1T Vår 2014 · Matematikkoppgaver

Oppgave 1-1Multiplikasjon av tall på standardform med tierpotenser

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Regn ut og skriv svaret på standardform:

2,5 \cdot 10^{15} \cdot 3,0 \cdot 10^{- 5}

Fasit

$7,5 \cdot 10^{10}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi multipliserer tallfaktorene for seg og tierpotensene for seg:

2,5 \cdot 10^{15} \cdot 3,0 \cdot 10^{- 5} = (2,5 \cdot 3,0) \cdot 10^{15 + (- 5)} = 7,5 \cdot 10^{10}

Siden $1 \leq 7,5 < 10$ , står svaret allerede på standardform.

Svar: $7,5 \cdot 10^{10}$

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 1
Temaer: Standardform, Potenser
Egen side: Åpne oppgave 1-1 for seg selv

Oppgave 1-2Forenkling av rot- og potensuttrykk

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Regn ut og skriv svaret så enkelt som mulig:

9^{\frac{1}{2}} \cdot 6^{0} \cdot 4^{- 1} \cdot \sqrt[3]{8^{2}}

Fasit

$3$

LøsningsforslagKI-generert

Vi forenkler hver faktor for seg ved hjelp av potensregler.

9^{\frac{1}{2}} = \sqrt{9} = 3

6^{0} = 1

4^{- 1} = \frac{1}{4}

\sqrt[3]{8^{2}} = 8^{\frac{2}{3}} = {(8^{\frac{1}{3}})}^{2} = 2^{2} = 4

Setter vi sammen faktorene:

3 \cdot 1 \cdot \frac{1}{4} \cdot 4 = 3

Svar: $3$

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Potenser, Røtter
Egen side: Åpne oppgave 1-2 for seg selv

Oppgave 1-3Eksponentlikning med toerpotenser

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Løs likningen:

2^{2 - x} \cdot 2^{1 + 2 x} = 32

Fasit

$x = 2$

LøsningsforslagKI-generert

Venstresiden har samme grunntall i begge faktorene, så vi kan legge sammen eksponentene:

2^{2 - x} \cdot 2^{1 + 2 x} = 2^{(2 - x) + (1 + 2 x)} = 2^{3 + x}

Vi skriver også høyresiden som en potens med grunntall $2$ :

32 = 2^{5}

Likningen blir dermed

2^{3 + x} = 2^{5}

Siden grunntallene er like, må eksponentene være like:

3 + x = 5

x = 2

Svar: $x = 2$

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 1
Temaer: Eksponentiallikning, Potenser
Egen side: Åpne oppgave 1-3 for seg selv

Oppgave 1-4Fullstendig kvadrat med parameter c

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Bestem $c$ slik at uttrykket

x^{2} + 8 x + c

blir et fullstendig kvadrat.

Fasit

$c = 16$

LøsningsforslagKI-generert

Et fullstendig kvadrat på formen $x^{2} + 2 a x + a^{2} = {(x + a)}^{2}$ har et konstantledd som er kvadratet av halve koeffisienten foran $x$ .

Her er koeffisienten foran $x$ lik $8$ , så

a = \frac{8}{2} = 4

c = a^{2} = 4^{2} = 16

Vi kontrollerer:

x^{2} + 8 x + 16 = {(x + 4)}^{2}

Svar: $c = 16$

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 1
Temaer: Fullstendig kvadrat
Egen side: Åpne oppgave 1-4 for seg selv

Oppgave 1-5Lineært likningssystem med to ukjente

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Løs likningssystemet:

[\begin{matrix} 2 x - 3 y = - 7 \\ 3 x - y = 7 \end{matrix}]

Fasit

$x = 4, y = 5$

LøsningsforslagKI-generert

Vi løser likningssystemet

{\begin{matrix} 2 x - 3 y = - 7 \\ 3 x - y = 7 \end{matrix}

med addisjonsmetoden. Vi ganger den andre likningen med $3$ slik at $y$ -leddene får samme tallverdi:

3 \cdot (3 x - y) = 3 \cdot 7 \Rightarrow 9 x - 3 y = 21

Nå trekker vi den første likningen fra denne nye likningen, slik at $y$ forsvinner:

(9 x - 3 y) - (2 x - 3 y) = 21 - (- 7)

7 x = 28

x = 4

Vi setter $x = 4$ inn i den andre opprinnelige likningen for å finne $y$ :

3 \cdot 4 - y = 7

12 - y = 7

y = 5

Kontroll: $2 \cdot 4 - 3 \cdot 5 = 8 - 15 = - 7$ ✓

Svar: $x = 4, y = 5$

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 2
Temaer: Likningssystem
Egen side: Åpne oppgave 1-5 for seg selv

Oppgave 1-6Forenkling og addisjon av rasjonale brøkuttrykk

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Trekk sammen og skriv så enkelt som mulig:

\frac{6}{x - 3} - \frac{5 x + 15}{x^{2} - 9} + 1

Fasit

$\frac{x - 2}{x - 3}$ , for $x \neq \pm 3$

LøsningsforslagKI-generert

Vi legger merke til at $x^{2} - 9$ kan faktoriseres med konjugatsetningen:

x^{2} - 9 = (x - 3) (x + 3)

Fellesnevneren for alle tre leddene blir da $(x - 3) (x + 3)$ . Vi utvider de to første brøkene og skriver $1$ med samme nevner:

\frac{6}{x - 3} - \frac{5 x + 15}{x^{2} - 9} + 1 = \frac{6 (x + 3)}{(x - 3) (x + 3)} - \frac{5 x + 15}{(x - 3) (x + 3)} + \frac{(x - 3) (x + 3)}{(x - 3) (x + 3)}

Vi setter alt over én brøkstrek:

= \frac{6 (x + 3) - (5 x + 15) + (x - 3) (x + 3)}{(x - 3) (x + 3)}

Vi regner ut telleren ledd for ledd. Først $6 (x + 3) = 6 x + 18$ , og $(x - 3) (x + 3) = x^{2} - 9$ (konjugatsetningen igjen). Da blir telleren:

6 x + 18 - 5 x - 15 + x^{2} - 9 = x^{2} + x - 6

Telleren faktoriseres:

x^{2} + x - 6 = (x + 3) (x - 2)

(vi kontrollerer: $x \cdot (- 2) = - 6$ og $x + (- 2) \cdot 1$ … nullpunktene er $x = - 3$ og $x = 2$ , som gir $(x + 3) (x - 2)$ , og $3 \cdot (- 2) = - 6$ ✓)

Uttrykket blir dermed

\frac{(x + 3) (x - 2)}{(x - 3) (x + 3)}

Faktoren $(x + 3)$ forkortes bort (så lenge $x \neq - 3$ ), og vi står igjen med

\frac{x - 2}{x - 3}, x \neq - 3, x \neq 3

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Brøk, Faktorisering, Rasjonale funksjoner
Egen side: Åpne oppgave 1-6 for seg selv

Oppgave 1-7Søsken i klassen med venndiagram og betinget sannsynlighet

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

I en klasse er det 25 elever. 15 av elevene har eldre søsken. 18 av elevene har yngre søsken. 2 av elevene har ikke søsken.

Systematiser opplysningene ovenfor i et venndiagram.

Vi velger tilfeldig én elev fra klassen.

Bestem sannsynligheten for at eleven har eldre, men ikke yngre, søsken.

Vi velger tilfeldig én av elevene som har eldre søsken.

Bestem sannsynligheten for at eleven også har yngre søsken.

Fasit

Venndiagram med $5$ , $10$ , $8$ og $2$ i de fire feltene (se skisse)

$P = 0,2$

$P = \frac{2}{3} \approx 0,67$

LøsningsforslagKI-generert

Vi kaller mengden av elever med eldre søsken for $E$ , og mengden av elever med yngre søsken for $Y$ .

Det er $25$ elever i klassen, og $2$ av dem har verken eldre eller yngre søsken. Det betyr at $25 - 2 = 23$ elever har eldre søsken, yngre søsken, eller begge deler, altså $| E \cup Y | = 23$ .

Vi vet at $| E | = 15$ og $| Y | = 18$ . Siden

| E \cup Y | = | E | + | Y | - | E \cap Y |

kan vi finne hvor mange som har både eldre og yngre søsken:

| E \cap Y | = | E | + | Y | - | E \cup Y | = 15 + 18 - 23 = 10

Da finner vi resten av feltene i venndiagrammet:

Bare eldre søsken (ikke yngre): $15 - 10 = 5$
Bare yngre søsken (ikke eldre): $18 - 10 = 8$
Både eldre og yngre søsken: $10$
Verken eldre eller yngre søsken: $2$

Kontroll: $5 + 10 + 8 + 2 = 25$ ✓

Venndiagram med søsken i klassen

Vi skal finne sannsynligheten for at en tilfeldig valgt elev har eldre, men ikke yngre, søsken. Dette er feltet med $5$ elever i venndiagrammet.

P (eldre, ikke yngre) = \frac{5}{25} = 0,2

Nå skal vi kun se på elevene som har eldre søsken — det er $15$ elever, og de tilhører utvalgsrommet. Av disse har $10$ også yngre søsken (skjæringen $E \cap Y$ ).

P (yngre søsken | eldre søsken) = \frac{10}{15} = \frac{2}{3} \approx 0,67

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Sannsynlighet, Venndiagram, Betinget sannsynlighet
Egen side: Åpne oppgave 1-7 for seg selv

Oppgave 1-8Rettvinklet trekant med areal og trigonometriske ulikheter

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

I $Δ A B C$ er $A C = 10$ , $B C = 7$ og $∠ B = 90^{\circ}$ .

Lag en skisse, gjør beregninger, og avgjør om følgende påstander er riktige:

Arealet av trekanten er større enn $24,5$

\sin A > \cos A

Fasit

Riktig: $Arealet \approx 25,0 > 24,5$
Galt: $\sin A < \cos A$

LøsningsforslagKI-generert

Siden $∠ B = 90 °$ , er $A C$ hypotenusen i trekanten, mens $A B$ og $B C$ er katetene.

Skisse av trekant ABC

Vi finner den ukjente kateten $A B$ ved Pytagoras’ setning:

A B^{2} + B C^{2} = A C^{2}

A B^{2} = A C^{2} - B C^{2} = 10^{2} - 7^{2} = 100 - 49 = 51

A B = \sqrt{51} \approx 7,14

Påstand 1: Arealet er større enn $24,5$

Arealet av en rettvinklet trekant er $\frac{1}{2} \cdot grunnlinje \cdot høyde$ , der katetene $A B$ og $B C$ står vinkelrett på hverandre:

Areal = \frac{1}{2} \cdot A B \cdot B C = \frac{1}{2} \cdot 7,14 \cdot 7 \approx 25,0

Siden $25,0 > 24,5$ , er påstand 1 riktig.

Påstand 2: $\sin A > \cos A$

I den rettvinklede trekanten er $\sin A$ forholdet mellom motstående katet og hypotenusen, og $\cos A$ forholdet mellom hosliggende katet og hypotenusen. Sett fra vinkel $A$ er $B C$ motstående katet og $A B$ hosliggende katet:

\sin A = \frac{B C}{A C} = \frac{7}{10} = 0,7

\cos A = \frac{A B}{A C} = \frac{7,14}{10} \approx 0,714

Siden $0,7 < 0,714$ , er $\sin A < \cos A$ , og påstand 2 er gal.

(Dette stemmer med at $A B > B C$ , altså at vinkel $A$ er mindre enn vinkel $C$ , og fordi $A + C = 90 °$ må da $A < 45 °$ — noe som alltid gir $\sin A < \cos A$ .)

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Trigonometri, Rettvinklet trekant, Areal og omkrets, Pytagoras
Egen side: Åpne oppgave 1-8 for seg selv

Oppgave 1-9Andregradsfunksjon med nullpunkter og tangentlikning

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $f$ er gitt ved

f (x) = x^{2} + 2 x - 3

Bestem nullpunktene til $f$ ved regning.

Grafen til $f$ har en tangent med stigningstall 2. Bestem likningen til denne tangenten.

Tegn grafen til $f$ sammen med tangenten fra oppgave b).

Fasit

$x = - 3 og x = 1$

$y = 2 x - 3$

Se graf i løsningsforslaget

LøsningsforslagKI-generert

Nullpunktene finner vi ved å løse $f (x) = 0$ :

x^{2} + 2 x - 3 = 0

Vi faktoriserer venstresiden. Vi trenger to tall som ganget gir $- 3$ og adderes til $2$ : tallene $3$ og $- 1$ passer.

x^{2} + 2 x - 3 = (x + 3) (x - 1)

Da er $(x + 3) (x - 1) = 0$ når

x = - 3 eller x = 1

Vi deriverer $f$ for å finne stigningstallet til tangenten i et vilkårlig punkt:

f^{'} (x) = 2 x + 2

Vi skal finne punktet der stigningstallet er $2$ :

f^{'} (x) = 2 \Rightarrow 2 x + 2 = 2 \Rightarrow 2 x = 0 \Rightarrow x = 0

Vi finner $y$ -verdien i tangeringspunktet ved å sette $x = 0$ inn i $f$ :

f (0) = 0^{2} + 2 \cdot 0 - 3 = - 3

Tangeringspunktet er altså $(0, - 3)$ , og tangenten har stigningstall $2$ . Vi setter opp likningen for en rett linje $y = a x + b$ , der $a = 2$ og linjen går gjennom $(0, - 3)$ , så $b = - 3$ :

y = 2 x - 3

Vi tegner grafen til $f$ (parabel med bunnpunkt i $x = - \frac{2}{2} = - 1$ , der $f (- 1) = 1 - 2 - 3 = - 4$ , og nullpunkter i $x = - 3$ og $x = 1$ ) sammen med tangenten $y = 2 x - 3$ , som tangerer grafen i punktet $(0, - 3)$ :

Graf til f med tangent

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: Andregradsfunksjon, Nullpunkter, Derivasjon, Tangent
Egen side: Åpne oppgave 1-9 for seg selv

Oppgave 1-10Andregradsfunksjon med ett nullpunkt og konstantledd

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $f$ er gitt ved

f (x) = x^{2} + b x + c

Grafen til $f$ skjærer $y$ -aksen i punktet $(0, 4)$ og har ett nullpunkt.

Bestem $b$ og $c$ .

Fasit

$c = 4, b = 4 eller b = - 4$

LøsningsforslagKI-generert

Grafen til $f (x) = x^{2} + b x + c$ skjærer $y$ -aksen der $x = 0$ :

f (0) = 0^{2} + b \cdot 0 + c = c

Siden grafen skjærer $y$ -aksen i $(0,4)$ , må $c = 4$ .

Funksjonen har da uttrykket $f (x) = x^{2} + b x + 4$ .

Et andregradsuttrykk har ett nullpunkt når diskriminanten er lik null. Diskriminanten til $a x^{2} + b x + c$ er $b^{2} - 4 a c$ , her med $a = 1$ :

b^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 0

b^{2} = 16

b = 4 eller b = - 4

Altså er

c = 4, b = 4 eller b = - 4

(Dette gir enten $f (x) = x^{2} + 4 x + 4 = {(x + 2)}^{2}$ med nullpunkt $x = - 2$ , eller $f (x) = x^{2} - 4 x + 4 = {(x - 2)}^{2}$ med nullpunkt $x = 2$ .)

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Andregradsfunksjon, Nullpunkter
Egen side: Åpne oppgave 1-10 for seg selv

Oppgave 2-1Jannes joggeturer med lineær regresjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Uke ( $x$ )	1	3	9	15	20
Lengde ( $y$ )	$3,4 km$	$5,1 km$	$8,5 km$	$15,5 km$	$18,0 km$

Tabellen ovenfor viser hvor langt Janne jogget noen uker etter at hun begynte å trene. Den første uka jogget hun $3,4 km$ , den tredje uka jogget hun $5,1 km$ , og så videre.

Krever PC

Bestem den lineære funksjonen som passer best med tallene i tabellen ovenfor.

Kalkulator + svaret på tidligere oppgave

Hvor langt vil Janne jogge i uke 25 ifølge funksjonen i oppgave a)?

Kalkulator + svaret på tidligere oppgave

I hvilken uke jogget Janne for første gang mer enn $10 km$ ifølge funksjonen i oppgave a)?

Fasit

$f (x) = 0,795 x + 2,47$

$f (25) \approx 22,3 km$

$Uke 10$

LøsningsforslagKI-generert

Vi plotter de fem punktene fra tabellen i GeoGebra og legger en regresjonslinje (lineær tilpasning) gjennom dem.

Regresjonslinje for Jannes joggeturer

GeoGebra gir regresjonslinjen

f (x) = 0,795 x + 2,47

der $x$ er antall uker og $f (x)$ er lengden i km. Stigningstallet $0,795$ forteller at Janne i gjennomsnitt øker joggeturen med om lag $0,8 km$ per uke, og konstantleddet $2,47$ er lengden funksjonen gir for uke 0.

Vi setter $x = 25$ inn i funksjonsuttrykket fra a):

f (25) = 0,795 \cdot 25 + 2,47 = 22,3

I uke 25 vil Janne ifølge modellen jogge omtrent $22,3 km$ .

Vi må finne den minste uka $x$ der $f (x) > 10$ . Vi løser likningen $f (x) = 10$ :

\begin{matrix} 0,795 x + 2,47 & = 10 \\ 0,795 x & = 7,53 \\ x & = \frac{7,53}{0,795} \approx 9,47 \end{matrix}

Siden $x \approx 9,47$ ligger mellom uke 9 og uke 10, sjekker vi de to hele ukene:

f (9) = 0,795 \cdot 9 + 2,47 \approx 9,6 km f (10) = 0,795 \cdot 10 + 2,47 \approx 10,4 km

I uke 9 jogger hun altså under $10 km$ , mens hun i uke 10 jogger over $10 km$ .

Ifølge modellen jogget Janne for første gang mer enn $10 km$ i $uke 10$ .

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 4
Temaer: Regresjon, Lineære funksjoner, Modellering
Egen side: Åpne oppgave 2-1 for seg selv

Oppgave 2-2Vektutvikling for idrettsutøver med tredjegradsmodell

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $f$ gitt ved

f (x) = 0,0017 x^{3} - 0,13 x^{2} + 2,3 x + 72, x \in [0, 52]

viser hvor mange kilogram $f (x)$ en idrettsutøver veide $x$ uker etter 1. januar 2013.

Krever PC

Tegn grafen til $f$ .

Krever PC

Hvor mye veide idrettsutøveren 1. januar 2013, og hvor mye veide han ett år (52 uker) senere?

Krever PC

Omtrent hvor mange uker i løpet av 2013 veide han mer enn $70 kg$ ?

Krever PC

Når veide idrettsutøveren mest, og når veide han minst? Hvor mye gikk han i gjennomsnitt ned i vekt per uke i den perioden han gikk ned i vekt?

Krever PC

Bestem $f^{'} (3)$ og $f^{'} (25)$ . Hva forteller disse to svarene om vekten til idrettsutøveren?

Fasit

Se graf i løsningsforslaget.

$f (0) = 72 kg, f (52) \approx 79,1 kg$

$omtrent 34 - 35 u k e r$

$Mest ved x \approx 11,4 (83,8 kg), minst ved x \approx 39,6 (64,8 kg); ca. 0,68 k g / u k e$

$f^{'} (3) \approx 1,57, f^{'} (25) \approx - 1,01$

LøsningsforslagKI-generert

Vi tegner grafen til $f$ i GeoGebra for $x \in [0, 52]$ .

Grafen til f med ekstremalpunkter og skjæring med y = 70

Vekten 1. januar 2013 svarer til $x = 0$ :

f (0) = 0,0017 \cdot 0^{3} - 0,13 \cdot 0^{2} + 2,3 \cdot 0 + 72 = 72 kg

Ett år (52 uker) senere er $x = 52$ . Fra GeoGebra-utklippet leser vi av $F 52 = 79,1136$ .

f (52) \approx 79,1 kg

Idrettsutøveren veide altså $72 kg$ 1. januar 2013, og $79,1 kg$ ett år senere.

Vi finner skjæringspunktene mellom $f$ og linjen $y = 70$ i GeoGebra. I utklippet ser vi at $f (x) = 70$ for

x \approx 29,89 og x \approx 47,41

(det tredje skjæringspunktet, $x \approx - 0,83$ , ligger utenfor definisjonsområdet $[0, 52]$ og er ikke relevant).

Siden $f (0) = 72 > 70$ , og grafen først synker under $70$ ved $x \approx 29,89$ før den stiger over $70$ igjen ved $x \approx 47,41$ , veide idrettsutøveren mer enn $70 kg$ i intervallene $⟨ 0, 29,89 ⟩$ og $⟨ 47,41, 52 ⟩$ . Samlet antall uker:

29,89 + (52 - 47,41) = 29,89 + 4,59 \approx 34,5 u k e r

Idrettsutøveren veide altså mer enn $70 kg$ i omtrent $34$ – $35$ uker i løpet av 2013.

Fra GeoGebra-utklippet finner vi ekstremalpunktene til $f$ på $[0, 52]$ :

Toppunkt (maksimum): $x \approx 11,39$ , $f (x) \approx 83,84$
Bunnpunkt (minimum): $x \approx 39,59$ , $f (x) \approx 64,79$

Idrettsutøveren veide altså mest i uke $\approx 11$ (ca. $83,8 kg$ ) og minst i uke $\approx 40$ (ca. $64,8 kg$ ).

Han gikk ned i vekt i perioden fra toppunktet til bunnpunktet, altså fra $x \approx 11,39$ til $x \approx 39,59$ :

Δ x = 39,59 - 11,39 = 28,20 u k e r

Δ vekt = 83,84 - 64,79 = 19,06 kg

Gjennomsnittlig vektnedgang per uke:

\frac{19,06}{28,20} \approx 0,68 kg per uke

Vi bruker GeoGebra til å finne den deriverte $f^{'} (x)$ i $x = 3$ og $x = 25$ (se utklippet under a):

f^{'} (3) \approx 1,57 f^{'} (25) \approx - 1,01

$f^{'} (3) \approx 1,57 > 0$ forteller at idrettsutøveren i uke 3 økte i vekt med omtrent $1,57 kg$ per uke (momentan vekstfart).

$f^{'} (25) \approx - 1,01 < 0$ forteller at idrettsutøveren i uke 25 gikk ned i vekt med omtrent $1,01 kg$ per uke.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 9
Temaer: Polynomfunksjoner, Graftegner, Derivasjon, Vekstfart, Stasjonære punkter
Egen side: Åpne oppgave 2-2 for seg selv

Oppgave 2-3Soveposer med glidelåsfeil og krysstabell

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En bedrift produserer to ulike typer soveposer. Undersøkelser viser at $10 %$ av soveposene av type 1 og $15 %$ av soveposene av type 2 har en feil med glidelåsen.

På lageret ligger 1000 soveposer av type 1 og 4000 soveposer av type 2.

Kalkulator

Systematiser opplysningene ovenfor i en krysstabell.

Bjarne har tilfeldig tatt to soveposer fra lageret. Det viser seg at begge soveposene har feil med glidelåsen.

Kalkulator

Bestem sannsynligheten for at én av soveposene er av type 1 og at én er av type 2.

Fasit

Se krysstabell i løsningsforslaget.

$P \approx 0,245$

LøsningsforslagKI-generert

Vi finner først hvor mange soveposer av hver type som har feil med glidelåsen, og hvor mange som ikke har feil.

Type 1: $1000$ soveposer, $10 %$ har feil.

1000 \cdot 0,10 = 100 med feil, 1000 - 100 = 900 uten feil

Type 2: $4000$ soveposer, $15 %$ har feil.

4000 \cdot 0,15 = 600 med feil, 4000 - 600 = 3400 uten feil

Dette gir krysstabellen:

	Feil	Ingen feil	Sum
Type 1	$100$	$900$	$1000$
Type 2	$600$	$3400$	$4000$
Sum	$700$	$4300$	$5000$

Vi vet at begge soveposene Bjarne har trukket, har feil med glidelåsen. Da trekker vi to poser blant de $700$ posene med feil: $100$ av type 1 og $600$ av type 2, uten tilbakelegging.

Vi trekker to poser, én om gangen. Sannsynligheten for type 1 først og type 2 deretter er

\frac{100}{700} \cdot \frac{600}{699}

Siden vi ikke bryr oss om rekkefølgen, kan den første posen like gjerne være type 2 og den andre type 1. Vi ganger derfor med $2$ :

P (én type 1 og én type 2) = 2 \cdot \frac{100}{700} \cdot \frac{600}{699} = \frac{120 000}{489 300} \approx 0,245

Sannsynligheten for at én av soveposene er av type 1 og én er av type 2, gitt at begge har feil med glidelåsen, er $P \approx 0,245 = 24,5 %$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Sannsynlighet, Krysstabell
Egen side: Åpne oppgave 2-3 for seg selv

Oppgave 2-4Kuler i skål med valgtre og sannsynlighet

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

I en skål er det åtte hvite og seks røde kuler. Du skal trekke tre kuler tilfeldig.

Kalkulator

Systematiser de ulike utfallene i et valgtre.

Kalkulator

Bestem sannsynligheten for at du trekker to hvite og én rød kule. Marker hvordan du finner løsningen i valgtreet i oppgave a).

Fasit

Se valgtre i løsningsforslaget.

$P = \frac{6}{13} \approx 0,462$

LøsningsforslagKI-generert

Det er $8$ hvite og $6$ røde kuler, til sammen $14$ kuler. Vi trekker tre kuler uten tilbakelegging, så sannsynlighetene endrer seg for hver kule vi trekker. Valgtreet under viser alle mulige utfall ( $H = hvit$ , $R = rød$ ), med sannsynlighet på hver gren.

Valgtre for trekning av tre kuler uten tilbakelegging

Vi skal finne sannsynligheten for å trekke to hvite og én rød kule. Dette skjer langs de grenene i valgtreet som er markert med grønt: $HHR$ , $HRH$ og $RHH$ .

For hver av disse grenene multipliserer vi sannsynlighetene langs veien. For eksempel for $HHR$ :

P (HHR) = \frac{8}{14} \cdot \frac{7}{13} \cdot \frac{6}{12}

De tre rekkefølgene gir alle samme produkt, siden telleren alltid er $8 \cdot 7 \cdot 6$ og nevneren alltid $14 \cdot 13 \cdot 12$ :

P (HHR) = P (HRH) = P (RHH) = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{14 \cdot 13 \cdot 12} = \frac{336}{2184}

Siden utfallene er disjunkte, legger vi sammen sannsynlighetene for de tre rekkefølgene:

P (to hvite og én rød) = 3 \cdot \frac{336}{2184} = \frac{1008}{2184} = \frac{6}{13} \approx 0,462

Sannsynligheten for å trekke to hvite og én rød kule er $P = \frac{6}{13} \approx 0,462 = 46,2 %$ .

Oppgavedata

Delt med: 1T, 1P
Kategori: 2
Vanskegrad: 1
Poeng: 4
Temaer: Sannsynlighet, Valgtre
Egen side: Åpne oppgave 2-4 for seg selv

Oppgave 2-5Deling av trestykke med likning

Kalkulator

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Et trestykke er $35 cm$ langt. Trestykket skal deles i fire deler. To deler skal være like lange. Den tredje delen skal være dobbelt så lang som de to like delene til sammen, og halvparten så lang som den fjerde delen.

Bestem lengden av hver av de fire delene.

Fasit

$2,5 cm, 2,5 cm, 10 cm og 20 cm$

LøsningsforslagKI-generert

Vi lar $x$ være lengden til hver av de to like delene.

De to like delene: $x$ og $x$ .
Den tredje delen skal være dobbelt så lang som de to like delene til sammen: $2 \cdot (x + x) = 4 x$ .
Den tredje delen skal også være halvparten så lang som den fjerde delen. Da må den fjerde delen være dobbelt så lang som den tredje: $2 \cdot 4 x = 8 x$ .

Til sammen skal delene utgjøre $35 cm$ :

x + x + 4 x + 8 x = 35

14 x = 35

x = \frac{35}{14} = 2,5

De fire delene blir da

x = 2,5 cm, x = 2,5 cm, 4 x = 10 cm, 8 x = 20 cm

Vi sjekker: $2,5 + 2,5 + 10 + 20 = 35 cm$ , som stemmer.

De fire delene av trestykket er $2,5 cm, 2,5 cm, 10 cm og 20 cm$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 1
Poeng: 2
Temaer: Likninger
Egen side: Åpne oppgave 2-5 for seg selv

Oppgave 2-6Areal av trekant med tre kjente sider

Kalkulator

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Trekant ABC med sider 4, 5 og 8

Regn ut arealet av $Δ A B C$ .

Fasit

$T \approx 8,2$

LøsningsforslagKI-generert

Vi kjenner alle tre sidene i trekanten: $A C = 4$ , $C B = 5$ og $A B = 8$ .

For å finne arealet bruker vi arealsetningen $T = \frac{1}{2} \cdot A C \cdot C B \cdot \sin C$ , der $C$ er vinkelen mellom sidene $A C$ og $C B$ . Vi finner først denne vinkelen med cosinussetningen, siden vi kjenner alle tre sidene:

A B^{2} = A C^{2} + C B^{2} - 2 \cdot A C \cdot C B \cdot \cos C

8^{2} = 4^{2} + 5^{2} - 2 \cdot 4 \cdot 5 \cdot \cos C

64 = 16 + 25 - 40 \cdot \cos C

64 = 41 - 40 \cdot \cos C

40 \cdot \cos C = 41 - 64 = - 23

\cos C = - \frac{23}{40} = - 0,575

C = \cos^{- 1} (- 0,575) \approx 125,1 °

Nå bruker vi arealsetningen til å finne arealet $T$ av trekanten:

T = \frac{1}{2} \cdot A C \cdot C B \cdot \sin C = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 5 \cdot \sin (125,1 °) \approx 10 \cdot 0,818 \approx 8,2

Svar: $T \approx 8,2$

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Cosinussetningen, Arealsetningen, Geometri
Egen side: Åpne oppgave 2-6 for seg selv

Oppgave 2-7Båt fortøyd til brygge med synkende vannstand

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Båt fortøyd ved brygge

En båt ligger fortøyd ved en brygge med et stramt tau som går fra $C$ til $B$ . Tauet er $3,0 m$ langt. Se skissen ovenfor.

Kalkulator

Bestem avstanden $A B$ fra båten til bryggen når $∠ v = 52^{\circ}$ .

Vannstanden synker med $30 cm$ .

Kalkulator

Bestem avstanden fra båten til bryggen nå.

Fasit

$A B \approx 1,8 m$

$A B^{'} \approx 1,4 m$

LøsningsforslagKI-generert

Trekant $A C B$ er rettvinklet, med rett vinkel i $A$ . Hypotenusen er tauet $C B = 3,0 m$ , og vinkelen ved $B$ er $v = 52 °$ . Kateten $A B$ ligger inntil vinkelen $v$ , så vi bruker

\cos v = \frac{A B}{C B}

A B = C B \cdot \cos v = 3,0 \cdot \cos 52 ° \approx 3,0 \cdot 0,6157 \approx 1,8 m

Svar: $A B \approx 1,8 m$

Vi finner først den andre kateten $C A$ i den opprinnelige trekanten, altså den loddrette avstanden fra $C$ ned til høyden til $B$ :

\sin v = \frac{C A}{C B} \Rightarrow C A = C B \cdot \sin v = 3,0 \cdot \sin 52 ° \approx 2,36 m

Når vannstanden synker med $30 cm = 0,3 m$ , synker båten — og dermed punktet $B$ — like mye. Den nye loddrette avstanden fra $C$ ned til høyden til $B$ blir da

C A^{'} = C A + 0,3 \approx 2,36 + 0,3 = 2,66 m

Tauet er fortsatt stramt og har samme lengde, $C B = 3,0 m$ . Vi bruker Pytagoras’ setning i den nye rettvinklede trekanten til å finne den nye avstanden $A B^{'}$ fra båten til bryggen:

A B^{'} = \sqrt{C B^{2} - C A^{' 2}} = \sqrt{{3,0}^{2} - {2,66}^{2}} \approx \sqrt{9 - 7,08} \approx \sqrt{1,90} \approx 1,4 m

Svar: $A B^{'} \approx 1,4 m$

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Trigonometri, Rettvinklet trekant, Pytagoras
Egen side: Åpne oppgave 2-7 for seg selv

Oppgave 2-8Trekant med minimal omkrets og funksjonsdrøfting

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Trekant ABC med høyde CD

$Δ A B C$ har grunnlinje $A B = 8$ . Punktet $D$ ligger på $A B$ . $C D = 6$ og $∠ B D C = 90^{\circ}$ . Se skissen til høyre.

Vi setter $B D = x$ .

Krever PC

Vis at sammenhengen mellom lengden $x$ og omkretsen $f (x)$ av $Δ A B C$ er gitt ved

f (x) = 8 + \sqrt{x^{2} + 36} + \sqrt{x^{2} - 16 x + 100}, x \in [0, 8]

Krever PC

Bestem $x$ slik at omkretsen av $Δ A B C$ blir minst mulig. Forklar at trekanten da vil være likebeint.

Fasit

Se utledning i løsningsforslaget.

$x = 4$ , som gir minste omkrets $f (4) \approx 22,4$

LøsningsforslagKI-generert

Punktet $D$ ligger på $A B$ med $B D = x$ , så $A D = A B - B D = 8 - x$ . Siden $∠ B D C = 90 °$ og $∠ A D C = 90 °$ (de er nabovinkler til en rett vinkel langs linjen $A B$ ), er både $Δ B D C$ og $Δ A D C$ rettvinklede trekanter med $C D = 6$ som en katet.

I $Δ B D C$ gir Pytagoras’ setning

B C = \sqrt{B D^{2} + C D^{2}} = \sqrt{x^{2} + 36}

I $Δ A D C$ gir Pytagoras’ setning

A C = \sqrt{A D^{2} + C D^{2}} = \sqrt{{(8 - x)}^{2} + 6^{2}} = \sqrt{x^{2} - 16 x + 64 + 36} = \sqrt{x^{2} - 16 x + 100}

Omkretsen av $Δ A B C$ er summen av alle tre sidene:

f (x) = A B + B C + A C = 8 + \sqrt{x^{2} + 36} + \sqrt{x^{2} - 16 x + 100}

Siden $D$ må ligge mellom $A$ og $B$ , er $x \in [0, 8]$ .

f (x) = 8 + \sqrt{x^{2} + 36} + \sqrt{x^{2} - 16 x + 100}, x \in [0, 8]

Vi finner minimumspunktet til $f (x)$ på $[0, 8]$ i CAS med kommandoen Min(f, 0, 8).

CAS: minimum av omkretsfunksjonen f(x)

CAS gir minimumspunktet $(4, 22,42221)$ . Omkretsen er altså minst når

x = 4

og minsteverdien er $f (4) \approx 22,4$ .

Trekanten er likebeint: Når $x = 4$ , er $B D = 4$ og $A D = 8 - x = 4$ , altså $A D = B D$ . Da blir

B C = \sqrt{4^{2} + 36} = \sqrt{52} A C = \sqrt{4^{2} - 16 \cdot 4 + 100} = \sqrt{52}

Siden $A C = B C$ , har $Δ A B C$ to like lange sider, og trekanten er dermed likebeint.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Funksjonsdrøfting, Optimering, Geometri, Pytagoras
Egen side: Åpne oppgave 2-8 for seg selv

Oppgave 2-9Petters geometriske bevis for likebeint trekant

For hånd

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Petter får i oppgave å vise at når omkretsen av trekanten i oppgave 8 er minst mulig, er trekanten likebeint. Han løser oppgaven med figurer. Se nedenfor.

Petters fire figurer

Ved hjelp av figurene viser han hvor punktet $D$ må plasseres på linjestykket $A B$ for at lengden $A C + C B$ i figur 1 skal bli kortest mulig.

Forklar hva Petter har gjort, og at han har løst oppgaven riktig.

Fasit

$Petter bruker speiling til å vise at A C + C B er minst når D er midtpunktet på A B, altså når A C = C B$

LøsningsforslagKI-generert

I oppgave 8 er grunnlinja $A B = 8$ og høyden fra $C$ ned til $A B$ lik $6$ , mens foten for høyden, $D$ , kan ligge hvor som helst på $A B$ , med $A D = 8 - x$ og $D B = x$ . Siden både $A B$ og høyden er faste, er det bare summen $A C + C B$ som avgjør hvor stor omkretsen til trekanten blir. Omkretsen er derfor minst når $A C + C B$ er minst.

Figur 1 viser den opprinnelige trekanten delt i to rettvinklede trekanter av høyden $C D = 6$ : trekant $A C D$ med kateter $8 - x$ og $6$ , og trekant $D C B$ med kateter $x$ og $6$ . Da er

A C = \sqrt{{(8 - x)}^{2} + 6^{2}} C B = \sqrt{x^{2} + 6^{2}}

Figur 2 viser at de to rettvinklede trekantene kan flyttes uten å endre formen sin: trekant $A F D$ (med $A F = 6$ og $A D = 8 - x$ , rett vinkel i $A$ ) er kongruent med trekant $A C D$ , så $F D = A C$ . Trekant $B E D$ (med $B E = 6$ og $B D = x$ , rett vinkel i $B$ ) er kongruent med trekant $D C B$ , så $E D = C B$ . Dermed er

F D + D E = A C + C B

og summen vi vil minimere er nå lengden av den «knekte» veien $F \to D \to E$ .

Figur 3 viser at trekant $B E D$ speiles om linja $A B$ og blir til trekant $B D G$ , med $G$ liggende under $B$ . Speiling bevarer lengder, så $D G = D E = C B$ . Dermed er

F D + D G = F D + D E = A C + C B

Nå er både $F$ (rett over $A$ , i loddrett avstand $6$ ) og $G$ (rett under $B$ , i loddrett avstand $6$ ) faste punkter som ikke avhenger av hvor $D$ ligger på $A B$ — det er bare $D$ som er variabel.

Figur 4 viser konklusjonen: Den korteste veien mellom to faste punkter $F$ og $G$ er den rette linjestrekningen mellom dem. Summen $F D + D G$ blir derfor minst mulig når $D$ ligger akkurat der den rette linja $F G$ krysser $A B$ — altså i punktet $D^{'}$ i figuren.

Siden $A F = B G = 6$ , og $F$ og $G$ ligger på hver sin side av $A B$ i samme loddrette avstand, må den rette linja $F G$ krysse $A B$ nøyaktig midt mellom $A$ og $B$ (de to like høydene gjør at $D^{'}$ deler $A B$ i forholdet $A F : B G = 6 : 6 = 1 : 1$ ). Det betyr at $D^{'}$ er midtpunktet på $A B$ :

A D^{'} = D^{'} B = 4

Når $D = D^{'}$ er midtpunktet, har trekantene $A C D$ og $D C B$ samme to kateter ( $4$ og $6$ ), så $A C = C B$ . Trekanten $A B C$ er dermed likebeint når omkretsen er minst mulig — og det er nettopp dette Petter har vist med figurene sine.

Svar: $Omkretsen er minst når D er midtpunktet på A B, og da er A C = C B (trekanten er likebeint)$

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Bevis, Argumentasjon, Geometri
Egen side: Åpne oppgave 2-9 for seg selv

Del 1uten hjelpemidler · 2 timer · 10 oppgaver · 24 poeng

Oppgave 1-1·Multiplikasjon av tall på standardform med tierpotenser

Oppgave 1-2·Forenkling av rot- og potensuttrykk

Oppgave 1-3·Eksponentlikning med toerpotenser

Oppgave 1-4·Fullstendig kvadrat med parameter c

Oppgave 1-5·Lineært likningssystem med to ukjente

Oppgave 1-6·Forenkling og addisjon av rasjonale brøkuttrykk

Oppgave 1-7·Søsken i klassen med venndiagram og betinget sannsynlighet

Oppgave 1-8·Rettvinklet trekant med areal og trigonometriske ulikheter

Oppgave 1-9·Andregradsfunksjon med nullpunkter og tangentlikning

Oppgave 1-10·Andregradsfunksjon med ett nullpunkt og konstantledd

Del 2alle hjelpemidler · 3 timer · 9 oppgaver · 36 poeng

Oppgave 2-1·Jannes joggeturer med lineær regresjon

Oppgave 2-2·Vektutvikling for idrettsutøver med tredjegradsmodell

Oppgave 2-3·Soveposer med glidelåsfeil og krysstabell

Oppgave 2-4·Kuler i skål med valgtre og sannsynlighet

Oppgave 2-5·Deling av trestykke med likning

Oppgave 2-6·Areal av trekant med tre kjente sider

Oppgave 2-7·Båt fortøyd til brygge med synkende vannstand

Oppgave 2-8·Trekant med minimal omkrets og funksjonsdrøfting

Oppgave 2-9·Petters geometriske bevis for likebeint trekant

Temaer

Oppgave 1-1Multiplikasjon av tall på standardform med tierpotenser

Oppgave 1-2Forenkling av rot- og potensuttrykk

Oppgave 1-3Eksponentlikning med toerpotenser

Oppgave 1-4Fullstendig kvadrat med parameter c

Oppgave 1-5Lineært likningssystem med to ukjente

Oppgave 1-6Forenkling og addisjon av rasjonale brøkuttrykk

Oppgave 1-7Søsken i klassen med venndiagram og betinget sannsynlighet

Oppgave 1-8Rettvinklet trekant med areal og trigonometriske ulikheter

Oppgave 1-9Andregradsfunksjon med nullpunkter og tangentlikning

Oppgave 1-10Andregradsfunksjon med ett nullpunkt og konstantledd

Oppgave 2-1Jannes joggeturer med lineær regresjon

Oppgave 2-2Vektutvikling for idrettsutøver med tredjegradsmodell

Oppgave 2-3Soveposer med glidelåsfeil og krysstabell

Oppgave 2-4Kuler i skål med valgtre og sannsynlighet

Oppgave 2-5Deling av trestykke med likning

Oppgave 2-6Areal av trekant med tre kjente sider

Oppgave 2-7Båt fortøyd til brygge med synkende vannstand

Oppgave 2-8Trekant med minimal omkrets og funksjonsdrøfting

Oppgave 2-9Petters geometriske bevis for likebeint trekant