1T Vår 2020

Vi må ha samme tierpotens i telleren før vi kan legge sammen leddene. Vi skriver $\mathrm{0,4}\cdot {10}^{-6}$ om til $4\cdot {10}^{-7}$:

Vi skriver $\mathrm{0,005}$ på standardform, $5\cdot {10}^{-3}$, og deler tallene for seg og tierpotensene for seg:

Svaret er allerede på standardform siden $\mathrm{1,9}$ ligger mellom $1$ og $10$.

Svar: $\underline{\underline{\mathrm{1,9}\cdot {10}^{-4}}}$

Vi leser av to punkter på linjen fra figuren: $(2,6)$ og $(4,0)$.

Stigningstallet finner vi ved å se hvor mye $y$ endrer seg delt på hvor mye $x$ endrer seg mellom de to punktene:

Linja har da likningen $y=-3x+b$. Vi setter inn punktet $(4,0)$ for å finne $b$:

Svar: Likningen for linja er $\underline{\underline{y=-3x+12}}$

Vi løser likningssystemet med addisjonsmetoden. Vi ganger den første likningen med $2$, slik at $y$-leddene blir motsatte tall:

Vi legger sammen de to likningene, slik at $y$-leddene faller bort:

Vi setter $x=-\frac{1}{2}$ inn i den første likningen for å finne $y$:

Kontroll i den andre likningen: $8\cdot (-\frac{1}{2})-2\cdot 4=-4-8=-12$ ✓

Svar: $\underline{\underline{x=-{\displaystyle \frac{1}{2}},y=4}}$

Vi faktoriserer nevneren i det andre bruddet, $x^2-5x+6$. Vi leter etter to tall som har produkt $6$ og sum $-5$: det er $-2$ og $-3$.

Uttrykket blir da

Fellesnevneren er $(x-2)(x-3)$. Vi utvider det første bruddet med $(x-3)$:

Vi regner ut telleren:

Uttrykket blir da

Vi forkorter med $(x-2)$, så lenge $x\ne 2$:

Svar: $\underline{\underline{{\displaystyle \frac{1}{x-3}}}}$, forutsatt $x\ne 2$ og $x\ne 3$

Vi deler først begge sider av ulikheten på $2$:

Vi kjenner igjen uttrykket til venstre som et fullstendig kvadrat, $x^2+6x+9={(x+3)}^2$:

Et kvadrat er aldri negativt, så ${(x+3)}^2\ge 0$ for alle verdier av $x$. Ulikheten ${(x+3)}^2\le 0$ er derfor bare oppfylt når ${(x+3)}^2=0$, altså når

Svar: Ulikheten har kun løsningen $\underline{\underline{x=-3}}$

Vi faktoriserer hvert av tallene under rottegnet slik at $5$ blir en felles faktor, og bruker at $\sqrt{a\cdot b}=\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}$:

Vi setter dette inn i det opprinnelige uttrykket:

Vi forkorter bort $\sqrt{5}$ i teller og nevner:

Svaret er

Vi skriver om alle grunntallene til potenser av $2$ og $3$: $9=3^2$, $8=2^3$ og $27=3^3$.

Uttrykket blir da

Vi samler alle potensene med grunntall $3$ for seg, og bruker at $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$:

Svaret er

Vi skriver hvert tall som en tierpotens, og bruker at $\lg \left({10}^k\right)=k$:

Vi legger sammen alle leddene:

Svaret er

a)

Vi bruker definisjonen av tierlogaritmen: $\lg a=b\iff a={10}^b$. Her er $a={\displaystyle \frac{3x+3}{3}}$ og $b=3$, så

$$\frac{3x+3}{3}={10}^3=1000$$

Vi multipliserer begge sider med $3$:

$$3x+3=3000$$

$$3x=2997$$

$$x=999$$

Vi sjekker at svaret gir et positivt argument i logaritmen (nødvendig for at $\lg$ skal være definert): ${\displaystyle \frac{3\cdot 999+3}{3}}=1000>0$. Dette stemmer.

Svaret er $\underline{\underline{x=999}}$.

b)

Vi bruker potensregelen $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$ på venstre side:

$$3^{x^2}\cdot 3^{-4x}=3^{x^2-4x}$$

Høyre side kan skrives som en potens av $3$: $1=3^0$. Likningen blir dermed

$$3^{x^2-4x}=3^0$$

Siden begge sider har samme grunntall, må eksponentene være like:

$$x^2-4x=0$$

Vi faktoriserer ut $x$:

$$x(x-4)=0$$

Et produkt er null når minst én av faktorene er null:

$$x=0\vee x-4=0\Rightarrow x=4$$

Svaret er $\underline{\underline{x=0\vee x=4}}$.

Det store kvadratet har sidelengde $a$. Det er delt inn i fire deler av en vannrett og en loddrett linje:

• Et lite kvadrat øverst til høyre med sidelengde $b$ (arealet $b^2$)
• To like rektangler (øverst til venstre og nederst til høyre) med sidene $b$ og $(a-b)$ (arealet $b(a-b)$ hver)
• Det skraverte kvadratet nederst til venstre med sidelengde $(a-b)$, siden bredden er $a-b$ og høyden er $a-b$

Måte 1: Direkte utregning av det skraverte kvadratet

Det skraverte kvadratet har sidelengde $a-b$, så arealet er

Måte 2: Totalarealet minus de uskraverte delene

Det store kvadratet har areal $a^2$. Vi trekker fra de to rektanglene og det lille kvadratet:

Vi ganger ut parentesen:

Konklusjon

Siden begge metodene regner ut det samme arealet, må uttrykkene være like:

Figuren illustrerer altså andre kvadratsetning.

Siden $\angle B={90}^{\circ }$, er $AC$ hypotenusen i den rettvinklede trekanten, mens $AB$ og $BC$ er katetene.

Vi finner $\angle A$ ved å bruke at $\tan \angle A=1$:

Vinkelsummen i trekanten er ${180}^{\circ }$, så

Trekanten er dermed likebeint og rettvinklet, med $\angle A=\angle C={45}^{\circ }$. Skissen under viser trekanten:

Siden $\angle A=\angle C$, er sidene motstående disse vinklene like lange, altså $BC=AB$.

Vi bruker Pytagoras’ setning på trekanten:

Siden $AB=BC$, kan vi sette $AB=BC=x$:

Dermed er

Koden består av tre tall, og hvert tall kan være et av de $10$ tallene $0,1,2,\dots ,9$. Det gir totalt

mulige koder.

Koder som begynner med $24$: Da er de to første tallene bestemt, mens det tredje tallet kan være hva som helst av de $10$ tallene. Det gir

koder som begynner med $24$.

Koder som begynner med $42$: På samme måte gir dette

koder som begynner med $42$.

Disse to hendelsene kan ikke inntreffe samtidig (koden kan ikke begynne med $24$ og $42$ på én gang), så vi kan legge sammen antall gunstige koder:

Sannsynligheten blir da

a)

Trekant $ABC$ er likesidet, så alle sidene er like lange og alle vinklene er ${60}^{\circ }$. Vi kaller sidelengden $s$, altså $AB=BC=CA=s$.

Vi trekker en høyde fra $C$ ned til midtpunktet $D$ på $AB$. Siden trekanten er likesidet, deler høyden både vinkelen i $C$ og siden $AB$ nøyaktig i to, slik at

$$\angle ACD={30}^{\circ }AD=\frac{s}{2}$$

Trekant $ACD$ er rettvinklet, med rett vinkel i $D$. Vinkelsummen gir $\angle A+\angle ACD={90}^{\circ }$, og siden $\angle A={60}^{\circ }$, må $\angle ACD={30}^{\circ }$. I denne trekanten er $AC=s$ hypotenusen, mens $AD=\frac{s}{2}$ er kateten motstående vinkelen $\angle ACD={30}^{\circ }$:

$$\sin {30}^{\circ }=\frac{\text{motstående katet}}{\text{hypotenus}}=\frac{AD}{AC}=\frac{\frac{s}{2}}{s}=\frac{1}{2}$$

$$\underline{\underline{\sin {30}^{\circ }=\frac{1}{2}}}$$

b)

I trekant $PQR$ er $PQ=8\mathrm{cm}$, $PR=5\mathrm{cm}$ og $\angle P={60}^{\circ }$. Vi skal finne siden $QR$, som ligger rett overfor den kjente vinkelen $P$. Da bruker vi cosinussetningen:

$$Q{R}^2=P{Q}^2+P{R}^2-2\cdot PQ\cdot PR\cdot \cos P$$

Vi setter inn tallene:

$$Q{R}^2=8^2+5^2-2\cdot 8\cdot 5\cdot \cos {60}^{\circ }$$

$$Q{R}^2=64+25-80\cdot \frac{1}{2}$$

$$Q{R}^2=89-40=49$$

$$QR=\sqrt{49}=7$$

$$\underline{\underline{QR=7\mathrm{cm}}}$$

Vi ser på formen til hver av de fire funksjonene $p$, $q$, $r$ og $s$, og resonnerer oss fram til hvilken type funksjon den deriverte må være.

Funksjonen $p$ er en tredjegradsfunksjon (S-formet kurve). Den har et toppunkt (lokalt maksimum) for en negativ $x$-verdi og et bunnpunkt (lokalt minimum) for en $x$-verdi mellom $1$ og $2$. I disse punktene er tangenten vannrett, så $p^{\prime }$ må være null nøyaktig der. Mellom toppunktet og bunnpunktet er $p$ avtagende, så $p^{\prime }$ er negativ der, mens $p^{\prime }$ er positiv utenfor. Den deriverte av en tredjegradsfunksjon er en andregradsfunksjon (parabel). Graf 2 er en oppadåpnende parabel som er negativ mellom de to nullpunktene sine og positiv utenfor — akkurat der $p$ har toppunkt og bunnpunkt. Dette stemmer med $p^{\prime }$.

Funksjonen $q$ er en rett linje, altså en førstegradsfunksjon med konstant stigningstall. Den deriverte av en lineær funksjon er derfor en konstant funksjon (en vannrett linje). Graf 4 er den eneste vannrette linjen blant alternativene, så dette må være $q^{\prime }$.

Funksjonen $r$ er en parabel med bunnpunkt i origo, altså en andregradsfunksjon av typen $r(x)=a{x}^2$. Den deriverte av en andregradsfunksjon er en lineær funksjon som går gjennom origo (siden $r^{\prime }(0)=0$, som er stigningstallet til tangenten i bunnpunktet). Graf 5 er en rett linje gjennom origo, så dette er $r^{\prime }$.

Funksjonen $s$ er en avtagende eksponentialfunksjon, $s(x)=a\cdot b^x$ med $0<b<1$. Den deriverte av en eksponentialfunksjon er igjen en eksponentialfunksjon, men siden $s$ hele tiden er avtagende, må $s^{\prime }(x)$ være negativ for alle $x$ — grafen til $s^{\prime }$ ligger altså helt under $x$-aksen, og nærmer seg $0$ når $x$ blir stor. Graf 3 viser nettopp en slik kurve: den ligger under $x$-aksen og flater ut mot $0$ når $x$ øker.

Konklusjon:

Siden $f$ er en tredjegradsfunksjon, er den deriverte $f^{\prime }$ en andregradsfunksjon, altså en parabel. Vi bruker opplysningene om terrassepunktet og de to tangentene til å finne hvordan denne parabelen ser ut.

Terrassepunktet. Grafen til $f$ har et terrassepunkt i $(2,8)$. I et terrassepunkt er tangenten vannrett, og grafen krysser ikke fra stigende til synkende (eller omvendt) — den flater bare ut et øyeblikk. Det betyr at

og at $x=2$ er et dobbelt nullpunkt for $f^{\prime }$ (parabelen tangerer $x$-aksen i $x=2$ i stedet for å krysse den). Dermed kan vi skrive

for en konstant $a$.

Tangenten i $(1,7)$. Tangentlikningen $y=3x+4$ forteller at stigningstallet til tangenten — og dermed den deriverte — i $x=1$ er $3$:

Vi setter dette inn i uttrykket vårt:

Kontroll med tangenten i $(4,16)$. Tangentlikningen $y=12x-32$ gir stigningstall $12$ i $x=4$, altså $f^{\prime }(4)=12$. Vi sjekker at dette stemmer med uttrykket vi fant:

Dette stemmer, så

Skisse av grafen. $f^{\prime }$ er en oppadåpnende parabel med bunnpunkt i $(2,0)$, som ligger på eller over $x$-aksen for alle $x$ (siden $f^{\prime }(x)\ge 0$ alltid — dette stemmer med at $f$ hele tiden er ikke-avtagende, med et terrassepunkt i $x=2$ i stedet for et lokalt ekstremalpunkt). Grafen går gjennom $(1,3)$ og $(4,12)$, i tråd med opplysningene om tangentene.

a)

Vi tegner grafen til $T(x)=470\cdot {\mathrm{0,95}}^x+30$ for $x\in [0,120]$.

Grafen er avtagende og krummer oppover (konveks): temperaturen faller raskt i starten og flater etter hvert ut mot den vannrette asymptoten $y=30$, som er romtemperaturen metallstykket til slutt nærmer seg.

b)

Temperaturen i det metallet blir tatt ut av ovnen er temperaturen ved $x=0$:

$$T(0)=470\cdot {\mathrm{0,95}}^0+30=470\cdot 1+30=500$$

Temperaturen i metallstykket er $500{}^{\circ }\text{C}$ når smeden tar det ut av ovnen.

$\underline{\underline{T(0)=500{}^{\circ }\text{C}}}$

c)

Metallet kan bearbeides så lenge $T(x)\ge 150$. Vi finner tidspunktet der temperaturen er nøyaktig $150{}^{\circ }\text{C}$:

$$470\cdot {\mathrm{0,95}}^x+30=150$$

$$470\cdot {\mathrm{0,95}}^x=120$$

$${\mathrm{0,95}}^x=\frac{120}{470}=\frac{12}{47}\approx \mathrm{0,2553}$$

Vi tar $\ln$ på begge sider og løser for $x$ med kalkulator:

$$x=\frac{\ln \left(\frac{12}{47}\right)}{\ln (\mathrm{0,95})}\approx \frac{-\mathrm{1,3661}}{-\mathrm{0,0513}}\approx \mathrm{26,6}$$

Siden $T$ er avtagende, er $T(x)\ge 150$ for $x\in [0,\mathrm{26,6}]$. Smeden har altså omtrent $\mathrm{26,6}$ minutter (ca. $26$ min og $37$ sek) på seg til å bearbeide metallstykket etter at han har tatt det ut av ovnen.

$\underline{\underline{\text{Smeden har ca. }\mathrm{26,6}\text{ minutter på seg}}}$

d)

A og B — verdien 5 minutter etter uttak.

$A$ er temperaturen $T(5)$, og $B$ er farten temperaturen avtar med ved $x=5$, altså tallverdien til $T^{\prime }(5)$.

$$A=T(5)=470\cdot {\mathrm{0,95}}^5+30\approx \mathrm{393,7}$$

Den deriverte av $T$ er $T^{\prime }(x)=470\cdot \ln (\mathrm{0,95})\cdot {\mathrm{0,95}}^x$. Vi setter inn $x=5$:

$$T^{\prime }(5)=470\cdot \ln (\mathrm{0,95})\cdot {\mathrm{0,95}}^5\approx -\mathrm{18,7}$$

Temperaturen avtar altså med om lag $\mathrm{18,7}{}^{\circ }\text{C}$ per minutt ved $x=5$, så $B\approx \mathrm{18,7}$.

$$\underline{\underline{A\approx 394,B\approx \mathrm{18,7}}}$$

C og D — tidspunktet der farten er $-\mathrm{7,4}{}^{\circ }\text{C}$ per minutt.

Vi finner $C$ ved å løse $T^{\prime }(x)=-\mathrm{7,4}$:

$$470\cdot \ln (\mathrm{0,95})\cdot {\mathrm{0,95}}^x=-\mathrm{7,4}$$

$${\mathrm{0,95}}^x=\frac{-\mathrm{7,4}}{470\cdot \ln (\mathrm{0,95})}\approx \mathrm{0,3070}$$

$$x=\frac{\ln (\mathrm{0,3070})}{\ln (\mathrm{0,95})}\approx \mathrm{23,0}$$

Så $C\approx 23$. Temperaturen på dette tidspunktet er

$$D=T(23)=470\cdot {\mathrm{0,95}}^{23}+30\approx \mathrm{174,5}$$

$$\underline{\underline{C\approx 23,D\approx 174}}$$

a)

Maskin A produserer dobbelt så mange hengelåser som maskin B. Av de 300 hengelåsene er derfor

$$\underset{\text{maskin A}}{\underbrace{200}}\text{og}\underset{\text{maskin B}}{\underbrace{100}}$$

Det er feil ved $5\%$ av hengelåsene fra maskin A:

$$\mathrm{0,05}\cdot 200=10\text{ feil fra maskin A}$$

Det er feil ved $2\%$ av hengelåsene fra maskin B:

$$\mathrm{0,02}\cdot 100=2\text{ feil fra maskin B}$$

Dette gir krysstabellen:

	Feil	OK	Totalt
Maskin A	10	190	200
Maskin B	2	98	100
Totalt	12	288	300

b)

Av totalt 300 hengelåser er det til sammen $10+2=12$ som har feil. Sannsynligheten for at en tilfeldig valgt hengelås har feil, er dermed

$$P(\text{feil})=\frac{12}{300}=\mathrm{0,04}$$

$\underline{\underline{P(\text{feil})=\mathrm{0,04}=4\%}}$

c)

Vi vet nå at hengelåsen har feil. Av de $12$ hengelåsene med feil kommer $10$ fra maskin A. Den betingede sannsynligheten for at hengelåsen er produsert av maskin A, gitt at den er feil, blir dermed

$$P(A|\text{feil})=\frac{10}{12}=\frac{5}{6}\approx \mathrm{0,833}$$

$\underline{\underline{P(A|\text{feil})={\displaystyle \frac{5}{6}}\approx \mathrm{83,3}\%}}$

Selv om maskin B har lavere feilprosent enn maskin A, er det fortsatt mest sannsynlig at en defekt hengelås kommer fra maskin A — rett og slett fordi maskin A produserer flest hengelåser totalt.

a)

Funksjonen er $f(x)=a{x}^3-bx-2$, og den deriverte er

$$f^{\prime }(x)=3a{x}^2-b$$

I et toppunkt er stigningstallet til tangenten lik null, så $f^{\prime }(2)=0$:

$$f^{\prime }(2)=3a\cdot 2^2-b=12a-b=0$$

Dette gir den første likningen $\underline{12a-b=0}$.

Siden grafen har toppunkt i $(2,6)$, betyr det at $f(2)=6$:

$$f(2)=a\cdot 2^3-b\cdot 2-2=8a-2b-2=6$$

Dette gir den andre likningen $\underline{8a-2b-2=6}$, som var det vi skulle vise.

b)

Vi løser likningssystemet

$$\begin{array}{cc}12a-b& =0\\ 8a-2b-2& =6\end{array}$$

Fra den første likningen får vi $b=12a$. Vi setter dette inn i den andre likningen:

$$8a-2\cdot 12a-2=6$$

$$8a-24a-2=6$$

$$-16a=8$$

$$a=-\frac{1}{2}$$

Setter vi $a=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$ inn i $b=12a$, finner vi

$$b=12\cdot (-\frac{1}{2})=-6$$

Kontroll: Med $a=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$ og $b=-6$ blir $f(x)=-{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^3+6x-2$, som gir $f^{\prime }(x)=-{\displaystyle \frac{3}{2}}{x}^2+6$. Da er $f^{\prime }(2)=-6+6=0$ og $f(2)=-4+12-2=6$, som stemmer med toppunktet $(2,6)$.

$\underline{\underline{a=-{\displaystyle \frac{1}{2}},b=-6}}$

Vi bruker standard navn på sidene: $a=BC$ (motstående $A$), $b=AC$ (motstående $B$) og $c=AB$ (motstående $C$), altså

Cosinussetningen for å finne $\cos A$:

Vi regner ut kvadratene:

Setter vi inn:

Siden $\sqrt{50}=5\sqrt{2}$, blir dette

$\underline{\underline{\cos A={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}}}$ (som svarer til $A=45°$)

Cosinussetningen for å finne $\cos C$, deretter $\sin C$:

Siden $\sqrt{20}=2\sqrt{5}$, blir dette

Ved å bruke ${\sin }^{2}C+{\cos }^{2}C=1$ finner vi $\sin C$ (positiv, siden $C$ er en vinkel i en trekant):

$\underline{\underline{\sin C={\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{5}}}}$