2P-Y Høst 2009

Oppgave 1-1Standardform, potenser og sannsynlighet

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

To røde terninger

Skriv tallene 32 000 000 og 0,000 678 på standardform.

Regn ut

3^{4} \cdot {(3^{2})}^{- 4}

Tegn punktene $(- 2, - 1)$ og $(3, 4)$ i et koordinatsystem. Finn stigningstallet til den rette linjen som går gjennom punktene.

Funksjonen $g$ er gitt ved

g (x) = 340 000 \cdot {0,85}^{x}

Gi et eksempel på en praktisk situasjon der $g (x)$ kan være en modell.

Hvilket tall er størst av tallet 70 i titallsystemet og tallet 1001001 i totallsystemet?

Sondre tar en buss til skolen som går klokka 07.36 hver morgen. En dag kommer han 5 minutter for sent til denne bussen. Neste buss går ikke før klokka 09.18. Hvor lenge må Sondre vente på bussen?

Du kaster to terninger én gang. Hva er sannsynligheten for at du får

to seksere

én sekser

I en klasse er det 25 elever. 10 av jentene og 5 av guttene har arbeid i tillegg til skolen. Hva er sannsynligheten for at en tilfeldig valgt elev i denne klassen har arbeid i tillegg til skolen?

Fasit

$3,2 \cdot 10^{7}$ og $6,78 \cdot 10^{- 4}$

$3^{- 4} = \frac{1}{81}$

$a = 1$

Eksempel: verditapet på en bil

$1001001_{2} = 73 er størst$

$1 time og 37 minutter$

$P (to seksere) = \frac{1}{36}$ , $P (nøyaktig én sekser) = \frac{5}{18}$

$P = 0,6 = 60 %$

LøsningsforslagKI-generert

Vi skal skrive tallene på standardform, altså på formen $a \cdot 10^{n}$ der $1 \leq a < 10$ .

32 000 000 = 3,2 \cdot 10^{7}

0,000 678 = 6,78 \cdot 10^{- 4}

Vi bruker potensregelen ${(a^{m})}^{n} = a^{m \cdot n}$ og $a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}$ .

3^{4} \cdot {(3^{2})}^{- 4} = 3^{4} \cdot 3^{- 8} = 3^{4 - 8} = 3^{- 4} = \frac{1}{3^{4}} = \frac{1}{81}

Stigningstallet mellom to punkter $(x_{1}, y_{1})$ og $(x_{2}, y_{2})$ finner vi med

a = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}

Med punktene $(- 2, - 1)$ og $(3, 4)$ får vi

a = \frac{4 - (- 1)}{3 - (- 2)} = \frac{5}{5} = 1

Tegner vi punktene i et koordinatsystem, ser vi at linja stiger jevnt fra venstre mot høyre, i tråd med stigningstall $a = 1$ .

Funksjonen $g (x) = 340 000 \cdot {0,85}^{x}$ har en startverdi på $340 000$ og en vekstfaktor $0,85 < 1$ , som betyr en verdinedgang på $15 %$ per periode. Et praktisk eksempel er verdien av en bil som ble kjøpt for $340 000$ kroner og som synker $15 %$ i verdi hvert år. Da vil $g (x)$ gi bilens verdi etter $x$ år.

Vi gjør om totallet $1001001_{2}$ til titallsystemet. Hvert siffer representerer en toerpotens, regnet fra høyre med eksponent $0, 1, 2, \dots$

1001001_{2} = 1 \cdot 2^{6} + 0 \cdot 2^{5} + 0 \cdot 2^{4} + 1 \cdot 2^{3} + 0 \cdot 2^{2} + 0 \cdot 2^{1} + 1 \cdot 2^{0}

= 64 + 8 + 1 = 73

Siden $73 > 70$ , er tallet $1001001_{2}$ (som tilsvarer $73$ ) størst.

Sondre kommer 5 minutter for sent til bussen som går 07.36, altså rekker han ikke bussen. Han må vente til neste buss som går 09.18.

Ventetiden regner vi ut ved å telle tiden fra klokka 07.41 (bussen han var for sen til) til klokka 09.18:

Fra 07.41 til 09.41 er det nøyaktig $2$ timer, men bussen går allerede klokka 09.18, altså $23$ minutter tidligere. Dette gir en ventetid på

2 timer - 23 minutter = 1 time og 37 minutter

Sannsynligheten for en sekser på én terning er $\frac{1}{6}$ , og sannsynligheten for ikke-sekser er $\frac{5}{6}$ .

1) To seksere

Terningene er uavhengige av hverandre, så vi multipliserer sannsynlighetene:

P (to seksere) = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{36}

2) Nøyaktig én sekser

Vi kan enten få sekser på første og ikke-sekser på andre, eller ikke-sekser på første og sekser på andre:

P (nøyaktig én sekser) = \frac{1}{6} \cdot \frac{5}{6} + \frac{5}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{5}{36} + \frac{5}{36} = \frac{10}{36} = \frac{5}{18}

Totalt har $10 + 5 = 15$ av de $25$ elevene arbeid i tillegg til skolen. Sannsynligheten for at en tilfeldig valgt elev har arbeid, er derfor

P = \frac{15}{25} = \frac{3}{5} = 0,6 = 60 %

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Temaer: Standardform, Potenser, Stigningstall, Eksponentialfunksjon, Sannsynlighet, Tallregning
Egen side: Åpne oppgave 1-1 for seg selv

Oppgave 1-2Skattesystem med lineær funksjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Mynter og sedler

I et land er skattesystemet slik at de første 100 000 kronene du tjener, er skattefrie, mens du må betale 50 % skatt av det du tjener over 100 000 kroner.

Du tjener 500 000 kroner. Hvor stor blir lønnen etter at skatten er trukket fra?

La $x$ være lønnen i kroner før skatten er trukket fra, og $y$ være lønnen i kroner etter at skatten er trukket fra.

Formelen $y = 0,50 x + 50 000$ gir oss en sammenheng mellom disse størrelsene. (Her forutsetter vi at $x$ er større enn 100 000.)

Tegn den rette linja $y = 0,50 x + 50 000$ i et koordinatsystem. Bruk $x$ -verdier fra 0 til 800 000.

Hvor mye må du tjene for å ha igjen 350 000 kroner etter at skatten er trukket fra?

Fasit

$300 000 kr$

Rett linje gjennom $(0, 50 000)$ og $(800 000, 450 000)$

$600 000 kr$

LøsningsforslagKI-generert

De første $100 000$ kronene er skattefrie. Resten av lønna er

500 000 - 100 000 = 400 000 kr

Av dette betales $50 %$ i skatt:

0,50 \cdot 400 000 = 200 000 kr

Lønna etter skatt blir dermed

500 000 - 200 000 = 300 000 kr

Vi kan sjekke dette med formelen $y = 0,50 x + 50 000$ :

y = 0,50 \cdot 500 000 + 50 000 = 250 000 + 50 000 = 300 000 kr

Begge metodene gir samme svar: $300 000 kr$ .

For å tegne linja $y = 0,50 x + 50 000$ finner vi to punkter på linja, for eksempel endepunktene av det oppgitte intervallet.

Når $x = 0$ :

y = 0,50 \cdot 0 + 50 000 = 50 000

Når $x = 800 000$ :

y = 0,50 \cdot 800 000 + 50 000 = 400 000 + 50 000 = 450 000

Linja går altså gjennom punktene $(0, 50 000)$ og $(800 000, 450 000)$ . Vi setter av disse to punktene i et koordinatsystem med $x$ -akse fra $0$ til $800 000$ og $y$ -akse tilpasset verdiene, og trekker en rett linje mellom dem.

Vi setter $y = 350 000$ inn i formelen og løser for $x$ :

350 000 = 0,50 x + 50 000

350 000 - 50 000 = 0,50 x

300 000 = 0,50 x

x = \frac{300 000}{0,50} = 600 000

Du må altså tjene $600 000 kr$ for å ha igjen $350 000$ kroner etter skatt.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Temaer: Lineære funksjoner, Prosentregning, Modellering
Egen side: Åpne oppgave 1-2 for seg selv

Oppgave 2-3Energi fra vannfall og Cola

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Foss

Et vanlig mål for energi er joule (J). Strømforbruk måler vi derimot ofte i kilowattimer (kWh). $1 k W h = 3,6 \cdot 10^{6} J$

Hvis vi skal beregne hvor mye energi $E$ , målt i joule, vi får når vann faller, kan vi bruke formelen

E = 10 \cdot m \cdot h

der $m$ er antallet liter vann som faller $h$ meter.

Kalkulator

Bruk formelen ovenfor til å finne ut hvor mye energi vi får når 1000 liter vann faller 200 meter. Oppgi svaret i kWh.

Norge er en stor produsent av elektrisk energi fra vannkraft. I et normalår produserer vi omtrent $1,4 \cdot 10^{11} k W h$ .

Kalkulator

Hvor mye energi tilsvarer dette i gjennomsnitt per nordmann, dersom vi antar at det bor 4,8 millioner mennesker i Norge?

All maten vi spiser, inneholder energi. På etiketten til en Cola-flaske står det at energiinnholdet er 180 kJ per 100 ml.

Kalkulator

Hvor mange liter Cola må vi drikke for å få i oss energi tilsvarende 1 kWh?

Fasit

$E \approx 0,56 kWh$

$\approx 2,9 \cdot 10^{4} kWh$ per nordmann

$2,0 liter$

LøsningsforslagKI-generert

Vi bruker formelen $E = 10 \cdot m \cdot h$ med $m = 1000$ liter og $h = 200$ meter:

E = 10 \cdot 1000 \cdot 200 = 2 \cdot 10^{6} J

For å regne om til kWh, deler vi på $3,6 \cdot 10^{6} J / k W h$ :

E = \frac{2 \cdot 10^{6}}{3,6 \cdot 10^{6}} \approx 0,56 kWh

$E \approx 0,56 kWh$

Total produksjon er $1,4 \cdot 10^{11} kWh$ , og det bor $4,8$ millioner mennesker i Norge. Gjennomsnittlig energi per person finner vi ved å dele:

\frac{1,4 \cdot 10^{11}}{4,8 \cdot 10^{6}} \approx 2,9 \cdot 10^{4} kWh

Det betyr at hver nordmann i gjennomsnitt “bruker” (eller produseres for) omtrent $29 000$ kWh vannkraft i året.

$\approx 2,9 \cdot 10^{4} kWh per nordmann$

Vi må først regne om $1 kWh$ til kJ:

1 kWh = 3,6 \cdot 10^{6} J = 3600 kJ

Colaen inneholder $180 kJ$ per $100 ml$ . Vi finner hvor mange ganger $180 kJ$ går opp i $3600 kJ$ :

\frac{3600}{180} = 20

Vi trenger altså $20$ porsjoner à $100 ml$ , det vil si

20 \cdot 100 ml = 2000 ml = 2,0 liter

$2,0 liter Cola gir 1 kWh$

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Temaer: Formler, Standardform, Måleenheter, Tallregning
Egen side: Åpne oppgave 2-3 for seg selv

Oppgave 2-4Karakterfordeling og vektet gjennomsnitt

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Tabellen nedenfor viser karakterfordelingen på en matematikkeksamen et år.

Karakter	Elever
1	12
2	47
3	49
4	57
5	13
6	3

Kalkulator

Framstill datamaterialet i tabellen ved hjelp av to ulike diagrammer.

Kalkulator

1) Hvor mange prosent av elevene fikk karakteren 1?

Hva var gjennomsnittskarakteren?

Året etter var det 234 elever som hadde eksamen. Gjennomsnittskarakteren dette året var 3,42.

Kalkulator

Hva var gjennomsnittskarakteren dersom vi ser disse to årene under ett?

Fasit

Sektordiagram og søylediagram, se løsningsforslag.

$6,6 %$ og gjennomsnittskarakter $3,12$

$3,29$

LøsningsforslagKI-generert

Vi teller først opp totalt antall elever det første året:

12 + 47 + 49 + 57 + 13 + 3 = 181

Datamaterialet kan framstilles som et sektordiagram (kakediagram), der hver karakter utgjør en andel av sirkelen ut fra hvor stor prosentandel av de $181$ elevene som fikk den karakteren:

Sektordiagram over karakterfordeling

Datamaterialet kan også framstilles som et søylediagram, der høyden på hver søyle viser antall elever med den karakteren:

Søylediagram over karakterfordeling

Begge diagrammene kan lages i regneark ved å skrive inn tabellen (karakter i én kolonne, antall elever i neste), markere dataene og sette inn henholdsvis et sektordiagram og et søylediagram.

Prosentandel med karakter 1

Av de $181$ elevene var det $12$ som fikk karakteren $1$ . Prosentandelen finner vi ved å dele antallet med karakter 1 på totalt antall elever, og gange med $100 %$ :

\frac{12}{181} \cdot 100 % \approx 6,6 %

Gjennomsnittskarakter

Gjennomsnittet finner vi ved å summere karakter multiplisert med antall elever som fikk den karakteren, og dele på totalt antall elever:

\overline{x} = \frac{1 \cdot 12 + 2 \cdot 47 + 3 \cdot 49 + 4 \cdot 57 + 5 \cdot 13 + 6 \cdot 3}{181} = \frac{564}{181} \approx 3,12

Om lag $6,6 %$ av elevene fikk karakteren 1, og gjennomsnittskarakteren var $3,12$ .

Året etter var det $234$ elever med gjennomsnittskarakter $3,42$ . Skal vi finne gjennomsnittskarakteren for begge årene under ett, kan vi ikke bare ta gjennomsnittet av de to gjennomsnittene, fordi det var ulikt antall elever de to årene. Vi må i stedet regne ut et vektet gjennomsnitt, der hvert års gjennomsnitt vektes med antall elever det året.

Summen av alle karakterpoeng det første året var $564$ (fra deloppgave b). Summen av alle karakterpoeng det andre året finner vi ved å multiplisere gjennomsnittet med antall elever:

234 \cdot 3,42 = 800,28

Det vektede gjennomsnittet for de to årene samlet er da summen av alle karakterpoengene delt på totalt antall elever begge årene:

{\overline{x}}_{vektet} = \frac{564 + 800,28}{181 + 234} = \frac{1364,28}{415} \approx 3,29

Legg merke til at dette ikke er det samme som å ta det enkle gjennomsnittet av de to årenes gjennomsnitt:

\frac{3,12 + 3,42}{2} \approx 3,27 \neq 3,29

Forskjellen skyldes at det andre året (med høyere gjennomsnitt) hadde flere elever ( $234$ mot $181$ ) og derfor skal telle relativt mer i det samlede gjennomsnittet. Det er dette den vektede beregningen tar hensyn til.

Gjennomsnittskarakteren for de to årene sett under ett var $3,29$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Temaer: Statistikk, Diagram, Sentralmål
Egen side: Åpne oppgave 2-4 for seg selv

Oppgave 2-5Solsystemmodell med standardform

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Solsystemet vårt består blant annet av Sola, de åtte planetene som går i baner rundt Sola, og månene som går i baner rundt planetene.

I denne oppgaven skal vi se på en modell av solsystemet. 1 cm i modellen tilsvarer $10^{9} c m$ i virkeligheten.

Kalkulator

Jordas diameter er i virkeligheten ca 12 740 km. Hvor mange cm er Jordas diameter i modellen vår?

Kalkulator

I modellen har Sola en diameter på 1,39 m. Hvor mange km er Sola sin diameter i virkeligheten? Skriv svaret på standardform.

Fasit

$1,274 cm$

$1,39 \cdot 10^{6} km$

LøsningsforslagKI-generert

Jordas diameter i virkeligheten er $12 740 km$ . Vi regner først om til cm. Siden $1 km = 100 000 cm = 10^{5} cm$ :

12 740 km = 12 740 \cdot 10^{5} cm = 1,274 \cdot 10^{9} cm

I modellen tilsvarer $10^{9} cm$ i virkeligheten $1 cm$ i modellen, så vi deler på $10^{9}$ :

\frac{1,274 \cdot 10^{9}}{10^{9}} = 1,274 cm

$1,274 cm$

Solas diameter i modellen er $1,39 m = 139 cm$ . Siden $1 cm$ i modellen tilsvarer $10^{9} cm$ i virkeligheten, ganger vi med $10^{9}$ for å finne den virkelige diameteren:

139 \cdot 10^{9} = 1,39 \cdot 10^{11} cm

Vi regner om til km ved å dele på $10^{5}$ (siden $1 km = 10^{5} cm$ ):

\frac{1,39 \cdot 10^{11}}{10^{5}} = 1,39 \cdot 10^{6} km

$1,39 \cdot 10^{6} km$

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Temaer: Standardform, Måleenheter, Potenser
Egen side: Åpne oppgave 2-5 for seg selv

Oppgave 2-6Snorres og farfars bankkontoer

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Baby med sparegriser

Da Snorre ble født, satte mormor inn penger på en ny bankkonto. Funksjonen $f$ gitt ved

f (x) = 18 000 \cdot {1,0425}^{x}

viser hvor mye penger det er på kontoen etter $x år$ .

Kalkulator

1) Hvor mye penger satte mormor inn på kontoen? Hvor stor er den årlige renten?

Hvor mye penger er det på kontoen etter 18 år?

Krever PC

Hvor mange år vil det gå før beløpet på kontoen passerer 30 000 kroner?

Farfar opprettet også en konto da Snorre ble født. Han satte inn 10 000 kroner på kontoen. Etter 5 år stod det 11 592,70 kroner på kontoen.

Kalkulator

Hvor stor er den årlige renten på denne kontoen?

Krever PC

Etter hvor mange år vil beløpene på de to kontoene til sammen passere 50 000 kroner?

Fasit

1) $18 000 kr, 4,25 %$

$f (18) \approx 38 075 kr$

$13 år$

$3 %$

$16 år$

LøsningsforslagKI-generert

Funksjonen er gitt ved

f (x) = 18 000 \cdot {1,0425}^{x}

1) Uttrykket har formen $f (x) = a \cdot b^{x}$ , der $a$ er startverdien og $b$ er vekstfaktoren.

Startbeløpet er $a = 18 000$ , altså mormor satte inn $18 000 kr$ .

Vekstfaktoren er $b = 1,0425$ , som gir en årlig rente på

1,0425 - 1 = 0,0425 = 4,25 %

2) Beløpet etter 18 år finner vi ved å sette $x = 18$ inn i funksjonsuttrykket:

f (18) = 18 000 \cdot {1,0425}^{18} \approx 38 075 kr

Etter 18 år er det altså om lag $38 075 kr$ på kontoen.

Vi skal finne $x$ slik at $f (x) > 30 000$ . Vi løser likningen $f (x) = 30 000$ :

18 000 \cdot {1,0425}^{x} = 30 000

{1,0425}^{x} = \frac{30 000}{18 000} = \frac{5}{3}

Vi tar logaritmen på begge sider:

x = \frac{\lg (\frac{5}{3})}{\lg (1,0425)} \approx 12,27

Siden $x \approx 12,27$ betyr det at beløpet passerer $30 000 kr$ i løpet av det 13. året. Vi sjekker: $f (12) \approx 29 661 kr$ (under grensen) og $f (13) \approx 30 922 kr$ (over grensen).

Det vil altså gå $13 år$ før beløpet på kontoen passerer $30 000 kr$ .

Farfars konto vokser eksponentielt fra $10 000 kr$ til $11 592,70 kr$ på 5 år, altså

10 000 \cdot r^{5} = 11 592,70

der $r$ er vekstfaktoren. Vi løser med hensyn på $r$ :

r^{5} = \frac{11 592,70}{10 000} = 1,159270

r = {1,159270}^{\frac{1}{5}} \approx 1,03

Vekstfaktoren $r \approx 1,03$ tilsvarer en årlig rente på

1,03 - 1 = 0,03 = 3 %

Den årlige renten på farfars konto er $3 %$ .

Farfars konto kan beskrives med funksjonen $g (x) = 10 000 \cdot {1,03}^{x}$ , og summen av de to kontoene er

s (x) = f (x) + g (x) = 18 000 \cdot {1,0425}^{x} + 10 000 \cdot {1,03}^{x}

Vi bruker GeoGebra til å plotte $s (x)$ sammen med linja $y = 50 000$ og finner skjæringspunktet:

Skjæringspunkt mellom summen av kontoene og grensen 50 000 kroner

GeoGebra gir skjæringspunktet $x \approx 15,43$ , som stemmer med numerisk kontroll i Python.

Siden $x \approx 15,43$ betyr det at summen av kontoene passerer $50 000 kr$ i løpet av det 16. året.

Det vil gå $16 år$ før beløpene på de to kontoene til sammen passerer $50 000 kr$ .

Oppgavedata

Delt med: 2P-Y, 2P
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Temaer: Eksponentialfunksjon, Sparing, Vekstfaktor
Egen side: Åpne oppgave 2-6 for seg selv

Oppgave 2-7-IVerdensrekord 500 m skøyter og regresjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Skøyteløper

Utviklingen av verdensrekorden for 500 meter på skøyter for herrer er gjengitt i tabellen nedenfor.

År	1990	1992	1994	1996	1998	2001	2005	2007
Rekord i sekund	36,45	36,41	35,76	35,39	34,82	34,32	34,30	34,03

La $x$ være antall år etter 1990 og $y$ rekorden i sekund.

For hånd

Framstill opplysningene fra tabellen i et koordinatsystem.

Krever PC

Bruk regresjon til å finne en lineær funksjon som kan være modell for sammenhengen mellom rekorden og året den er satt. Tegn funksjonen i det samme koordinatsystemet som du benyttet i a).

Kalkulator + svaret på tidligere oppgave

Benytt funksjonen til å beregne hva verdensrekorden vil være i år 2010 og i år 2090 dersom modellen gjelder.

For hånd

Kommenter svarene i c).

Fasit

Punktplott, se figur.

$f (x) = - 0,152 x + 36,38$

2010: $f (20) \approx 33,34 s$ . 2090: $f (100) \approx 21,18 s$

Modellen holder trolig for 2010, men er urealistisk for 2090.

LøsningsforslagKI-generert

a og b

Vi lar $x$ være antall år etter 1990 og $y$ være rekorden i sekund. Punktene fra tabellen blir da

(0; 36,45), (2; 36,41), (4; 35,76), (6; 35,39), (8; 34,82), (11; 34,32), (15; 34,30), (17; 34,03)

Vi legger punktene inn i GeoGebra og bruker lineær regresjon. Dette gir regresjonsmodellen

f (x) = - 0,152062 x + 36,3825 \approx - 0,152 x + 36,38

Punktene og regresjonslinjen $f$ er tegnet i samme koordinatsystem:

Punktplott og lineær regresjon for verdensrekorden på 500 m skøyter

År 2010 tilsvarer $x = 20$ , og år 2090 tilsvarer $x = 100$ . Vi setter inn i regresjonsfunksjonen $f$ :

f (20) = - 0,152062 \cdot 20 + 36,3825 \approx 33,34 s

f (100) = - 0,152062 \cdot 100 + 36,3825 \approx 21,18 s

Ifølge modellen vil verdensrekorden være omtrent $33,34 sekund i 2010$ og omtrent $21,18 sekund i 2090$ .

Verdien for 2010 er rimelig — den faktiske verdensrekorden i 2010 lå på rundt $34 s$ , altså nær det modellen forutsier.

Verdien for 2090 er derimot fysisk urealistisk. En rekord på $21,18 s$ på $500 m$ tilsvarer en gjennomsnittsfart på over $85 k m / t$ , noe som ikke er oppnåelig for en skøyteløper. Grunnen er at en lineær modell synker jevnt og uten grense, mens den virkelige rekordutviklingen flater ut mot en fysisk øvre grense for hvor fort et menneske kan løpe på skøyter. Dersom modellen fikk fortsette enda lenger fram i tid, ville den til og med gi negative (meningsløse) tider.

Konklusjonen er at den lineære modellen kun er pålitelig innenfor eller like i nærheten av det tidsintervallet dataene er hentet fra, og at ekstrapolering langt fram i tid (som til 2090) gir urealistiske resultater.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Temaer: Regresjon, Lineære funksjoner, Modellering, Graftolkning
Egen side: Åpne oppgave 2-7-I for seg selv

Oppgave 2-7-IIArmhevinger og klassedelt statistikk

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Person som tar armhevinger

Nedenfor ser du resultatene fra en test der 30 gutter fra Vg1 skulle ta flest mulig armhevinger («push ups»).

32	16	3	12	24	12	30	60	41	16
58	12	43	7	5	2	19	13	16	52
4	25	11	22	36	39	24	34	4	69

Kalkulator

Lag en tabell der du grupperer materialet med en klassebredde på 10.

Kalkulator

Framstill datamaterialet i et diagram.

Kalkulator

Finn gjennomsnittet i det klassedelte materialet.

Kalkulator

Hvor mange armhevinger må Åge minst ha klart for at han skal være blant den beste fjerdedelen?

Fasit

Se grupperingstabell i løsningsforslaget.

Se søylediagram i løsningsforslaget.

$\overline{x} \approx 25,2 armhevinger$

$minst 37 armhevinger$

LøsningsforslagKI-generert

Vi teller opp hvor mange av de 30 guttene som havner i hver klasse med bredde $10$ (klassene $0 – 9$ , $10 – 19$ , osv.). I regnearket brukes formelen ANTALL.HVIS.SETT til å telle antall rådata-verdier som ligger innenfor hver klassegrense.

Klasse	Frekvens
$0$ – $9$	$6$
$10$ – $19$	$9$
$20$ – $29$	$4$
$30$ – $39$	$5$
$40$ – $49$	$2$
$50$ – $59$	$2$
$60$ – $69$	$2$
Sum	$𝟑𝟎$

Verdier:

Regneark armhevinger – frekvenstabell og kvartil, verdier

Formler:

Regneark armhevinger – frekvenstabell og kvartil, formler

Det klassedelte materialet framstilles i et søylediagram, med klassene på den vannrette aksen og frekvensen (antall gutter) på den loddrette aksen.

Søylediagram over armhevinger gruppert i klasser

For å finne gjennomsnittet i det klassedelte materialet bruker vi klassemidtpunktet $x_{i}$ (midt i hver klasse) som representant for alle verdiene i klassen, og multipliserer med frekvensen $f_{i}$ :

\overline{x} = \frac{\sum x_{i} \cdot f_{i}}{\sum f_{i}}

Klasse	Frekvens $f_{i}$	Midtpunkt $x_{i}$	$x_{i} \cdot f_{i}$
$0$ – $9$	$6$	$4,5$	$27$
$10$ – $19$	$9$	$14,5$	$130,5$
$20$ – $29$	$4$	$24,5$	$98$
$30$ – $39$	$5$	$34,5$	$172,5$
$40$ – $49$	$2$	$44,5$	$89$
$50$ – $59$	$2$	$54,5$	$109$
$60$ – $69$	$2$	$64,5$	$129$
Sum	$𝟑𝟎$		$𝟕𝟓𝟓$

\overline{x} = \frac{755}{30} \approx 25,2

Se regnearket i a) — samme tabell gir gjennomsnittet direkte som $D 14 / B 14$ .

Gjennomsnittet i det klassedelte materialet er omtrent $25,2$ armhevinger.

Regner vi i stedet det eksakte gjennomsnittet direkte fra de $30$ rådataene, får vi $\frac{741}{30} = 24,7$ armhevinger. Avviket mellom $25,2$ og $24,7$ skyldes at klassemidtpunktene bare er en tilnærming til de faktiske verdiene i hver klasse.

Den beste fjerdedelen av $30$ gutter er de $\frac{30}{4} = 7,5$ som klarte flest armhevinger. Vi teller oss inn fra toppen av det klassedelte materialet i tabellen fra a):

Klasse	Frekvens	Kumulativt fra toppen
$60$ – $69$	$2$	$2$
$50$ – $59$	$2$	$4$
$40$ – $49$	$2$	$6$
$30$ – $39$	$5$	$11$

Etter klassene $60$ – $69$ , $50$ – $59$ og $40$ – $49$ har vi funnet $6$ gutter. Vi mangler dermed $7,5 - 6 = 1,5$ gutter, som må hentes fra klassen $30$ – $39$ (som inneholder $5$ gutter). Vi antar at guttene i denne klassen er jevnt fordelt utover klassebredden, og regner oss $1,5$ av $5$ gutter ned fra toppen ( $40$ ) av klassen:

40 - \frac{1,5}{5} \cdot 10 = 40 - 3 = 37

Som en kontroll kan vi sortere rådataene fra a) etter størrelse: de ti beste er $69, 60, 58, 52, 43, 41, 39, 36, 34, 32$ . Den $8.$ beste av guttene klarte $36$ armhevinger, altså svært nær det interpolerte anslaget på $37$ .

Åge må ha klart minst omtrent $37$ armhevinger for å være blant den beste fjerdedelen.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Temaer: Statistikk, Diagram, Sentralmål
Egen side: Åpne oppgave 2-7-II for seg selv

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Del 1uten hjelpemidler · 2 timer · 2 oppgaver

Oppgave 1-1Standardform, potenser og sannsynlighet

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-2Skattesystem med lineær funksjon

Forstå oppgaven med en KI

Del 2alle hjelpemidler · 3 timer · 6 oppgaver

Oppgave 2-3Energi fra vannfall og Cola

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-4Karakterfordeling og vektet gjennomsnitt

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-5Solsystemmodell med standardform

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-6Snorres og farfars bankkontoer

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-7-IVerdensrekord 500 m skøyter og regresjon

a og b

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-7-IIArmhevinger og klassedelt statistikk

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Del 1uten hjelpemidler · 2 timer · 2 oppgaver

Oppgave 1-1·Standardform, potenser og sannsynlighet

Oppgave 1-2·Skattesystem med lineær funksjon

Del 2alle hjelpemidler · 3 timer · 6 oppgaver

Oppgave 2-3·Energi fra vannfall og Cola

Oppgave 2-4·Karakterfordeling og vektet gjennomsnitt

Oppgave 2-5·Solsystemmodell med standardform

Oppgave 2-6·Snorres og farfars bankkontoer

Oppgave 2-7-I·Verdensrekord 500 m skøyter og regresjon

a og b

Oppgave 2-7-II·Armhevinger og klassedelt statistikk

Temaer

Oppgave 1-1Standardform, potenser og sannsynlighet

Oppgave 1-2Skattesystem med lineær funksjon

Oppgave 2-3Energi fra vannfall og Cola

Oppgave 2-4Karakterfordeling og vektet gjennomsnitt

Oppgave 2-5Solsystemmodell med standardform

Oppgave 2-6Snorres og farfars bankkontoer

Oppgave 2-7-IVerdensrekord 500 m skøyter og regresjon

Oppgave 2-7-IIArmhevinger og klassedelt statistikk