2P-Y Høst 2023

2P-Y Høst 2023 – oversikt over oppgavene
№	Navn	LF
Del 1 1 time uten hjelpemidler · 6 oppgaver · 24 poeng
1	Fleksikort eller enkeltbilletter	KI
2	Massen til sola på standardform	KI
3	To datasett med gitt typetall og median	KI
4	Aldersfordeling i to bedrifter	KI
5	Eksponentiell nedgang i bakteriekultur	KI
6	Figurmønster med sirkler 2P-Y H23 LK06	KI
Del 2 4 timer med hjelpemidler · 7 oppgaver · 36 poeng
1	Temperaturmodell for sjø på Sørlandet	KI
2	Eiendomsverdi med vekst og dobling	KI
3	Prisøkning på handleposer i elevbedrift	KI
4	Toppscorere i eliteserien 2022	KI
5	Boliglån med månedlige terminer	KI
6	Helsefagarbeidere i Norge 2015–2022	KI
7	Klimagassutslipp mot 2030 og 2050	KI

Oppgave 1-1 : Fleksikort eller enkeltbilletter

Selma er på ferie og vil bruke buss for å komme seg rundt i området. Hun vurderer om hun skal kjøpe en enkeltbillett for hver reise eller et fleksikort med 20 reiser.

Hver enkeltbillett koster 25 kroner.
Et fleksikort med 20 reiser koster 415 kroner.

Hvor mange reiser må hun ta med bussen for at det skal lønne seg å kjøpe et fleksikort med 20 reiser?

Tenk deg at Selma kjøper et fleksikort med 20 reiser og bruker alle reisene.

Hvor mange prosent sparer hun sammenliknet med å kjøpe 20 enkeltbilletter?

Fasit

$\underline{\underline{17 \mathrm{~reiser}}}$

$\underline{\underline{17 \,\%}}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi finner prisen for 20 enkeltbilletter og sammenligner med fleksikortet.

20 \cdot 25 \, \mathrm{kr} = 500 \, \mathrm{kr}

Fleksikortet koster $415 \, \mathrm{kr}$ , så fleksikortet er billigere enn 20 enkeltbilletter.

Vi finner hvor mange enkeltbilletter som koster like mye som fleksikortet:

415 \div 25 = 16{,}6 \mathrm{~reiser}

Siden antall reiser må være et helt tall, må hun ta minst 17 reiser for at det skal lønne seg å kjøpe fleksikort.

Med 16 reiser koster enkeltbilletter $16 \cdot 25 = 400 \, \mathrm{kr}$ , som er billigere enn fleksikortet på $415 \, \mathrm{kr}$ .

Med 17 reiser koster enkeltbilletter $17 \cdot 25 = 425 \, \mathrm{kr}$ , som er dyrere enn fleksikortet.

Det lønner seg å kjøpe fleksikort hvis hun skal ta 17 reiser eller mer.

Vi beregner hva 20 enkeltbilletter koster:

20 \cdot 25 \, \mathrm{kr} = 500 \, \mathrm{kr}

Selma betaler $415 \, \mathrm{kr}$ med fleksikort. Hun sparer:

500 \, \mathrm{kr} - 415 \, \mathrm{kr} = 85 \, \mathrm{kr}

Prosentvis besparelse regner vi slik:

\frac{85}{500} \cdot 100 \,\% = 17 \,\%

Selma sparer $17 \,\%$ sammenlignet med å kjøpe 20 enkeltbilletter.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 1
Poeng: 4
Temaer: Økonomi, Prosentregning

Oppgave 1-2 : Massen til sola på standardform

Sola har en masse på ca. $2{,}0 \cdot 10^{30} \mathrm{~kg}$ . Jorda har en masse på ca. $6{,}0 \cdot 10^{24} \mathrm{~kg}$ .

Massen til sola er omtrent … ganger større enn massen til jorda.

Gjør beregninger og finn ut hvilket tall som mangler i setningen ovenfor. Skriv tallet på standardform.

LøsningsforslagKI-generert

Vi skal finne ut hvor mange ganger større massen til sola er enn massen til jorda. Det betyr at vi deler massen til sola på massen til jorda:

\frac{2{,}0 \cdot 10^{30}}{6{,}0 \cdot 10^{24}}

Vi deler tallene og potensene hver for seg:

\frac{2{,}0}{6{,}0} \cdot \frac{10^{30}}{10^{24}} = 0{,}333\ldots \cdot 10^{30-24} = 0{,}333\ldots \cdot 10^{6}

For å skrive svaret på standardform må vi ha et tall mellom 1 og 10 foran potensen. Vi skriver om:

0{,}333\ldots \cdot 10^{6} = 3{,}33\ldots \cdot 10^{5}

Avrundet til to gjeldende sifre:

\approx 3{,}3 \cdot 10^{5}

Massen til sola er omtrent $3{,}3 \cdot 10^5$ ganger større enn massen til jorda.

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 2
Temaer: Standardform, Tallregning

Oppgave 1-3 : To datasett med gitt typetall og median

Jonas har notert hvor mange kilometer han har jogget hver av de siste ti dagene. Han ser at typetallet er 5 km, medianen er 8 km og gjennomsnittet er 9 km.

Du skal sette opp to mulige alternativer som viser hvor mange kilometer han kan ha jogget hver av de ti dagene.

I det første alternativet skal du bruke 8 km minst én dag.
I det andre alternativet skal du ikke bruke 8 km noen av dagene, og minst halvparten av tallene du bruker, skal være tall du ikke brukte i det første alternativet.

Fasit

Eksempel – alternativ 1: $5, 5, 5, 7, 8, 8, 10, 12, 15, 15$

Eksempel – alternativ 2: $5, 5, 5, 6, 7, 9, 11, 13, 14, 15$

LøsningsforslagKI-generert

Vi har 10 verdier. Vi vet:

Typetall = 5: verdien 5 må forekomme flest ganger.
Median = 8: medianen av 10 verdier er gjennomsnittet av den 5. og 6. verdien (når tallene er sortert). Disse to verdiene må til sammen gi $8 + 8 = 16$ .
Gjennomsnitt = 9: summen av alle 10 verdiene må være $10 \cdot 9 = 90$ .

Alternativ 1 (bruker 8 minst én dag)

Vi velger å ha tre 5-ere (så 5 er typetall) og to 8-ere (så median blir $\frac{8+8}{2} = 8$ ).

De fem gjenværende verdiene må summere til $90 - 5 - 5 - 5 - 8 - 8 = 59$ .

Vi velger for eksempel $7, 10, 12, 15, 15$ , som summerer til $7 + 10 + 12 + 15 + 15 = 59$ . ✓

Datasettet sortert:

5, \; 5, \; 5, \; 7, \; 8, \; 8, \; 10, \; 12, \; 15, \; 15

Vi sjekker:

Typetall: 5 forekommer 3 ganger (8 forekommer 2 ganger) ✓
Median: $\frac{8 + 8}{2} = 8$ ✓
Gjennomsnitt: $\frac{5+5+5+7+8+8+10+12+15+15}{10} = \frac{90}{10} = 9$ ✓

Alternativ 2 (bruker ikke 8, minst halvparten nye tall)

Vi har ikke 8 i datasettet. Medianen skal fortsatt være 8, så den 5. og 6. verdien må summere til 16. Vi velger 7 og 9 (siden $\frac{7+9}{2} = 8$ ).

Vi beholder tre 5-ere som typetall. De gjenværende fem verdiene (plassene 1–4 og 7–10 unntatt de tre 5-erne og de to median-verdiene) summerer til $90 - 5 - 5 - 5 - 7 - 9 = 59$ .

Vi velger $6, 13, 14, 11, 15$ , som summerer til $6 + 13 + 14 + 11 + 15 = 59$ . ✓

Datasettet sortert:

5, \; 5, \; 5, \; 6, \; 7, \; 9, \; 11, \; 13, \; 14, \; 15

Vi sjekker:

Typetall: 5 forekommer 3 ganger ✓
Median: $\frac{7 + 9}{2} = 8$ ✓
Gjennomsnitt: $\frac{5+5+5+6+7+9+11+13+14+15}{10} = \frac{90}{10} = 9$ ✓
Bruker ikke 8 ✓
Nye tall (ikke i alternativ 1): 6, 9, 11, 13, 14 – det er 5 av 10 tall = halvparten ✓

Begge alternativene er gyldige datasett.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 4
Temaer: Statistikk, Gjennomsnitt

Oppgave 1-4 : Aldersfordeling i to bedrifter

Hver av de to bedriftene A og B har 100 ansatte. Tabellen viser aldersfordelingen til de ansatte i bedriftene.

Aldersfordeling i bedrift A og B

I hvilken bedrift er medianalderen lavest? Husk å begrunne svaret ditt.

Bruk opplysningene i tabellen til å bestemme gjennomsnittsalderen for de ansatte i bedrift B.

Lag et histogram som viser aldersfordelingen i bedrift B.

Fasit

Bedrift A har lavest medianalder.

$\underline{\underline{\bar{x} = 43{,}5 \text{~år}}}$

Histogram med søyler for $\langle 20, 40 \rangle$ , $\langle 40, 60 \rangle$ og $\langle 60, 70 \rangle$ .

LøsningsforslagKI-generert

For å finne medianen ser vi etter den 50. verdien (siden det er 100 ansatte).

Vi teller opp fra den yngste gruppen:

Bedrift A:

Aldersgruppe	Antall ansatte	Kumulativt antall
$\langle 20, 40 \rangle$	52	52
$\langle 40, 60 \rangle$	23	75
$\langle 60, 70 \rangle$	25	100

Den 50. verdien havner i gruppen $\langle 20, 40 \rangle$ (vi trenger bare 50, og det er 52 i denne gruppen). Medianen til bedrift A ligger altså i intervallet $\langle 20, 40 \rangle$ , så medianalderen er under 40 år.

Bedrift B:

Aldersgruppe	Antall ansatte	Kumulativt antall
$\langle 20, 40 \rangle$	40	40
$\langle 40, 60 \rangle$	50	90
$\langle 60, 70 \rangle$	10	100

Den 50. verdien havner i gruppen $\langle 40, 60 \rangle$ (de første 40 er i yngste gruppe, så vi trenger den 10. i neste gruppe). Medianen til bedrift B ligger i intervallet $\langle 40, 60 \rangle$ , så medianalderen er mellom 40 og 60 år.

Konklusjon: Bedrift A har lavest medianalder, siden medianen til A ligger under 40 år, mens medianen til B ligger mellom 40 og 60 år.

For å beregne gjennomsnittsalderen i bedrift B bruker vi midtpunktet i hvert intervall som representativ verdi for gruppen.

Midtpunkter:

$\langle 20, 40 \rangle$ : midtpunkt $= \frac{20 + 40}{2} = 30$
$\langle 40, 60 \rangle$ : midtpunkt $= \frac{40 + 60}{2} = 50$
$\langle 60, 70 \rangle$ : midtpunkt $= \frac{60 + 70}{2} = 65$

Gjennomsnittsalder:

\bar{x} = \frac{40 \cdot 30 + 50 \cdot 50 + 10 \cdot 65}{100}

= \frac{1200 + 2500 + 650}{100}

= \frac{4350}{100}

= \mathbf{\underline{\underline{43{,}5 \text{~år}}}}

Gjennomsnittsalderen i bedrift B er $\underline{\underline{43{,}5 \text{~år}}}$ .

Et histogram for aldersfordelingen i bedrift B ser slik ut:

Merk at intervallene ikke er like brede: $\langle 20, 40 \rangle$ og $\langle 40, 60 \rangle$ er 20 år brede, mens $\langle 60, 70 \rangle$ er 10 år bred. Vi bruker frekvenstetthet (antall per år) på $y$ -aksen for å lage histogrammet korrekt.

Aldersgruppe	Antall	Bredde	Frekvenstetthet
$\langle 20, 40 \rangle$	40	20	$40 \div 20 = 2$
$\langle 40, 60 \rangle$	50	20	$50 \div 20 = 2{,}5$
$\langle 60, 70 \rangle$	10	10	$10 \div 10 = 1$

Histogrammet tegnes med alder på $x$ -aksen og frekvenstetthet (antall ansatte per år) på $y$ -aksen. Søylene har høyde henholdsvis $2$ , $2{,}5$ og $1$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Statistikk, Diagram, Gjennomsnitt

Oppgave 1-5 : Eksponentiell nedgang i bakteriekultur

En gruppe forskere har observert en bakteriekultur. Fra de startet observasjonene, har antall bakterier avtatt eksponentielt slik grafen til funksjonen $B$ viser.

Graf over antall bakterier som funksjon av antall timer

Bestem $B(x)$ .

Forklar hvordan vi kan se av uttrykket $B(x)$ at grafen vil nærme seg $x$ -aksen når $x$ -verdien øker.

Fasit

$\underline{\underline{B(x) = 10\,000 \cdot 0{,}8^x}}$

Fordi $0{,}8^x$ alltid er større enn null, vil $B(x)$ aldri bli null – grafen nærmer seg $x$ -aksen uten å krysse den.

LøsningsforslagKI-generert

En eksponentialfunksjon har formen

B(x) = b \cdot a^x

der $b$ er startverdien (verdien når $x = 0$ ) og $a$ er vekstfaktoren.

Startverdi: Av grafen leser vi av at $B(0) = 10\,000$ .

Vekstfaktor: Vi leser av et punkt til fra grafen. Ved $x = 4$ ser kurven ut til å passere gjennom ca. $4\,000$ .

B(4) = 10\,000 \cdot a^4 = 4\,000

a^4 = \frac{4\,000}{10\,000} = 0{,}4

Vi prøver $a = 0{,}8$ :

0{,}8^4 = 0{,}4096 \approx 0{,}4 \quad \checkmark

Dette stemmer godt med grafen, og $0{,}8$ er et pent tall som passer for en slik modell (nedgang med $20\,\%$ per time).

Dermed er:

\boxed{B(x) = 10\,000 \cdot 0{,}8^x}

$\underline{\underline{B(x) = 10\,000 \cdot 0{,}8^x}}$

Vi ser på uttrykket $B(x) = 10\,000 \cdot 0{,}8^x$ .

Tallet $0{,}8$ er et positivt tall som er mindre enn $1$ . Når vi opphøyer et slikt tall i stadig større eksponent, blir resultatet stadig mindre – men det vil aldri bli null.

For eksempel:

$0{,}8^{10} \approx 0{,}107$
$0{,}8^{50} \approx 0{,}000\,14$
$0{,}8^{100} \approx 0{,}000\,000\,002$

Ingen av disse er null, og $0{,}8^x$ kan aldri bli eksakt $0$ uansett hvor stor $x$ er.

Siden $B(x) = 10\,000 \cdot 0{,}8^x$ aldri kan bli null, vil antall bakterier aldri bli null. Grafen nærmer seg $x$ -aksen mer og mer når $x$ øker, men den vil aldri krysse den.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Eksponentialfunksjon, Graftolkning, Modellering

Oppgave 1-6 : Figurmønster med sirkler 2P-Y H23 LK06

De tre første figurene i et mønster av sirkler

Ovenfor ser du tre figurer. Figurene er satt sammen av små sirkler. Tenk deg at du skal fortsette å lage figurer etter samme mønster.

Hvor mange små sirkler vil det være i figur 4 og i figur 10?

Beskriv mønsteret, og bestem et uttrykk for antallet små sirkler i figur $n$ .

Fasit

Figur 4: $\underline{\underline{24}}$ sirkler. Figur 10: $\underline{\underline{120}}$ sirkler.

$\underline{\underline{a_n = n(n+2)}}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi teller antall sirkler i de tre første figurene:

Figur	Antall sirkler
1	3
2	8
3	15

Vi ser på økningen fra figur til figur:

8 - 3 = 5

15 - 8 = 7

Økningen øker med $2$ for hvert steg. Neste økning er da $7 + 2 = 9$ .

Figur 4:

15 + 9 = \mathbf{24} \text{ sirkler}

For å finne figur 10 fortsetter vi mønsteret:

Figur	Antall	Økning fra forrige
3	15	–
4	24	$+9$
5	35	$+11$
6	48	$+13$
7	63	$+15$
8	80	$+17$
9	99	$+19$
10	120	$+21$

Figur 10 har $\underline{\underline{120}}$ sirkler.

Mønsterbeskrivelse:

Ser vi på strukturen i figurene, kan vi beskrive mønsteret slik:

Figur $n$ har øverst én rad med $n$ sirkler.
Under der er det $n$ rader med $(n+1)$ sirkler.

Totalt: $n + n \cdot (n+1) = n + n^2 + n = n^2 + 2n = n(n+2)$

Generelt uttrykk:

\boxed{a_n = n(n+2)}

Vi kan dobbeltsjekke:

$n = 1$ : $1 \cdot 3 = 3$ ✓
$n = 2$ : $2 \cdot 4 = 8$ ✓
$n = 3$ : $3 \cdot 5 = 15$ ✓
$n = 4$ : $4 \cdot 6 = 24$ ✓
$n = 10$ : $10 \cdot 12 = 120$ ✓

$\underline{\underline{a_n = n(n+2)}}$

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Figurtall, Mønstre, Tallfølger

Oppgave 2-1 : Temperaturmodell for sjø på Sørlandet

Funksjonen $T$ gitt ved

T(x) = -\frac{1}{1000} \cdot \left(0{,}0028x^3 - x^2 + 25x - 3800\right), \quad 0 \leq x \leq 300

er en modell for temperaturen $T(x)$ grader celsius i sjøen et sted på Sørlandet $x$ døgn etter 31. desember 2020.

Tegn grafen til $T$ .

Bruk modellen til å bestemme forskjellen mellom høyeste og laveste temperatur i sjøen de 300 første dagene i 2021.

Hvor mange grader steg temperaturen i sjøen i gjennomsnitt med hvert døgn i mars ifølge modellen?

Bestem $T(100)$ og den momentane vekstfarten til $T$ når $x = 100$ . Gi en praktisk tolkning av hvert av de to svarene.

Fasit

Se graf under.

$\underline{\underline{\approx 13{,}3 \, \mathrm{°C}}}$

$\underline{\underline{\approx 0{,}077 \, \text{°C/døgn}}}$

$T(100) = \underline{\underline{8{,}5 \, \mathrm{°C}}}$ ; momentan vekstfart $= \underline{\underline{0{,}091 \, \text{°C/døgn}}}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi skriver inn funksjonen i GeoGebra og velger et passende vindu for $0 \leq x \leq 300$ :

T(x) = -\frac{1}{1000} \cdot \left(0{,}0028x^3 - x^2 + 25x - 3800\right)

Grafen til T(x) for sjøtemperaturen på Sørlandet

Grafen viser at temperaturen starter på litt under $4 \, \mathrm{°C}$ , synker til et lokalt minimum tidlig i januar, stiger gjennom vinteren og våren til et toppunkt rundt dag 225 (tidlig august), og deretter synker mot slutten av perioden.

Vi bruker kommandoen Extremum(T, 0, 300) i GeoGebra for å finne høyeste og laveste temperatur i intervallet $\langle 0, 300 \rangle$ .

GeoGebra finner:

Laveste temperatur: $T \approx 3{,}6 \, \mathrm{°C}$ ved $x \approx 13$ (rundt 13. januar)
Høyeste temperatur: $T \approx 16{,}9 \, \mathrm{°C}$ ved $x \approx 225$ (rundt 13. august)

Forskjellen mellom høyeste og laveste temperatur er:

16{,}9 - 3{,}6 \approx \mathbf{13{,}3 \, \mathrm{°C}}

Ifølge modellen er forskjellen mellom høyeste og laveste sjøtemperatur de 300 første dagene i 2021 omtrent $\underline{\underline{13{,}3 \, \mathrm{°C}}}$ .

$x = 0$ er 31. desember 2020, så januar har dager $x = 1$ til $x = 31$ , februar har dager $x = 32$ til $x = 59$ , og mars har dager $x = 60$ til $x = 90$ (mars har 31 dager).

Den gjennomsnittlige temperaturendringen per døgn i mars er:

\frac{T(90) - T(59)}{31} = \frac{7{,}61 - 5{,}23}{31} \approx \frac{2{,}38}{31} \approx 0{,}077 \, \text{°C/døgn}

Ifølge modellen steg sjøtemperaturen i gjennomsnitt med omtrent $\underline{\underline{0{,}077 \, \mathrm{°C}}}$ per døgn i mars.

Det vil si at sjøen ble omtrent $0{,}08 \, \mathrm{°C}$ varmere for hvert døgn som gikk i mars.

Vi beregner $T(100)$ ved å sette $x = 100$ :

T(100) = -\frac{1}{1000} \cdot \left(0{,}0028 \cdot 100^3 - 100^2 + 25 \cdot 100 - 3800\right)

= -\frac{1}{1000} \cdot \left(2800 - 10000 + 2500 - 3800\right) = -\frac{1}{1000} \cdot (-8500) = 8{,}5

$T(100) = \underline{\underline{8{,}5 \, \mathrm{°C}}}$ . Dette betyr at sjøtemperaturen ifølge modellen var $8{,}5 \, \mathrm{°C}$ den 100. dagen i 2021, det vil si rundt 10. april.

Den momentane vekstfarten er den deriverte $T'(x)$ evaluert i $x = 100$ . Vi bruker GeoGebra til å beregne $T'(100)$ :

T'(100) \approx 0{,}091 \, \text{°C/døgn}

Den momentane vekstfarten er $\underline{\underline{0{,}091 \, \text{°C/døgn}}}$ . Dette betyr at sjøtemperaturen økte med omtrent $0{,}091 \, \mathrm{°C}$ per døgn akkurat den 10. april — temperaturen steg altså raskt på dette tidspunktet av året.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 3
Poeng: 9
Temaer: Funksjoner, Derivasjon, Modellering, Graf, Funksjonsdrøfting

Oppgave 2-2 : Eiendomsverdi med vekst og dobling

Petter har en eiendom. Eiendommen har i dag en verdi på 12 000 000 kroner.

Verdien av eiendommen har økt med 4,5 % hvert år de siste fem årene.

Hvor mye var eiendommen verdt for fem år siden?

Petter antar at verdien av eiendommen vil fortsette å øke med en fast prosent hvert år, og at den vil dobles i løpet av de neste 10 årene.

Hvor mange prosent må verdien øke med hvert år dersom det skal gå slik Petter antar?

Fasit

Ca. $\underline{\underline{9 \, 629 \, 000 \, \mathrm{kr}}}$

Ca. $\underline{\underline{7{,}2 \,\%}}$ per år

LøsningsforslagKI-generert

Verdien har økt med $4{,}5 \,\%$ hvert år i 5 år, så vekstfaktoren er $1{,}045$ .

For å finne verdien for fem år siden regner vi bakover — vi deler på vekstfaktoren i stedet for å gange:

\text{Verdi for 5 år siden} = \frac{12 \, 000 \, 000}{1{,}045^5} \approx 9 \, 629 \, 000 \, \mathrm{kr}

Eiendommen var verdt ca. $\underline{\underline{9 \, 629 \, 000 \, \mathrm{kr}}}$ for fem år siden.

Vi lar $r$ være vekstfaktoren per år. Petter vil at verdien skal dobles på 10 år, det vil si:

r^{10} = 2

Vi løser for $r$ ved å ta 10. rot på begge sider:

r = 2^{\frac{1}{10}} \approx 1{,}0718

Det betyr at den årlige økningen er:

1{,}0718 - 1 = 0{,}0718 \approx 7{,}2 \,\%

Grafen nedenfor viser eksponentialfunksjonen $V(t) = 12 \, 000 \, 000 \cdot 1{,}0718^t$ der $t$ er antall år fra i dag. De stiplede grønne linjene viser at ved $t = 10$ er verdien $24 \, 000 \, 000 \, \mathrm{kr}$ — det dobbelte av startverdi.

Eksponentiell vekst — eiendommens verdi dobles på 10 år

Verdien må øke med ca. $\underline{\underline{7{,}2 \,\%}}$ per år for at eiendommen skal dobles på 10 år.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Eksponentialfunksjon, Vekstfaktor, Rente, Økonomi

Oppgave 2-3 : Prisøkning på handleposer i elevbedrift

En elevbedrift selger grønne, svarte og blå handlenett.

Prisen er den samme for hvert handlenett. Elevbedriften selger tre ganger så mange grønne som blå handlenett og dobbelt så mange svarte som blå.

Elevene bestemmer seg for å sette opp prisen for det grønne handlenettet med 5 %, det svarte med 10 % og det blå med 15 %.

Hvor mange prosent vil inntektene fra salget øke med dersom elevbedriften fremdeles vil selge tre ganger så mange grønne som blå handlenett og dobbelt så mange svarte som blå, etter at de setter opp prisene?

Fasit

Inntektene øker med $\underline{\underline{8{,}33 \,\%}}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi lar antall blå handlenett være $b$ . Da er antall grønne $3b$ og antall svarte $2b$ .

La prisen per handlenett (opprinnelig) være $p$ .

Opprinnelig inntekt:

\text{Inntekt} = p \cdot 3b + p \cdot 2b + p \cdot b = 6pb

Ny inntekt etter prisøkningene:

Grønne: prisen øker med $5\,\%$ , ny pris = $1{,}05 \cdot p$
Svarte: prisen øker med $10\,\%$ , ny pris = $1{,}10 \cdot p$
Blå: prisen øker med $15\,\%$ , ny pris = $1{,}15 \cdot p$

\text{Ny inntekt} = 1{,}05p \cdot 3b + 1{,}10p \cdot 2b + 1{,}15p \cdot b

= 3{,}15pb + 2{,}20pb + 1{,}15pb = 6{,}50pb

Vekstfaktoren for inntekten:

\frac{6{,}50pb}{6pb} = \frac{6{,}50}{6} \approx 1{,}0833

Inntektene øker altså med ca. $8{,}33\,\%$ .

Inntektene fra salget vil øke med omtrent $\underline{\underline{8{,}33 \,\%}}$ .

Dette betyr at selv om de fleste handlepose-kundene kjøper det grønne nettet (som bare ble $5\,\%$ dyrere), veier de mange grønne nettene opp for at blå nett ble mye dyrere, og samlet inntektsøkning havner på rundt $8\,\%$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Prosentregning, Økonomi, Vekstfaktor

Oppgave 2-4 : Toppscorere i eliteserien 2022

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Nedenfor ser du de 11 fotballspillerne som skåret flest mål i eliteserien 2022.

Oversikt over de 11 toppscorerne i eliteserien 2022 med rank, spiller, klubb og antall mål

Bestem typetallet, variasjonsbredden og medianen for antall mål.

Bestem gjennomsnittet og standardavviket for antall mål.

For de 11 fotballspillerne som skåret flest mål i sesongen 2021, var medianen 11, gjennomsnittet 14,5 og standardavviket 6,7.

Hva kan du ut fra dette og beregningene i oppgave a) og b) si om de 11 fotballspillerne fra 2021 sammenliknet med de 11 fotballspillerne fra 2022?

Fasit

Typetall: $\underline{\underline{15}}$ , variasjonsbredde: $\underline{\underline{14}}$ , median: $\underline{\underline{14}}$

Gjennomsnitt: $\underline{\underline{14{,}5}}$ , standardavvik: $\underline{\underline{3{,}9}}$

I 2022 var medianen høyere (14 mot 11), gjennomsnittet likt (14,5), og spredningen klart mindre (standardavvik 3,9 mot 6,7). De 11 toppscorerne i 2022 scoret altså jevnere enn i 2021.

LøsningsforslagKI-generert

Vi leser av tabellen og finner antall mål for de 11 toppscorerne i 2022:

25, \; 16, \; 15, \; 15, \; 15, \; 14, \; 13, \; 12, \; 12, \; 11, \; 11

Vi sorterer verdiene i stigende rekkefølge:

11, \; 11, \; 12, \; 12, \; 13, \; \textcolor{seagreen}{14}, \; 15, \; 15, \; 15, \; 16, \; 25

Typetall er den verdien som forekommer flest ganger. $15$ forekommer tre ganger.

$\underline{\underline{\text{Typetall} = 15}}$

Variasjonsbredde er differansen mellom største og minste verdi:

25 - 11 = 14

$\underline{\underline{\text{Variasjonsbredde} = 14}}$

Median er midtverdien når verdiene er sortert. Med 11 verdier er medianen den 6. verdien (grønn ovenfor).

$\underline{\underline{\text{Median} = 14}}$

Vi bruker GeoGebra til å beregne gjennomsnitt og standardavvik. Vi skriver inn dataene som en liste og bruker Mean() og stdev().

Punktdiagram og boksplott for toppscorerne i eliteserien 2022, med gjennomsnitt og standardavvik beregnet i GeoGebra

Fra GeoGebra leser vi av:

\text{Gjennomsnitt} = \frac{25 + 16 + 15 + 15 + 15 + 14 + 13 + 12 + 12 + 11 + 11}{11} = \frac{159}{11} \approx 14{,}5

\text{Standardavvik} \approx 3{,}9

$\underline{\underline{\text{Gjennomsnitt} \approx 14{,}5}}$ og $\underline{\underline{\text{Standardavvik} \approx 3{,}9}}$

Vi sammenligner de to sesongene:

	2021	2022
Median	11	14
Gjennomsnitt	14,5	14,5
Standardavvik	6,7	3,9

Medianen i 2022 ( $14$ ) er høyere enn i 2021 ( $11$ ), noe som tyder på at halvparten av toppscorerne i 2022 scoret flere mål enn halvparten i 2021. Gjennomsnittet er likt for begge sesongene ( $14{,}5$ ), men standardavviket er mye lavere i 2022 ( $3{,}9$ mot $6{,}7$ ). Det betyr at scoringene i 2022 var mer jevnt fordelt. I 2021 var det trolig en stor spredning mellom de som scoret mest og de som scoret minst av de 11 – noe som drar opp gjennomsnittet selv om medianen er lavere.

Konklusjon: De 11 toppscorerne i 2022 hadde omtrent samme gjennomsnitt som i 2021, men scoringene var betydelig mer jevnt fordelt (lavere standardavvik). I 2021 var det trolig en spiller (eller noen få) med svært mange mål som trakk gjennomsnittet opp, mens flertallet scoret færre mål enn medianen i 2022.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Statistikk, Gjennomsnitt, Tabeller og diagrammer

Oppgave 2-5 : Boliglån med månedlige terminer

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Adam har tatt opp et lån på 2 500 000 kroner for å kjøpe bolig.

Han skal betale tilbake lånet i månedlige terminer. Renten er 0,33 % per måned. I tillegg må han betale et gebyr på 50 kroner per termin. Terminbeløpet skal være 13 385 kroner.

Lag en oversikt som viser hvor stort lånet hans vil være måned for måned de to første årene.

Fasit

Etter 24 måneder er lånet $\underline{\underline{2\,373\,214{,}53 \, \mathrm{kr}}}$ .

LøsningsforslagKI-generert

Vi setter opp en tabell i et regneark. Kolonnene er: måned, lån ved start av måneden, renter, avdrag, gebyr og lån ved slutt av måneden.

Formlene i regnearket (Excel/Google Sheets):

Anta at rad 2 er måned 1, med startlån i celle B2.

Kolonne	Overskrift	Formel (rad 2)
A	Måned	`1`
B	Lån (start)	`2500000`
C	Renter	`=B2*0,0033`
D	Avdrag	`=13385-50-C2`
E	Gebyr	`50`
F	Lån (slutt)	`=B2-D2`

Fra rad 3: =F2 i B3 (lånet ved slutt er lånet ved start neste måned). Kopier formlene nedover til og med rad 25 (24 måneder = 2 år).

Hva skjer hver måned:

Renter beregnes av det gjenstående lånet:

\text{Renter} = \text{Lån} \cdot 0{,}0033

Avdraget er terminbeløpet minus gebyr og renter:

\text{Avdrag} = 13\,385 - 50 - \text{Renter}

Det nye lånet er:

\text{Nytt lån} = \text{Gammelt lån} - \text{Avdrag}

Resultat — de to første årene:

Måned	Lån (start)	Renter	Avdrag	Gebyr	Lån (slutt)
1	$2\,500\,000{,}00$	$8\,250{,}00$	$5\,085{,}00$	$50$	$2\,494\,915{,}00$
2	$2\,494\,915{,}00$	$8\,233{,}22$	$5\,101{,}78$	$50$	$2\,489\,813{,}22$
3	$2\,489\,813{,}22$	$8\,216{,}38$	$5\,118{,}62$	$50$	$2\,484\,694{,}60$
4	$2\,484\,694{,}60$	$8\,199{,}49$	$5\,135{,}51$	$50$	$2\,479\,559{,}10$
5	$2\,479\,559{,}10$	$8\,182{,}55$	$5\,152{,}45$	$50$	$2\,474\,406{,}64$
6	$2\,474\,406{,}64$	$8\,165{,}54$	$5\,169{,}46$	$50$	$2\,469\,237{,}18$
7	$2\,469\,237{,}18$	$8\,148{,}48$	$5\,186{,}52$	$50$	$2\,464\,050{,}66$
8	$2\,464\,050{,}66$	$8\,131{,}37$	$5\,203{,}63$	$50$	$2\,458\,847{,}03$
9	$2\,458\,847{,}03$	$8\,114{,}20$	$5\,220{,}80$	$50$	$2\,453\,626{,}23$
10	$2\,453\,626{,}23$	$8\,096{,}97$	$5\,238{,}03$	$50$	$2\,448\,388{,}19$
11	$2\,448\,388{,}19$	$8\,079{,}68$	$5\,255{,}32$	$50$	$2\,443\,132{,}87$
12	$2\,443\,132{,}87$	$8\,062{,}34$	$5\,272{,}66$	$50$	$2\,437\,860{,}21$
13	$2\,437\,860{,}21$	$8\,044{,}94$	$5\,290{,}06$	$50$	$2\,432\,570{,}15$
14	$2\,432\,570{,}15$	$8\,027{,}48$	$5\,307{,}52$	$50$	$2\,427\,262{,}63$
15	$2\,427\,262{,}63$	$8\,009{,}97$	$5\,325{,}03$	$50$	$2\,421\,937{,}60$
16	$2\,421\,937{,}60$	$7\,992{,}39$	$5\,342{,}61$	$50$	$2\,416\,594{,}99$
17	$2\,416\,594{,}99$	$7\,974{,}76$	$5\,360{,}24$	$50$	$2\,411\,234{,}76$
18	$2\,411\,234{,}76$	$7\,957{,}07$	$5\,377{,}93$	$50$	$2\,405\,856{,}83$
19	$2\,405\,856{,}83$	$7\,939{,}33$	$5\,395{,}67$	$50$	$2\,400\,461{,}16$
20	$2\,400\,461{,}16$	$7\,921{,}52$	$5\,413{,}48$	$50$	$2\,395\,047{,}68$
21	$2\,395\,047{,}68$	$7\,903{,}66$	$5\,431{,}34$	$50$	$2\,389\,616{,}34$
22	$2\,389\,616{,}34$	$7\,885{,}73$	$5\,449{,}27$	$50$	$2\,384\,167{,}07$
23	$2\,384\,167{,}07$	$7\,867{,}75$	$5\,467{,}25$	$50$	$2\,378\,699{,}82$
24	$2\,378\,699{,}82$	$7\,849{,}71$	$5\,485{,}29$	$50$	$2\,373\,214{,}53$

Etter to år (24 måneder) gjenstår $\underline{\underline{2\,373\,214{,}53 \, \mathrm{kr}}}$ av lånet.

Vi legger merke til at rentedelen av terminbeløpet synker litt for hver måned, mens avdraget øker tilsvarende. Det er typisk for et annuitetslån.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Annuitetslån, Økonomi, Tabeller og diagrammer

Oppgave 2-6 : Helsefagarbeidere i Norge 2015–2022

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Nedenfor ser du en tabell som viser antall helsefagarbeidere i Norge i perioden 2015–2022, fordelt på kjønn.

Tabell over antall helsefagarbeidere fordelt på kjønn, 2015–2022

Tenk deg at du skal presentere dette datamaterialet i et foredrag. Gjør sammenlikninger og beregninger, og lag ulike fremstillinger som du kan bruke i en presentasjon. Presentasjonene skal inneholde både beregninger og diagrammer.

Gjør sammenlikninger og beregninger, og lag ulike fremstillinger som viser utviklingen i antall helsefagarbeidere i Norge i perioden 2015–2022.

Fasit

Totalt antall helsefagarbeidere økte fra $19\,725$ ( $2015$ ) til $47\,789$ ( $2022$ ) – en vekst på om lag $\mathbf{142 \,\%}$ . Menn økte mest relativt ( $\approx 228 \,\%$ ), kvinner dominerer fortsatt absolutt ( $\approx 85 \,\%$ av totalen i 2022). Lineær modell passer godt ( $R^2 > 0{,}99$ ).

LøsningsforslagKI-generert

Oppgaven er åpen – det finnes mange gyldige fremstillinger. Nedenfor er ett fullstendig eksempel på hva en presentasjon kan inneholde.

Totalt antall helsefagarbeidere

Vi regner ut totalt antall for hvert år ved å addere menn og kvinner:

År	Menn	Kvinner	Totalt
2015	2 232	17 493	19 725
2016	2 911	21 439	24 350
2017	3 558	24 785	28 343
2018	3 957	27 327	31 284
2019	4 698	30 733	35 431
2020	5 511	33 958	39 469
2021	6 447	37 357	43 804
2022	7 317	40 472	47 789

Sammenligning – vekst fra 2015 til 2022

Vi beregner prosentvis vekst for menn, kvinner og totalt:

\text{Vekst menn} = \frac{7317 - 2232}{2232} \cdot 100 \approx \mathbf{228 \,\%}

\text{Vekst kvinner} = \frac{40472 - 17493}{17493} \cdot 100 \approx \mathbf{131 \,\%}

\text{Vekst totalt} = \frac{47789 - 19725}{19725} \cdot 100 \approx \mathbf{142 \,\%}

Tolkning: Antall mannlige helsefagarbeidere mer enn tredoblet seg i perioden. Begge kjønn viser sterk vekst, men menn vokste relativt sett raskest.

Kjønnsfordeling

Vi beregner prosentandelen menn for 2015 og 2022:

\text{Andel menn } 2015 = \frac{2232}{19725} \cdot 100 \approx 11{,}3 \,\%

\text{Andel menn } 2022 = \frac{7317}{47789} \cdot 100 \approx 15{,}3 \,\%

Tolkning: Yrket er sterkt kvinnedominert, men andelen menn øker gradvis – fra $11{,}3 \,\%$ i 2015 til $15{,}3 \,\%$ i 2022.

Diagram – utvikling over tid

Vi bruker GeoGebra til å plotte datapunktene og tegne lineære trendlinjer for begge kjønn.

Trendlinjene er beregnet med lineær regresjon:

\textcolor{steelblue}{\text{Menn:}} \quad y \approx 713 \cdot (x - 2015) + 2084 \qquad (R^2 \approx 0{,}99)

\textcolor{tomato}{\text{Kvinner:}} \quad y \approx 3231 \cdot (x - 2015) + 17889 \qquad (R^2 \approx 0{,}999)

Begge modellene passer svært godt ( $R^2$ nær $1$ ), noe som betyr at veksten har vært nesten jevn (lineær) gjennom hele perioden.

Diagram over utvikling i antall helsefagarbeidere 2015–2022 med trendlinjer for menn (blå) og kvinner (rød)

Tolkning av diagrammet: Begge kurver stiger jevnt og nesten rettlinjet. Kvinner (rød) utgjør det store flertallet. Stigningstallet for kvinner ( $\approx 3231$ per år) er om lag fire ganger større enn for menn ( $\approx 713$ per år) i absolutt antall.

Oppsummering for presentasjonen

Antall helsefagarbeidere økte fra nesten $20\,000$ til nesten $48\,000$ fra 2015 til 2022.
Veksten er sterkest relativt sett blant menn ( $+228 \,\%$ ), men kvinner dominerer fortsatt absolutt ( $\approx 85 \,\%$ av alle helsefagarbeidere i 2022).
En lineær modell beskriver utviklingen godt for begge kjønn.
Yrket er og forblir sterkt kvinnedominert i hele perioden.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Statistikk, Diagram, Presentasjon av data, Tabeller og diagrammer

Oppgave 2-7 : Klimagassutslipp mot 2030 og 2050

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

I 1990 var Norges klimagassutslipp på 51,3 millioner tonn $\text{CO}_2$ -ekvivalenter.
I 2022 var Norges klimagassutslipp på 48,9 millioner tonn $\text{CO}_2$ -ekvivalenter.

Norske myndigheter har satt som mål at klimagassutslippet skal reduseres med 55 % innen 2030, sammenliknet med hva utslippet var i 1990.

Anders og Arne diskuterer hvordan det kan være mulig å nå dette målet.

Anders ser for seg at utslippet reduseres med et fast antall tonn hvert år. Han ønsker å lage en modell som viser hvor mange tonn den årlige reduksjonen må være på for å nå målet i 2030.
Arne ser for seg at utslippet reduseres med en fast prosent hvert år. Han ønsker å lage en modell som viser hvor mange prosent den årlige reduksjonen må være for å nå målet i 2030.

La $x$ være antall år etter 2022, og hjelp Anders og Arne med å lage modellene.

Norge har som mål å bli et lavutslippssamfunn innen 2050. Da må klimagassutslippet reduseres med 90–95 % sammenliknet med utslippet i 1990.

Bruk modellene du fant i oppgave a), og vurder dem opp mot opplysningene om målet for klimagassutslipp i 2050.

Fasit

Anders (lineær): $\underline{\underline{f(x) = 48{,}9 - 3{,}227x}}$ , Arne (eksponentiell): $\underline{\underline{g(x) = 48{,}9 \cdot 0{,}9104^x}}$

Andersmodellen gir negativt utslipp rundt 2037 – urealistisk. Arnesmodellen gir ca. $3{,}5 \text{ mill.~tonn}$ i 2050 (93 % reduksjon fra 1990) – innenfor 90–95 %-målet.

LøsningsforslagKI-generert

Felles utgangspunkt:

Utslippet i 2022 er $48{,}9$ millioner tonn. Målet for 2030 er en reduksjon på $55\,\%$ sammenlignet med 1990-nivået:

55\,\% \text{ av } 51{,}3 = 0{,}55 \cdot 51{,}3 = 28{,}215 \text{ mill. tonn reduksjon}

\text{Mål 2030} = 51{,}3 - 28{,}215 = 23{,}085 \text{ mill. tonn}

La $x$ = antall år etter 2022. Da svarer $x = 0$ til 2022 og $x = 8$ til 2030.

Anders – lineær modell:

Anders antar at utslippet reduseres med et fast antall tonn per år. Da er modellen en lineær funksjon:

f(x) = 48{,}9 + ax

Vi vet at $f(8) = 23{,}085$ :

48{,}9 + 8a = 23{,}085

8a = 23{,}085 - 48{,}9 = -25{,}815

a = \frac{-25{,}815}{8} \approx -3{,}227

\textbf{Anders sin modell: } \mathbf{f(x) = 48{,}9 - 3{,}227x}

Det vil si at utslippet må reduseres med ca. $\mathbf{3{,}2}$ millioner tonn per år.

Arne – eksponentiell modell:

Arne antar at utslippet reduseres med en fast prosent per år. Da er modellen en eksponentialfunksjon:

g(x) = 48{,}9 \cdot r^x

Vi vet at $g(8) = 23{,}085$ :

48{,}9 \cdot r^8 = 23{,}085

r^8 = \frac{23{,}085}{48{,}9} \approx 0{,}4721

r = 0{,}4721^{\frac{1}{8}} \approx 0{,}9104

\textbf{Arnes modell: } \mathbf{g(x) = 48{,}9 \cdot 0{,}9104^x}

Vekstfaktoren $0{,}9104$ betyr en reduksjon på $1 - 0{,}9104 = 0{,}0896$ , altså ca. $\mathbf{9\,\%}$ per år.

Målet for 2050 er en reduksjon på 90–95 % fra 1990-nivået. Det gir et tillatt utslippsintervall:

90\,\%\text{-mål:} \quad 51{,}3 \cdot 0{,}10 = 5{,}13 \text{ mill. tonn}

95\,\%\text{-mål:} \quad 51{,}3 \cdot 0{,}05 = 2{,}565 \text{ mill. tonn}

År 2050 tilsvarer $x = 28$ . Vi bruker GeoGebra til å tegne begge modellene og avlese verdiene ved $x = 28$ , og tegner inn målgrensene som horisontale linjer.

Lineær og eksponentiell modell for klimagassutslipp

Vi leser av fra grafen:

Anders sin modell ( $\textcolor{steelblue}{\text{blå linje}}$ ): Den lineære modellen krysser x-aksen allerede rundt $x \approx 15$ (år 2037). Det betyr at modellen gir negativt klimagassutslipp fra 2037 – noe som er fysisk umulig. Modellen er ikke realistisk for å beskrive utviklingen frem til 2050.

Arnes modell ( $\textcolor{seagreen}{\text{grønn kurve}}$ ): Vi setter inn $x = 28$ :

g(28) = 48{,}9 \cdot 0{,}9104^{28} \approx 3{,}5 \text{ mill. tonn}

Dette tilsvarer en reduksjon på ca. $\dfrac{51{,}3 - 3{,}5}{51{,}3} \approx 93\,\%$ fra 1990-nivået, som er innenfor 90–95 %-målet.

Konklusjon: Arnes eksponentielle modell er realistisk – den gir ikke negative utslipp, og hvis den prosentvise reduksjonen på ca. $9\,\%$ per år opprettholdes, vil utslippet i 2050 ligge innenfor lavutslippsmålet på 90–95 % reduksjon fra 1990.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 6
Temaer: Lineære funksjoner, Eksponentialfunksjon, Modellering, Vekstfaktor

Sync på tvers av enheter

Del 1 — uten hjelpemidler · 1 time · 6 oppgaver · 24 poeng

Oppgave 1-1 : Fleksikort eller enkeltbilletter

Oppgave 1-2 : Massen til sola på standardform

Oppgave 1-3 : To datasett med gitt typetall og median

Alternativ 1 (bruker 8 minst én dag)

Alternativ 2 (bruker ikke 8, minst halvparten nye tall)

Oppgave 1-4 : Aldersfordeling i to bedrifter

Oppgave 1-5 : Eksponentiell nedgang i bakteriekultur

Oppgave 1-6 : Figurmønster med sirkler 2P-Y H23 LK06

Del 2 — med hjelpemidler · 4 timer · 7 oppgaver · 36 poeng

Oppgave 2-1 : Temperaturmodell for sjø på Sørlandet

Oppgave 2-2 : Eiendomsverdi med vekst og dobling

Oppgave 2-3 : Prisøkning på handleposer i elevbedrift

Oppgave 2-4 : Toppscorere i eliteserien 2022

Oppgave 2-5 : Boliglån med månedlige terminer

Oppgave 2-6 : Helsefagarbeidere i Norge 2015–2022

Totalt antall helsefagarbeidere

Sammenligning – vekst fra 2015 til 2022

Kjønnsfordeling

Diagram – utvikling over tid

Oppsummering for presentasjonen

Oppgave 2-7 : Klimagassutslipp mot 2030 og 2050

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave