2P-Y Vår 2023

2P-Y Vår 2023 – oversikt over oppgavene
№	Navn	LF
Del 1 1 time uten hjelpemidler · 4 oppgaver · 14 poeng
1	Brødpris og prosentvis vekst	✔︎
2	Deig fordelt på personer	✔︎
3	Søsken og frekvenser i klasse	✔︎
4	Mønster med sirkler i figurer	KI
Del 2 4 timer med hjelpemidler · 7 oppgaver · 36 poeng
1	Risforbruk på standardform	✔︎
2	Kaffekoppers gjennomsnitt med ukjent	✔︎
3	Prisvekst og prisfall sammenligning	KI
4	Sykkelhjelm og datapresentasjon	KI
5	Lønnsnivå og sentralmål	KI
6	Eksponentialfunksjon for tomflasker	KI
7	Grønnsaksporsjoner og potensfunksjon	✔︎

Oppgave 1-1 : Brødpris og prosentvis vekst

Prisen for ett bestemt brød steg fra 40 kroner i 2022 til 42 kroner i 2023.

Vis at prisen for brødet steg med 5 %.

Anta at prisen vil fortsette å stige med 2 kroner hvert år framover.

Argumenter for hvilken av påstandene nedenfor som er riktig.

Prisen vil stige med 5 % hvert år.

Prisen vil stige med mindre enn 5 % hvert år.

Prisen vil stige med mer enn 5 % hvert år.

Fasit

Se løsningsforslaget

Påstand 2 er riktig: prisen vil stige med mindre enn $5 \,\%$ hvert år.

Løsningsforslag

Vi kan gjøre dette på flere måter, for eksempel ved å regne ut den prosentvise økningen

\text{Prosentvis endring}= \frac{42-2}{40}=\frac{2}{40}=\frac{1}{20}=\frac{5}{100}=\underline{\underline{ 5 \,\% }}

Vi sjekke hva som skjer dersom prisen stiger med 5 % per år. I 2024 blir prisen

42 \cdot 1{,}05 = 44{,}1

Dette er en økning på 2,1 kr. Prisøkningen fram til år 2025 vil være mer enn 2,1 kr. 5 % vil altså gi en større prisøkning enn 2 kr i året. Det er kun påstand 2 som kan stemme: prisøkningen er mindre enn 5 % hvert år.

Påstand 2 er riktig: prisen vil stige med $\underline{\underline{\text{mindre enn } 5 \,\%}}$ hvert år.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 4 poeng

En kandidat som velger en riktig strategi, men ikke kommer helt i mål, kan få 1 poeng.

Riktig svar uten begrunnelse gir ingen uttelling.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Prosentvis vekst, Prosentregning, Argumentasjon
Kompetansemål: Forklare og bruke prosent, prosentpoeng og vekstfaktor til modellering av praktiske situasjonar med digitale verktøy

Oppgave 1-2 : Deig fordelt på personer

Solveig har 6 kg deig. Hun får besøk av noen venner som skal hjelpe henne å bake kjeks. Solveig vil at alle skal få like mye deig.

Lag en grafisk framstilling som viser sammenhengen mellom hvor mange personer som skal bake, og hvor mye deig hver person får.

Fasit

Se løsningsforlsaget

Løsningsforslag

Solveig har 6 kg deig som skal fordeles likt mellom $x$ personer. Mengden deig per person er

f(x) = \frac{6}{x}

Vi lager en enkel verditabell ved å doble $x$ -verdiene og halvere $y$ -verdiene.

$x$	1	2	4	8
$f(x)$	6	3	1,5	0,75

Nedenfor ser du en grafisk framstilling av sammenhengen:

Graf for oppgave 1-2

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 2 poeng

For å få full uttelling må den grafiske framstillingen tydelig vise sammenhengen mellom størrelsene.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 1
Poeng: 2
Temaer: Grafisk framstilling, Proporsjonalitet, Funksjoner
Kompetansemål: Utforske, beskrive og bruke omgrepa proporsjonalitet og omvend proporsjonalitet

Oppgave 1-3 : Søsken og frekvenser i klasse

Truls og Thea har undersøkt hvor mange søsken hver av elevene i klassen har.

Svar Truls og Thea på spørsmålene de stiller.

Alle elevene i klassen til Truls og Thea har svart at de har søsken. To av elevene har svart at de har én bror og ingen søstre. To av elevene har svart at de har én søster og ingen brødre.

Hvor mange elever er det i klassen til Truls og Thea? Husk å argumentere for at svaret ditt er riktig.

Fasit

Rel.freq. 0,4 betyr 40 % av elevene har 2 søsken. Kum.freq. 16 betyr 16 elever har 0, 1 eller 2 søsken.

30 elever

Løsningsforslag

Relativ frekvens 0,4 for to søsken betyr at 40 % av elevene i klassen har to søsken.

Kumulativ frekvens 16 for to søsken betyr at 16 elever til sammen har null, ett eller to søsken.

Alle elevene har søsken (minst én), så ingen har 0 søsken.

2 elever har én bror og ingen søster
2 elever har én søster og ingen bror

Til sammen har altså 4 elever nøyaktig 1 søsken.

Siden den kumulative frekvensen for to søsken er 16, så må det være 12 elever som har to søsken.

Vi vet også at den relative frekvensen for 2 søsken er 40 %. Vi kan sette opp en likning hvor vi kaller antallet elever i klassen for $x$ , da må

0{,}4 \cdot x = 12

For å gjøre det litt enklere å løse likningen ganger jeg begge sider med 10 for å få heltall på hver side.

\begin{aligned} \textcolor{seagreen}{10} \cdot 0{,}4 \cdot x &= 12 \cdot \textcolor{seagreen}{10} \\ 4 \cdot x &= 120 \\ \frac{\cancel{ 4 }x}{\textcolor{steelblue}{\cancel{ 4 }}}&= \frac{120}{\textcolor{steelblue}{4}} \\ x &=30 \end{aligned}

Det er $\underline{\underline{30 \text{ elever}}}$ i klassen.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 4 poeng

Her gis i utgangspunktet 1 poeng for hvert riktig svar.

En kandidat som velger en riktig strategi, men ikke kommer fram til riktig svar, kan få 1 poeng.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Statistikk, Frekvens, Relativ frekvens, Kumulativ frekvens
Kompetansemål: Analysere og presentere funn i datasett frå lokalsamfunn og media
Bruke og vurdere val av formålstenlege sentralmål og spreiingsmål for statistisk datamateriale

Oppgave 1-4 : Mønster med sirkler i figurer

De første 3 figurene

Ovenfor ser du tre figurer. Figurene er satt sammen av små sirkler. Tenk deg at du skal fortsette å lage figurer etter samme mønster.

Beskriv mønsteret, og bestem hvor mange små sirkler det vil være i figur 4 og i figur 5.

Bestem et uttrykk for antallet små sirkler i figur n.

Fasit

Figur 4: 17 sirkler, figur 5: 21 sirkler

$a_n = 4n + 1$

LøsningsforslagKI-generert

Figur 1 har 5 sirkler, figur 2 har 9 sirkler, figur 3 har 13 sirkler. For hver ny figur legges det til 4 sirkler.

Figur 4: $13 + 4 = \mathbf{17}$ sirkler
Figur 5: $17 + 4 = \mathbf{21}$ sirkler

Figur 4 har $\underline{\underline{17}}$ sirkler og figur 5 har $\underline{\underline{21}}$ sirkler.

Figur 1 har 5 sirkler, og for hver ny figur øker antallet med 4. Dette er en aritmetisk rekke med første ledd $a_1 = 5$ og differanse $d = 4$ :

a_n = a_1 + (n-1) \cdot d = 5 + (n-1) \cdot 4 = 5 + 4n - 4 = 4n + 1

Antall sirkler i figur $n$ er $\underline{\underline{4n + 1}}$ .

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 4 poeng

Riktige svar uten beskrivelse av mønsteret gir 1 poeng.

Riktige uttrykk uten begrunnelse gir 2 poeng. Et delvis riktig uttrykk, eller en beskrivelse av en riktig rekursiv sammenheng, kan gi 1 poeng.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Formler, Rekker, Figurtall
Kompetansemål: Identifisere variable storleikar i ulike situasjonar og bruke dei til utforsking og generalisering

Oppgave 2-1 : Risforbruk på standardform

I Kina og India bor det til sammen ca. 2,86 milliarder mennesker. Gjennomsnittsforbruket av ris i disse landene er 91 kg per person per år.

Hvor mye ris blir dette totalt i løpet av 10 år? Skriv svaret på standardform.

Løsningsforslag

Hver person spiser 91 kg hvert år og det er 2,86 milliarder mennesker. Altså spiser de hvert år

91 \, \mathrm{kg} \cdot 2{,}86 \cdot 10^{9}= 2{,}6026 \cdot 10^{11} \, \mathrm{kg}

I løpet av 10 år blir mengden

2{,}6026 \cdot 10^{11} \, \mathrm{kg} \cdot 10 = 2{,}6026 \cdot 10^{11} \cdot 10^{1} \, \mathrm{kg} \approx 2{,}6 \cdot 10^{12} \, \mathrm{kg}

De spiser omtrent $\underline{\underline{2{,}6 \cdot 10^{12} \, \mathrm{kg}}}$ ris i løpet av 10 år.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 2 poeng

En kandidat som velger en riktig strategi, men ikke kommer fram til riktig svar skrevet på standardform, får 1 poeng.

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 2
Temaer: Standardform, Store tall, Tallregning
Kompetansemål: Tolke og rekne med rotuttrykk, potensar og tal på standardform

Oppgave 2-2 : Kaffekoppers gjennomsnitt med ukjent

En morgen spør Tore 12 kolleger om hvor mange kopper kaffe de drakk dagen før. Resultatene ser du nedenfor. Dessverre har Tore sølt kaffe på arket sitt, men han antar at gjennomsnittet er mer enn fire.

Tolv tall skrevet på en rad: 4, 5, 0, 4, 2, 6, deretter et tall som er skjult av en kaffeflekk, og så 5, 7, 5, 5 og 3.

Gjør beregninger og kommenter antakelsen til Tore.

Fasit

Tores antakelse stemmer hvis tallet er 3 eller mer.

Løsningsforslag

Summen av de 11 kjente verdiene er

4+5+0+4+2+6+5+7+5+5+3 = 46

For at gjennomsnittet skal være nøyaktig 4 med 12 verdier, må totalsummen være $4 \cdot 12 = 48$ . Dersom det skjulte tallet var 2 så ville gjennomsnittet blitt nøyaktig 4.

Det betyr også at dersom det skjulte tallet er 3 eller mer, så ville gjennomsnittet vært over 4. For eksempel ville tallet 3 gitt en sum på 49 og gjennomsnitt $\frac{49}{12}=4{,}08$ .

Tores antakelse stemmer dersom det skjulte tallet er 3 eller mer.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 2 poeng

En kandidat som gjør riktige beregninger, men ikke kommer fram til riktig svar, kan få 1 poeng.

Oppgavedata

Delt med: 2P-Y, 2P
Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Statistikk, Gjennomsnitt
Kompetansemål: Bruke og vurdere val av formålstenlege sentralmål og spreiingsmål for statistisk datamateriale

Oppgave 2-3 : Prisvekst og prisfall sammenligning

Malin og Gunnvor arbeider med en oppgave. De har fått opplysningene nedenfor.

I mai kostet to varer, A og B, like mye.
Prisen for vare A har økt med 7 % hver måned siden januar, og vi antar at den vil fortsette å øke med 7 % hver måned framover.
Prisen for vare B har gått ned med 7 % hver måned siden januar, og vi antar at den vil fortsette å gå ned med 7 % hver måned framover.

Malin påstår at dette betyr at vare A vil koste det samme om tre måneder som vare B kostet for tre måneder siden. Gunnvor er ikke enig.

Gjør beregninger og undersøk om Malins påstand er riktig.

Fasit

Malins påstand er feil. Vare A i august: $P \cdot 1{,}07^3 \approx 1{,}225P$ , vare B i februar: $P / 0{,}93^3 \approx 1{,}243P$ .

LøsningsforslagKI-generert

La prisen for begge varer i mai være $P$ .

Vare A i august (tre måneder etter mai):

P \cdot 1{,}07^3 = P \cdot 1{,}225

Vare B i februar (tre måneder før mai): vi går tre måneder bakover fra mai. Siden B synker med 7 % per måned, betyr å gå bakover i tid at vi deler på $0{,}93$ per måned:

\frac{P}{0{,}93^3} = P \cdot \frac{1}{0{,}8044} \approx P \cdot 1{,}243

Vi sammenligner:

1{,}07^3 \approx 1{,}225 \qquad \text{og} \qquad \frac{1}{0{,}93^3} \approx 1{,}243

Disse er ikke like: $1{,}225 \neq 1{,}243$ .

Malins påstand er $\underline{\underline{\text{ikke riktig}}}$ . Vare A vil koste ca. 22,5 % mer enn maipris i august, mens vare B kostet ca. 24,3 % mer enn maipris i februar – de er ikke like.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 2 poeng

En kandidat som gjør noen riktige beregninger, kan få 1 poeng.

Oppgavedata

Delt med: 2P-Y, 2P
Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Prosentregning, Vekstfaktor, Geometrisk vekst, Argumentasjon
Kompetansemål: Forklare og bruke prosent, prosentpoeng og vekstfaktor til modellering av praktiske situasjonar med digitale verktøy

Oppgave 2-4 : Sykkelhjelm og datapresentasjon

Hver morgen venter Madelen noen minutter på skolebussen. En uke undersøkte hun hvor mange syklister som brukte sykkelhjelm. Resultatene ser du i tabellen nedenfor.

Ukedag	Syklister	Syklister med hjelm
Mandag	10	7
Tirsdag	15	9
Onsdag	11	6
Torsdag	12	7
Fredag	15	12

Madelen skal fortelle klassen sin om resultatene fra undersøkelsen.

Gjør beregninger og vis Madelen hvordan hun kan presentere datamaterialet. Presentasjonen skal inneholde både beregninger og diagrammer.

Fasit

Totalt 41 av 63 brukte hjelm (65,1 %). Daglig: man 70 %, tir 60 %, ons 54,5 %, tor 58,3 %, fre 80 %.

LøsningsforslagKI-generert

Vi beregner andelen syklister med hjelm for hver ukedag og totalt:

Ukedag	Syklister	Med hjelm	Andel med hjelm
Mandag	10	7	70,0 %
Tirsdag	15	9	60,0 %
Onsdag	11	6	54,5 %
Torsdag	12	7	58,3 %
Fredag	15	12	80,0 %
Totalt	63	41	65,1 %

Totalt brukte 41 av 63 syklister hjelm, noe som tilsvarer ca. 65 %.

Andelen er høyest på fredag (80 %) og lavest på onsdag (54,5 %).

Mulige diagramtyper for presentasjonen:

Et søylediagram der x-aksen viser ukedag og y-aksen viser andelen med hjelm (i prosent) sammenligner de ulike dagene godt.
Et sektordiagram (kakediagram) kan vise andelen med og uten hjelm totalt for hele uken (65 % med hjelm, 35 % uten).

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 6 poeng

For å få full uttelling må kandidaten gjøre beregninger og lage diagrammer som illustrerer opplysningene på en god måte. Nærmere presiseringer kan komme etter sensorskoleringen.

Oppgavedata

Delt med: 2P-Y, 2P
Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Statistikk, Prosentregning, Diagram, Presentasjon av data
Kompetansemål: Analysere og presentere funn i datasett frå lokalsamfunn og media

Oppgave 2-5 : Lønnsnivå og sentralmål

En bedrift vil gi ut en brosjyre som blant annet skal vise lønnsnivået til de ansatte. Nedenfor ser du en oversikt som viser årslønnen til de ansatte i bedriften.

Årslønn (i tusen kroner)	Frekvens
$\langle 250 - 350\rangle$	8
$\langle 350 - 450\rangle$	42
$\langle 450 - 500\rangle$	40
$\langle 500 - 550\rangle$	20
$\langle 550 - 600\rangle$	15
$\langle 600 - 650\rangle$	3
$\langle 650 - 750\rangle$	2
$\langle 750 - 1000\rangle$	1
$\langle 1000 - 2000\rangle$	15

Ledelsen diskuterer hvilket sentralmål som er best egnet til å beskrive bedriftens lønnsnivå.

Gjør nødvendige forutsetninger og bestem gjennomsnittet og medianen for datamaterialet.

Argumenter for hvilket sentralmål du mener er best egnet til å beskrive bedriftens lønnsnivå.

Fasit

Gjennomsnitt $\approx 575\,000 \, \mathrm{kr}$ , median $\approx 479\,000 \, \mathrm{kr}$

Medianen er mest egnet (gjennomsnittet trekkes opp av noen svært høye lønninger).

LøsningsforslagKI-generert

Vi regner med at alle i hvert intervall tjener midtpunktet i intervallet (midtpunktmetoden).

Intervall (tusen kr)	Midtpunkt	Frekvens	Midtpunkt × frekvens
$\langle 250 - 350 \rangle$	300	8	2 400
$\langle 350 - 450 \rangle$	400	42	16 800
$\langle 450 - 500 \rangle$	475	40	19 000
$\langle 500 - 550 \rangle$	525	20	10 500
$\langle 550 - 600 \rangle$	575	15	8 625
$\langle 600 - 650 \rangle$	625	3	1 875
$\langle 650 - 750 \rangle$	700	2	1 400
$\langle 750 - 1000 \rangle$	875	1	875
$\langle 1000 - 2000 \rangle$	1 500	15	22 500
Totalt		146	83 975

\bar{x} = \frac{83\,975}{146} \approx 575 \text{ (tusen kr)}

Gjennomsnittslønnen er omtrent $\underline{\underline{575\,000 \, \mathrm{kr}}}$ .

Medianen er den midterste verdien. Med 146 ansatte er medianen mellom den 73. og 74. verdien. Kumulativ telling:

Etter $\langle 250 - 350 \rangle$ : 8 ansatte totalt
Etter $\langle 350 - 450 \rangle$ : 50 ansatte totalt
Etter $\langle 450 - 500 \rangle$ : 90 ansatte totalt ← her ligger den 73. og 74. verdien

Vi interpolerer i intervallet $\langle 450, 500 \rangle$ :

450 + \frac{73{,}5 - 50}{40} \cdot 50 = 450 + \frac{23{,}5}{40} \cdot 50 \approx 450 + 29 = 479 \text{ (tusen kr)}

Medianlønnen er omtrent $\underline{\underline{479\,000 \, \mathrm{kr}}}$ .

Bedriften har 15 ansatte med årslønn mellom 1 000 000 og 2 000 000 kr. Disse trekker gjennomsnittet kraftig opp, til 575 000 kr, mens de fleste ansatte tjener i området 350 000–500 000 kr.

Medianen på 479 000 kr påvirkes ikke av de høye lønningene, og gir et mer representativt bilde av hva en typisk ansatt tjener.

Medianen er det mest egnede sentralmålet for å beskrive bedriftens lønnsnivå.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 8 poeng

I utgangspunktet fordeles poengene slik: Gjennomsnitt: 3 poeng. Median: 3 poeng. For å få full uttelling må det gå klart fram av besvarelsen hvilke forutsetninger som er gjort.

For å få full uttelling må kandidaten argumentere for hvorfor det valgte sentralmålet er best egnet.

Oppgavedata

Delt med: 2P-Y, 2P
Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 8
Temaer: Statistikk, Gjennomsnitt, Median, Sentralmål, Grupperte data, Argumentasjon
Kompetansemål: Bruke og vurdere val av formålstenlege sentralmål og spreiingsmål for statistisk datamateriale

Oppgave 2-6 : Eksponentialfunksjon for tomflasker

I august 2022 satte elevene i 3PBB seg som mål å samle inn tomflasker for 25 000 kroner før 1. juni 2023. De brukte funksjonen $P$ gitt ved

P(x)=1600 \cdot 1{,}045^{x} \quad , \quad 0\leq x\leq 9

som en modell for hvor stort beløp kroner de måtte samle inn hver måned for å nå målet.

I modellen svarte $x=0$ til august, $x=1$ til september og så videre.

Gjør rede for hva modellen forteller om elevenes plan for å nå målet.

Hvor stort beløp regnet elevene med å samle inn i mai 2023 ifølge modellen? Elevene laget programmet nedenfor.

def P(x):
    return 1600 * 1.045 ** x     # Definerer funksjonen P

sum_pant = 0

x = 0

while x <= 9:
    
    sum_pant = sum_pant + P(x)
    
    x = x + 1
    
print(sum_pant)

Bruk programmet til å vise at elevene ikke vil nå målet med den planen de har lagt. Foreslå justeringer av modellen som vil gjøre at de kan nå målet.

Fasit

Starter på 1600 kr i august, øker 4,5 % per måned

$P(9) \approx 2378 \, \mathrm{kr}$

Programmet summerer til ca. 19 661 kr < 25 000 kr. Øk startbeløpet til ca. 2034 kr.

LøsningsforslagKI-generert

Funksjonen $P(x) = 1600 \cdot 1{,}045^x$ beskriver planen slik:

I august ( $x = 0$ ) regner elevene med å samle inn $P(0) = 1600 \, \mathrm{kr}$
Vekstfaktoren 1,045 betyr at beløpet øker med 4,5 % for hver måned
Planen strekker seg over 10 måneder ( $x = 0$ til $x = 9$ ), dvs. august til mai

Mai svarer til $x = 9$ :

P(9) = 1600 \cdot 1{,}045^9 \approx 1600 \cdot 1{,}486 \approx 2378 \, \mathrm{kr}

Ifølge modellen regnet elevene med å samle inn ca. $\underline{\underline{2378 \, \mathrm{kr}}}$ i mai 2023.

Programmet summerer $P(x)$ for $x = 0, 1, 2, \ldots, 9$ . Resultatet er ca. 19 661 kr, som er langt under målet på 25 000 kr. Elevene vil ikke nå målet med den opprinnelige planen.

Mulige justeringer:

Øke startbeløpet. For å samle inn 25 000 kr totalt med samme vekstfaktor (4,5 %) trenger man ca. 2034 kr i august – mot 1600 kr i den opprinnelige planen.
Øke vekstfaktoren (raskere økning per måned).

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 10 poeng

For å få full uttelling må kandidaten gi en praktisk tolkning av begge parameterne.

En kandidat som velger en riktig strategi, men ikke kommer fram til riktig svar, kan få 1 poeng.

En kandidat som bare bruker programmet og viser at målet ikke nås, får maksimalt 2 poeng. Nærmere presiseringer kan komme etter sensorskoleringen.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 10
Temaer: Eksponentialfunksjon, Geogebra, Programmering, Eksponentiell vekst, Modellering
Kompetansemål: Forklare og bruke prosent, prosentpoeng og vekstfaktor til modellering av praktiske situasjonar med digitale verktøy
Bruke digitale verktøy i utforsking og problemløysing knytt til eigenskapar ved funksjonar, og diskutere løysingane

Oppgave 2-7 : Grønnsaksporsjoner og potensfunksjon

Frisk videregående skole har satt i gang prosjektet «Sunne valg».

Hver uke registrerer elevene hvor mange porsjoner grønnsaker, frukt eller bær de har spist.

Nedenfor ser du noen resultater fra perioden januar–mai.

Uke	1	5	8	10	12	15	18	20
Registrerte porsjoner	2060	5770	7795	8992	$10\,105$	$11\,656$	$13\,099$	$14\, 000$

Bestem en modell på formen

P(x) = a \cdot x^b

som kan brukes for å beskrive sammenhengen mellom ukenummer og antall registrerte porsjoner.

Bestem stigningstallet til den rette linjen som går gjennom punktene $(1, P(1))$ og $(20, P(20))$ . Gi en praktisk tolkning av svaret.

Bestem stigningstallet til tangenten til grafen til $P$ i punktet $(6, P(6))$ . Gi en praktisk tolkning av svaret.

Fasit

$P(x) = 2060 \cdot x^{0{,}64}$

Stigningstall sekant $\approx 629$ porsjoner/uke

Stigningstall tangent i uke 6 $\approx 692$ porsjoner/uke

Løsningsforslag

Vi bruker potensregresjon på dataene:

Uke	1	5	8	10	12	15	18	20
Porsjoner	2060	5770	7795	8992	10 105	11 656	13 099	14 000

Regresjonsanalysen gir modellen

P(x) = 2060 \cdot x^{0{,}64}

Modellen passer svært godt til dataene ( $R^2 \approx 1{,}00$ ):

Regresjonsmodell og datapunkter for oppgave 2-7a

En modell for sammenhengen er $\underline{\underline{P(x) = 2060 \cdot x^{0{,}64}}}$ .

Stigningstallet til sekanten gjennom $(1, P(1))$ og $(20, P(20))$ :

P(1) = 2060 \cdot 1^{0{,}64} = 2060

P(20) = 2060 \cdot 20^{0{,}64} \approx 14\,009

a = \frac{P(20) - P(1)}{20 - 1} = \frac{14\,009 - 2060}{19} \approx 629

Stigningstallet er omtrent $\underline{\underline{629 \text{ porsjoner per uke}}}$ .

Det betyr at antall registrerte porsjoner økte i gjennomsnitt med ca. 629 per uke i perioden fra uke 1 til uke 20.

Stigningstallet til tangenten i $(6, P(6))$ er den deriverte $P'(6)$ :

P'(x) = 2060 \cdot 0{,}64 \cdot x^{0{,}64 - 1} = 1318{,}4 \cdot x^{-0{,}36}

P'(6) = 1318{,}4 \cdot 6^{-0{,}36} \approx 692

Stigningstallet til tangenten i uke 6 er omtrent $\underline{\underline{692 \text{ porsjoner per uke}}}$ .

Det betyr at antallet registrerte porsjoner økte med ca. 692 per uke akkurat i uke 6 (øyeblikkelig endringsrate). Dette er noe høyere enn det gjennomsnittlige stigningstallet for hele perioden.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 6 poeng

En kandidat som bruker en potensfunksjon og velger en riktig strategi, men ikke kommer fram til en riktig modell, får 1 poeng. En kandidat som ikke bruker en eksponentialfunksjon, får ingen uttelling.

I utgangspunktet gis 1 poeng for riktige beregninger og 1 poeng for vurdering av svaret.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Modellering, Potensfunksjon, Stigningstall, Derivasjon, Tolkning
Kompetansemål: Identifisere variable storleikar i ulike situasjonar og bruke dei til utforsking og generalisering
Bruke digitale verktøy i utforsking og problemløysing knytt til eigenskapar ved funksjonar, og diskutere løysingane

Sync på tvers av enheter

Del 1 — uten hjelpemidler · 1 time · 4 oppgaver · 14 poeng

Oppgave 1-1 : Brødpris og prosentvis vekst

Oppgave 1-2 : Deig fordelt på personer

Oppgave 1-3 : Søsken og frekvenser i klasse

Oppgave 1-4 : Mønster med sirkler i figurer

Del 2 — med hjelpemidler · 4 timer · 7 oppgaver · 36 poeng

Oppgave 2-1 : Risforbruk på standardform

Oppgave 2-2 : Kaffekoppers gjennomsnitt med ukjent

Oppgave 2-3 : Prisvekst og prisfall sammenligning

Oppgave 2-4 : Sykkelhjelm og datapresentasjon

Oppgave 2-5 : Lønnsnivå og sentralmål

Oppgave 2-6 : Eksponentialfunksjon for tomflasker

Oppgave 2-7 : Grønnsaksporsjoner og potensfunksjon

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave