, DC = 20 m, og høyden fra E ned på AB er 5 m

Edvard er anleggsgartner og skal lage et blomsterbed med form som vist på figuren ovenfor.

Avstanden fra $A$ til $B$ er 8 meter, avstanden fra $C$ til $D$ er 20 meter, $D C$ er parallell med $A B$ , og høyden fra $E$ ned på $A B$ er 5 meter.

Edvard påstår at $△ A B E$ og $△ C D E$ er formlike.

For hånd

Argumenter for at Edvards påstand er riktig.

Kalkulator

Vis hvordan du kan bruke formlikhet til å bestemme hvor stort areal blomsterbedet vil få.

Fasit

De to trekantene er formlike fordi de har to par like vinkler (AA).

$Arealet av blomsterbedet er 145 m^{2}$

LøsningsforslagKI-generert

Trekantene ABE og CDE med oppgitte mål: AB = 8 m, DC = 20 m og høyden 5 m fra E til AB

Siden trekantene bare møtes i punktet $E$ , ligger $A$ , $E$ og $C$ på én rett linje, og $B$ , $E$ og $D$ på en annen rett linje. Det betyr at

∠ A E B = ∠ C E D

fordi dette er toppvinkler (vertikalvinkler) — vinkler som dannes når to rette linjer krysser hverandre, er alltid like store.

I tillegg er $A B$ parallell med $D C$ . Linjen gjennom $A$ , $E$ og $C$ er da en transversal som krysser de to parallelle linjene $A B$ og $D C$ . Det gir

∠ B A E = ∠ D C E

fordi dette er samsvarende/vekselvinkler ved parallelle linjer.

Trekantene $A B E$ og $C D E$ har dermed to par like vinkler. Når to trekanter har to par like vinkler, er det tredje vinkelparet også likt (vinkelsummen i en trekant er $180 °$ ). Dermed er $△ A B E$ og $△ C D E$ formlike (AA-kriteriet), og Edvards påstand stemmer.

Fordi trekantene er formlike, er forholdet mellom tilsvarende sider (og tilsvarende høyder) det samme i begge trekanter. Tilsvarende sider er $A B$ og $D C$ , siden disse er de parallelle sidene som ligger midt imot det felles hjørnet $E$ .

Forholdet mellom sidene er

k = \frac{D C}{A B} = \frac{20}{8} = 2,5

Høyden fra $E$ ned på $A B$ er oppgitt til $5 m$ . Siden trekantene er formlike med forholdstall $2,5$ , er også høyden fra $E$ ned på $D C$ (kall den $h$ ) $2,5$ ganger så stor:

h = 2,5 \cdot 5 m = 12,5 m

Nå kan vi regne ut arealet til hver av de to trekantene, og legge dem sammen:

\begin{matrix} A_{A B E} & = \frac{1}{2} \cdot A B \cdot 5 = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 5 = 20 m^{2} \\ A_{C D E} & = \frac{1}{2} \cdot D C \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot 12,5 = 125 m^{2} \end{matrix}

Det totale arealet av blomsterbedet blir da

A = A_{A B E} + A_{C D E} = 20 m^{2} + 125 m^{2} = 145 m^{2}

Blomsterbedet vil altså få et areal på $145 m^{2}$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Temaer: Formlike trekanter, Geometri, Areal og omkrets, Argumentasjon
Egen side: Åpne oppgave 2-7 for seg selv

Oppgave 2-8Statistikk for hytter i norske regioner 2P H22

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

	Region	Antall hytter/fritidsbygg
1	Ringsaker	7286
2	Trysil	6926
3	Hol	5832
4	Vinje	5713
5	Sigdal	5050
6	Larvik	4890
7	Nord-Aurdal	4806
8	Orkland	4575
9	Fredrikstad	4403
10	Ringebu	4369
11	Hvaler	4332
12	Sirdal	4221
13	Oppdal	4142
14	Nore og Uvdal	4095
15	Asker	4004

Ovenfor ser du hvor i Norge det er flest hytter/fritidsbygg i 2022.

Kalkulator

Bestem gjennomsnittet, medianen og standardavviket for datamaterialet.

Ingrid vil regne ut medianen, gjennomsnittet og standardavviket for regionene som kommer på de neste 15 plassene i denne oversikten. Hun vil sammenlikne svarene hun får, med resultatene fra oppgave a).

Ingrid lurer på

om hun vil få et høyere eller lavere gjennomsnitt
om det vil være større forskjell mellom median og gjennomsnitt
om hun vil få et høyere eller lavere standardavvik

For hånd

Vurder om det er mulig å si noe om det Ingrid lurer på. Husk å begrunne svarene dine.

Fasit

Gjennomsnitt $\approx 4976$ , median $= 4575$ , standardavvik $\approx 990$

Vi kan begrunne noen antagelser, men ikke være sikre uten å regne ut de faktiske tallene

LøsningsforslagKI-generert

Datamaterialet består av $n = 15$ verdier (antall hytter i de 15 regionene):

7286, 6926, 5832, 5713, 5050, 4890, 4806, 4575, 4403, 4369, 4332, 4221, 4142, 4095, 4004

Gjennomsnitt. Vi summerer alle verdiene og deler på antallet:

\overline{x} = \frac{\sum x_{i}}{n} = \frac{74644}{15} \approx 4976

Median. Siden $n = 15$ er oddetall, er medianen den midterste verdien når tallene sorteres. Sortert (stigende) er den midterste verdien (nummer 8 av 15) lik $4575$ — som også er verdien til Orkland, som allerede står på 8. plass i den opprinnelige (synkende) tabellen:

Median = 4575

Standardavvik. Vi taster inn alle verdiene i ett-variabel statistikk-modus på kalkulatoren og leser av standardavviket $σ_{x}$ , som bygger på formelen

SD (x) = \sqrt{\frac{\sum {(x_{i} - \overline{x})}^{2}}{n}}

der vi setter inn de samme 15 verdiene og $\overline{x} \approx 4976$ . Dette gir

SD (x) \approx 990

Datamaterialet for de 15 regionene med flest hytter har altså et gjennomsnitt på omtrent $4976$ hytter, en median på $4575$ hytter og et standardavvik på omtrent $990$ hytter.

Vi har ikke de faktiske tallene for regionene på plass 16–30, så vi kan ikke regne ut de eksakte verdiene Ingrid er ute etter. Men vi kan begrunne noen rimelige antagelser ut fra hvordan tabellen er bygget opp (den er sortert fra størst til minst antall hytter):

1) Gjennomsnittet. Siden listen er sortert synkende, vil alle regionene på plass 16–30 ha færre hytter enn den minste verdien i vårt datasett ( $4004$ ). Da må også gjennomsnittet av de neste 15 regionene bli lavere enn $4976$ .

2) Forskjellen mellom median og gjennomsnitt. I vårt datasett er gjennomsnittet ( $4976$ ) tydelig høyere enn medianen ( $4575$ ). Det skyldes at datasettet er høyreskjevt: Ringsaker og Trysil har mye høyere verdier ( $7286$ og $6926$ ) enn resten, og disse ekstremverdiene trekker gjennomsnittet opp. Lenger ned i rangeringen er det grunn til å tro at verdiene ligger tettere sammen (mindre store “hopp” mellom naboplassene), slik at datasettet blir mindre skjevt. Det taler for at forskjellen mellom median og gjennomsnitt trolig blir mindre for de neste 15 regionene — men vi kan ikke være sikre, siden vi ikke vet om det finnes nye ekstremverdier i dette området av listen også.

3) Standardavviket. Av samme grunn er det rimelig å anta at spredningen i tallmaterialet blir mindre lenger ned i en rangert liste som denne, siden forskjellene mellom naboplassene gjerne blir mindre jo lenger ute i “halen” av fordelingen man kommer. Det trekker i retning av at standardavviket trolig blir lavere enn $990$ .

Konklusjonen er at vi kan gi begrunnede antagelser om retningen på alle tre størrelsene (lavere gjennomsnitt, sannsynligvis mindre forskjell mellom median og gjennomsnitt, og sannsynligvis lavere standardavvik), men vi kan $ikke være sikre uten å regne ut de faktiske tallene$ for regionene på plass 16–30.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Temaer: Statistikk, Sentralmål, Spredningsmål
Egen side: Åpne oppgave 2-8 for seg selv

Oppgave 2-9Flyplassbesøk og prosentvis endring 2P H22

Kalkulator

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Avsnittet ovenfor er hentet fra en artikkel som ble publisert på nrk.no 18. juni 2022.

Omtrent hvor mange personer reiste til og fra norske flyplasser i samme periode i 2021?

Fasit

$\approx 4,3 millioner$

LøsningsforslagKI-generert

En økning på $250 %$ betyr at antallet i 2022 er $250 %$ mer enn i 2021. Vekstfaktoren blir da

1 + 2,50 = 3,5

Antallet i 2021 (kall det $x$ ) ganget med vekstfaktoren gir antallet i 2022:

x \cdot 3,5 = 15 millioner

Vi løser for $x$ :

x = \frac{15}{3,5} \approx 4,3 millioner

Omtrent $4,3$ millioner personer reiste til og fra norske flyplasser i samme periode i 2021.

$Omtrent 4,3 millioner personer$

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Temaer: Prosentregning, Vekstfaktor
Egen side: Åpne oppgave 2-9 for seg selv

Oppgave 2-1072-regelen for dobling av sparebeløp

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Jonas og Margrete arbeider med et problem. De skal prøve å finne ut hvor lang tid det vil ta før et beløp blir doblet på en sparekonto. Banken tilbyr en fast rentesats på $2 %$ per år.

Jonas vil bruke et regneark. Margrete vil tegne en graf.

Krever PC

Hjelp Jonas og Margrete. Vis hvordan du kan bruke et regneark, og hvordan du kan lage en grafisk framstilling, som gir dem svar på problemet.

På en nettside har Jonas og Margrete funnet teksten nedenfor.

Krever PC

Lag en oversikt som viser hvor godt denne regelen stemmer for ulike rentesatser.

Margrete påstår at det kan være lurere å bruke 70 i stedet for 72.

Krever PC

Undersøk om dette kan være riktig.

Fasit

Doblingstiden ved $2 %$ rente er $t \approx 35 år$ .

Se tabellen i løsningsforslaget: $72$ -regelen stemmer best for rentesatser rundt $7$ – $9 %$ , og bommer mer jo lenger unna dette renta er.

Margrete har rett: $70 -regelen gir et bedre anslag enn 72 -regelen for lave rentesatser$ , blant annet for de $2 %$ banken i denne oppgaven tilbyr.

LøsningsforslagKI-generert

Vi antar at Jonas og Margrete setter inn et valgfritt beløp, for eksempel $10 000 kr$ , på kontoen, og at pengene står urørt mens de vokser med en fast årlig rente på $2 %$ . Vekstfaktoren blir da

1 + \frac{2}{100} = 1,02.

Regneark. Jonas kan sette opp et regneark der kolonne A viser antall år og kolonne B viser saldoen. Startbeløpet legges i celle B2, og i cellene under kopieres formelen «forrige saldo ganger vekstfaktoren»:

A: År $n$
B: Saldo, $= 𝙱 𝟸$ i første rad (år 0), deretter $= 𝙱 {𝚏 𝚘 𝚛 𝚛 𝚒 𝚐 𝚎 𝚛 𝚊 𝚍} * 𝟷,𝟶𝟸$
C: Vekstfaktor i forhold til startbeløpet, \mathtt{=B\{rad\}/B\ ParseError: Unexpected character: '\' at position 20: …htt{=B\{rad\}/B\̲2}$

Regneark med saldo og vekstfaktor for hvert år, verdier

Regnearket med formlene bak beregningene:

Regneark med saldo og vekstfaktor for hvert år, formler

Vi ser at vekstfaktoren passerer $2$ mellom år $35$ (vekstfaktor $1,9999$ ) og år $36$ (vekstfaktor $2,0399$ ). Beløpet er altså ikke helt doblet etter $35$ år, men praktisk talt doblet — vi runder av og sier at doblingstiden er om lag $35$ år.

Grafisk framstilling. Margrete kan i stedet tegne grafen til $saldo (n) = 10 000 \cdot {1,02}^{n}$ sammen med den vannrette linja $saldo = 20 000$ (det doble startbeløpet). Skjæringspunktet mellom kurven og linja viser hvor mange år det tar å doble beløpet.

Vekstkurve for sparebeløpet med vannrett linje ved det doble beløpet

Grafen bekrefter det vi fant i regnearket: kurven krysser linja $y = 20 000$ ved $n \approx 35$ , altså er

t \approx 35 år .

For å undersøke hvor godt $72$ -regelen stemmer for andre rentesatser, bygger vi en tilsvarende tabell/graf som i a) for flere ulike rentesatser $p$ . For hver rentesats finner vi det året der vekstfaktoren passerer $2$ (akkurat som i a)), og interpolerer mellom de to nærmeste årsverdiene for å anslå doblingstiden mer presist. Vi sammenlikner så dette med $72$ -regelens anslag, $\frac{72}{p}$ :

Regneark som sammenligner faktisk doblingstid med 72-regelen og 70-regelen for ulike rentesatser

Tabellen viser at $72$ -regelen stemmer svært godt for rentesatser mellom omtrent $7 %$ og $9 %$ — der er avviket under $0,1$ år. Jo lenger unna dette intervallet rentesatsen er, desto større blir avviket:

for lave rentesatser (under ca. $5 %$ , som er vanlig på en sparekonto) overvurderer $72$ -regelen doblingstiden — den gir et for stort antall år,
for høye rentesatser (over ca. $10 %$ ) undervurderer regelen doblingstiden.

For banken sin rente på $2 %$ i oppgaveteksten gir $72$ -regelen $36$ år mot den faktiske doblingstiden på $35$ år — et avvik på $1$ år.

Margrete foreslår å bruke $70$ i stedet for $72$ . Vi legger til en kolonne med $\frac{70}{p}$ i samme tabell (se bilde over, kolonne E og F).

Tabellen viser at $70$ -regelen gir et bedre anslag enn $72$ -regelen nettopp for lave rentesatser, som $1$ – $4 %$ — akkurat det som er typisk for en vanlig sparekonto i banken. Ved $2 %$ rente gir $70$ -regelen $\frac{70}{2} = 35$ år, som stemmer nesten perfekt med den faktiske doblingstiden på $35$ år, mens $72$ -regelen bommer med et helt år.

For høyere rentesatser (over ca. $5 %$ ) er det derimot $72$ -regelen som gir det beste anslaget, fordi $70$ -regelen da systematisk undervurderer doblingstiden mer og mer jo høyere renta blir.

Konklusjon: $Margrete har rett$ i at det kan være lurere å bruke $70$ i stedet for $72$ — i alle fall så lenge rentesatsen er lav, slik den typisk er på en sparekonto. Skal man derimot regne på f.eks. avkastning på aksjer eller fond, der rentesatsen (avkastningen) gjerne er høyere, er $72$ -regelen det beste alternativet.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Temaer: Sparing, Rente, Regneark, Eksponentialfunksjon
Egen side: Åpne oppgave 2-10 for seg selv

Del 1uten hjelpemidler · 1 time · 4 oppgaver

Oppgave 1-1·Median eller gjennomsnitt for Maias boklesing

Oppgave 1-2·Kjøpekraft for Anna i 2015 og 2019

Oppgave 1-3·Python-program med if-test for a, b og c

Oppgave 1-4·Solveig løser ulikhet og likning grafisk

1) Ulikheten x2−5x<−4

2) Likningen x2−5x+4=2x−6

Del 2alle hjelpemidler · 4 timer · 10 oppgaver

Oppgave 2-1·Prisforskjell mellom to kaffetyper 2P H22

Oppgave 2-2·Ukjent tall på tallinje med lengdene 2a og 5a

Oppgave 2-3·Prisøkning med ulik prosentsats 2P H22

Oppgave 2-4·Seks rektangler med samme areal og diagramvalg

Oppgave 2-5·Fylle beholdere med vann 2P H22

Oppgave 2-6·Misvisende linjediagram for e-poster 2P H22

Oppgave 2-7·Blomsterbed formet som to formlike trekanter

Oppgave 2-8·Statistikk for hytter i norske regioner 2P H22

Oppgave 2-9·Flyplassbesøk og prosentvis endring 2P H22

Oppgave 2-10·72-regelen for dobling av sparebeløp

Temaer

Oppgave 1-1Median eller gjennomsnitt for Maias boklesing

Oppgave 1-2Kjøpekraft for Anna i 2015 og 2019

Oppgave 1-3Python-program med if-test for a, b og c

Oppgave 1-4Solveig løser ulikhet og likning grafisk

1) Ulikheten $x^{2} - 5 x < - 4$

2) Likningen $x^{2} - 5 x + 4 = 2 x - 6$

Oppgave 2-1Prisforskjell mellom to kaffetyper 2P H22

Oppgave 2-2Ukjent tall på tallinje med lengdene 2a og 5a

Oppgave 2-3Prisøkning med ulik prosentsats 2P H22

Oppgave 2-4Seks rektangler med samme areal og diagramvalg

Oppgave 2-5Fylle beholdere med vann 2P H22

Oppgave 2-6Misvisende linjediagram for e-poster 2P H22

Oppgave 2-7Blomsterbed formet som to formlike trekanter

Oppgave 2-8Statistikk for hytter i norske regioner 2P H22

Oppgave 2-9Flyplassbesøk og prosentvis endring 2P H22

Oppgave 2-1072-regelen for dobling av sparebeløp