1P Vår 2025 · Matematikkoppgaver

Oppgave 1-1Sjokoladeplate på bensinstasjon

En sjokoladeplate koster 40 kroner i en butikk og 60 kroner på en bensinstasjon.

Hvor mange prosent dyrere er sjokoladeplaten på bensinstasjonen?

Fasit

Sjokoladeplaten er $50 %$ dyrere på bensinstasjonen.

Løsningsforslag

Vi finner hvor mye dyrere sjokoladeplaten er på bensinstasjonen:

60 kr - 40 kr = 20 kr

Denne prisforskjellen regner vi som prosent av butikkprisen (den opprinnelige prisen):

\frac{20}{40} \cdot 100 % = \frac{1}{2} \cdot 100 % = 50 %

Sjokoladeplaten er $50 %$ dyrere på bensinstasjonen enn i butikken.

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 1
Temaer: Prosentregning
Kompetansemål: Bruke prosent, prosentpoeng, promille og vekstfaktor i utrekningar og presentere og grunngi løysingar
Egen side: Åpne oppgave 1-1 for seg selv

Oppgave 1-2Prosentvis framgang for partier

I en kommune fikk Arbeiderpartiet 40 % av stemmene ved forrige valg. Senterpartiet fikk 20 % av stemmene. En meningsmåling viser at begge partiene har økt sin oppslutning med 5 prosentpoeng siden valget.

Hvilket parti har hatt størst prosentvis framgang? Husk å begrunne svaret.

Fasit

Senterpartiet har hatt størst prosentvis framgang

Løsningsforslag

Begge partiene har økt med 5 prosentpoeng, det betyr at:

Arbeiderpartiet må ha økt fra 40 % til 45 %
Senterpartiet må ha økt fra 20 % til 25 %

Vi finner den prosentvise økningen

\begin{matrix} Ap : & \frac{5 %}{40 %} = \frac{5 : 5}{40 : 5} = \frac{1}{8} = \frac{100}{8} % \\ Sp : & \frac{5 %}{20 %} = \frac{5 : 5}{20 : 5} = \frac{1}{4} = \frac{100}{4} % \end{matrix}

Siden $\frac{100}{4}$ er et større tall enn $\frac{100}{8}$ så må Senterpartiet ha den største prosentvise økningen.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 1 poeng

En kandidat som resonnerer seg fram til riktig svar uten å gjøre beregninger, kan få full uttelling.

En kandidat som forklarer at Senterpartiet har størst prosentvis fremgang på grunn av lavest utgangspunkt, men blander begrepene prosent og prosentpoeng, kan få full uttelling.

Riktig svar uten begrunnelse gir ingen uttelling.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 1
Poeng: 1
Temaer: Prosentregning, Prosentvis endring
Kompetansemål: Bruke prosent, prosentpoeng, promille og vekstfaktor i utrekningar og presentere og grunngi løysingar
Lese, hente ut og vurdere matematikk i tekstar om situasjonar frå lokalmiljøet, gjere berekningar knytte til dette og presentere og argumentere for resultata
Egen side: Åpne oppgave 1-2 for seg selv

Oppgave 1-3Omvendt proporsjonale størrelser

Beskriv en praktisk situasjon der to størrelser er omvendt proporsjonale. Forklar hvorfor størrelsene er omvendt proporsjonale.

Tegn en graf som illustrerer sammenhengen mellom størrelsene. Marker tre punkter på grafen, og sett riktige koordinater på punktene.

Fasit

Eksempel: Venner deler regningen på en pizza til 240 kr. Pris per person = $\frac{240}{x}$ .

Løsningsforslag

Situasjon: Fire venner bestiller en pizza til 240 kroner og deler regningen likt.

La $x$ være antall personer og $y$ være beløpet hver person betaler.

y = \frac{240}{x}

Størrelsene er omvendt proporsjonale fordi produktet $x \cdot y = 240$ alltid er det samme. Når antall personer øker, synker prisen per person tilsvarende — dobles antall personer, halveres prisen.

Vi regner ut tre punkter:

Antall personer ( $x$ )	Pris per person ( $y$ )
2	$120 kr$
4	$60 kr$
8	$30 kr$

Grafen er en fallende kurve som nærmer seg aksene uten å treffe dem:

Håndtegnet graf av y = 240/x med punktene (2, 120), (4, 60) og (8, 30) markert

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 3 poeng

For å få full uttelling må kandidaten

beskrive en praktisk situasjon og gjøre rede for hvilke størrelser som er omvendt proporsjonale knyttet til situasjonen
laget en grafisk framstilling som kommuniserer godt

Mindre presise beskrivelser og grafiske framstillinger kan gi 1 eller 2 poeng.

Oppgavedata

Vanskegrad: 1
Poeng: 3
Temaer: Omvendt proporsjonalitet, Grafisk framstilling
Kompetansemål: Utforske, beskrive og bruke omgrepa proporsjonalitet og omvend proporsjonalitet
Egen side: Åpne oppgave 1-3 for seg selv

Oppgave 1-4To løsninger med potensuttrykk

Klassen til Elias arbeider med oppgaven nedenfor.

Elias påstår at det er mulig å bruke åtte av de ti tallene 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 og 9 og sette opp to ulike løsninger av oppgaven.

Vis at Elias har rett.

Fasit

8 \cdot 10^{6} \cdot 1 \cdot 10^{3} og 4 \cdot 10^{9} \cdot 2 \cdot 10^{0}

Løsningsforslag

Vi skal få svaret 8 000 000 000 fra $□ \cdot 10^{□} \cdot □ \cdot 10^{□}$

Vi begynner med på se på faktorene som skal i den første (grønne) og tredje (oransje) ruten. Produktet av disse to faktorene må bli 8, det vil si at vi har to ulike muligheter for tallene i første og tredje rute: enten kan vi bruke 1 og 8 (siden $1 \cdot 8 = 8$ ) eller så kan vi bruke 2 og 4 siden $2 \cdot 4 = 8$ .

$8 \cdot 10^{□} \cdot 1 \cdot 10^{□}$
$4 \cdot 10^{□} \cdot 2 \cdot 10^{□}$ .

Når det gjelder de to potensene så må produktet av disse bli $1 000 000 000 = 10^{9}$ . Vi husker at $a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}$ , slik at vi kan skrive $10^{9}$ som for eksempel $10^{3 + 6}$ og $10^{0 + 9}$ .

Vi har dermed 2 løsninger ved å bruke 8 av tallene fra 0 til 9:

8 \cdot 10^{6} \cdot 1 \cdot 10^{3} og 4 \cdot 10^{9} \cdot 2 \cdot 10^{0}

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 2 poeng

I utgangspunktet gis 1 poeng for hver riktig løsning. Riktige løsninger uten begrunnelse gir også full uttelling.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Potenser, Standardform
Kompetansemål: Tolke og rekne med rotuttrykk, potensar og tal på standardform
Egen side: Åpne oppgave 1-4 for seg selv

Oppgave 1-5Blodceller i standardform

I blodet er det tre hovedtyper blodceller. De tre hovedtypene er hvite blodceller, røde blodceller og blodplater.

I en liter blod er det $7 \cdot 10^{9}$ hvite blodceller, $5 \cdot 10^{12}$ røde blodceller og $3 \cdot 10^{11}$ blodplater.

Hvor mange blodceller blir dette til sammen?

Fasit

$5,307 \cdot 10^{12}$ blodceller

LøsningsforslagKI-generert

Vi skal legge sammen de tre tallene:

7 \cdot 10^{9} + 5 \cdot 10^{12} + 3 \cdot 10^{11}

For å legge dem sammen må alle leddene ha samme potens av 10. Vi velger $10^{12}$ :

7 \cdot 10^{9} = 0,007 \cdot 10^{12}

3 \cdot 10^{11} = 0,3 \cdot 10^{12}

Nå kan vi legge dem sammen:

0,007 \cdot 10^{12} + 5 \cdot 10^{12} + 0,3 \cdot 10^{12} = (0,007 + 5 + 0,3) \cdot 10^{12} = 5,307 \cdot 10^{12}

Det er til sammen $5,307 \cdot 10^{12}$ blodceller i en liter blod.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 2 poeng

En kandidat som gjør noen riktige beregninger, kan få 1 poeng. En kandidat som multipliserer tallene i oppgaven, får ingen uttelling.

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 2
Temaer: Store tall, Standardform
Kompetansemål: Tolke og rekne med rotuttrykk, potensar og tal på standardform
Egen side: Åpne oppgave 1-5 for seg selv

Oppgave 1-6Figurtall med grønne kvadrater

Tre figurer satt sammen av grønne kvadrater

Ovenfor ser du tre figurer. Figurene er satt sammen av små grønne kvadrater. Tenk deg at du skal fortsette å lage figurer etter samme mønster.

Hvor mange små grønne kvadrater vil det være i figur 5?

Lag en formel for antallet små grønne kvadrater i figur $n$ .

Fasit

36

$F_{n} = n^{2} + 2 n + 1$

Løsningsforslag

Jeg ser at kvadratet i toppen vil ha $5 \cdot 5 = 25$ små grønne kvadrater.
Jeg ser at delen på høyre side vil bestå av 5 kvadrater
Jeg ser at delen nede til venstre vil bestå av 6 kvadrater

Det er $25 + 5 + 6 = 36$ kvadrater i figur 5.

Jeg deler opp figuren i tre deler, se figuren

Oppdeling av figurtall

Jeg ser at kvadratet har størrelse $n^{2}$ , den høyre siden har lengde $n$ og den siste delen har lengde $n + 1$ . Antall kvadrater er summen av disse 3 delene.

F_{n} = n^{2} + n + n + 1 = n^{2} + 2 n + 1

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 2 poeng

Riktig svar uten begrunnelse gir ingen uttelling.

En riktig formel i oppgave b) gjelder som begrunnelse i oppgave a).

En riktig formel som ikke er argumentert for, gir full uttelling.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Figurtall, Mønstre
Kompetansemål: Identifisere variable storleikar i ulike situasjonar og bruke dei til utforsking og generalisering
Egen side: Åpne oppgave 1-6 for seg selv

Oppgave 1-7Lars sin spareplan

Lars har spart penger i flere år. Han har nå 120 000 kroner. Pengene står på en konto i banken. Lars vil fortsette å spare og har en plan. Han har laget programmet nedenfor.

konto = 120000
sparebeløp = 24000
vekstfaktor = 1.058
år = 0

while konto < 1000000:

    konto = konto + sparebeløp
    konto = konto * vekstfaktor

    år = år + 1

print(år)
print(konto)

Hva forteller programmet om planen til Lars?

Hva vil verdiene som skrives ut, fortelle Lars?

Fasit

Programmet viser at Lars vil ha over én million kroner etter 17 år, og at kontoens verdi da er ca. $1 016 760 kr$ .

LøsningsforslagKI-generert

Hva forteller programmet om planen til Lars?

Programmet simulerer Lars sin spareplan år for år. Starten av programmet setter opp tre viktige verdier:

konto = 120000 — Lars har 120 000 kr på konto nå.
sparebeløp = 24000 — Lars setter inn 24 000 kr hvert år.
vekstfaktor = 1.058 — Kontoen får $5,8 %$ rente per år.

Inne i løkken skjer to ting hvert år:

Lars setter inn sparebeløpet: konto = konto + sparebeløp
Renten legges til: konto = konto * vekstfaktor

Løkken fortsetter så lenge kontoens verdi er under 1 000 000 kr, og teller samtidig opp antall år.

Programmet forteller altså Lars hvor mange år det tar før han har spart én million kroner, og hva kontoen er verdt på det tidspunktet.

Hva vil verdiene som skrives ut, fortelle Lars?

Programmet skriver ut to verdier:

print(år) skriver ut 17 — det vil si at det tar 17 år før Lars har over én million kroner.
print(konto) skriver ut ca. 1 016 760 — kontoen er verdt ca. $1 016 760 kr$ etter disse 17 årene.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 3 poeng

For å få full uttelling må kandidaten gjøre rede for

sparebeløp
rentefot
at Lars vil spare til en million

Det må også gå klart fram at programmet skriver ut

hvor mange år det tar før beløpet på kontoen passerer en million
hvor stort beløpet på kontoen da vil være.

Mindre presise redegjørelser kan gi ett eller to poeng. For å få ett poeng, må kandidaten gjøre rede for to av de fem momentene nevnt ovenfor.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Programmering, Sparing, Geometrisk vekst
Kompetansemål: Bruke digitale verktøy i utforsking og problemløysing knytt til eigenskapar ved funksjonar, og diskutere løysingane
Bruke prosent, prosentpoeng, promille og vekstfaktor i utrekningar og presentere og grunngi løysingar
Egen side: Åpne oppgave 1-7 for seg selv

Oppgave 1-8Noras bøtte med godteri

Nora bestemmer seg for å kjøpe en bøtte og fylle den med godteri. Hun ser at det er en lineær sammenheng mellom antall hektogram godteri hun fyller i bøtta, og prisen hun må betale for bøtta med godteriet.

Nedenfor ser du en modell som illustrerer dette.

Graf over pris for bøtte med godteri

Modellen kan uttrykkes på formen

G (x) = a x + b

Bestem $a$ og $b$ .

Gi en praktisk tolkning av $a$ og $b$ i denne modellen.

Hvor mye koster en bøtte med 8 hg godteri?

Fasit

$G (x) = 12 x + 30$

$a = 12$ betyr at prisen øker med $12 kr$ per hektogram godteri. $b = 30$ er prisen for selve bøtta, det vil si $30 kr$ uten godteri.

$126 kr$

LøsningsforslagKI-generert

Vi leser av to punkter fra grafen: $(5, 90)$ og $(20, 270)$ .

Vi bruker formelen for stigningstallet:

a = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} = \frac{270 - 90}{20 - 5} = \frac{180}{15} = 12

For å finne $b$ setter vi inn punktet $(5, 90)$ i $G (x) = a x + b$ :

90 = 12 \cdot 5 + b

90 = 60 + b

b = 30

Svaret er $G (x) = 12 x + 30$

$a = 12$ er stigningstallet og viser hvor mye prisen øker per hektogram godteri. Dette betyr at hvert hektogram godteri koster $12 kr$ .

$b = 30$ er konstantleddet og viser prisen når $x = 0$ , altså når bøtta er tom. Dette betyr at selve bøtta koster $30 kr$ .

Vi setter inn $x = 8$ i funksjonsuttrykket:

G (8) = 12 \cdot 8 + 30 = 96 + 30 = 126

En bøtte med 8 hg godteri koster $126 kr$ .

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 4 poeng

Her gis i utgangspunktet ett poeng for riktig stigningstall og ett poeng for riktig konstantledd.

En kandidat som velger en riktig strategi, men ikke kommer i mål med beregningene, kan til sammen få 1 poeng.

For å få uttelling må kandidaten gi en praktisk tolkning av både a og b.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Lineær vekst, Funksjoner, Graftolkning
Kompetansemål: Tolke og bruke funksjonar i matematisk modellering og problemløysing
Egen side: Åpne oppgave 1-8 for seg selv

Oppgave 2-1Kikhoste som eksponentiell vekst

Tabellen nedenfor viser antall registrerte tilfeller av kikhoste i Norge noen måneder i perioden januar 2023–oktober 2024.

Måned	Jan 2023	Mai 2023	Okt 2023	Feb 2024	Aug 2024	Okt 2024
Antall registrerte tilfeller	29	93	164	284	1035	1657

La $x$ være antall måneder etter desember 2022. Det vil si at $x = 1$ tilsvarer januar 2023, $x = 3$ tilsvarer mars 2023, og så videre.

Kalkulator

Bruk opplysningene ovenfor til å vise at funksjonen $K$ gitt ved

K (x) = 27,8 \cdot {1,2}^{x}

er en god modell for antall registrerte tilfeller av kikhoste i Norge i perioden januar 2023–oktober 2024.

For hånd

Gi en praktisk tolkning av tallet $1,2$ i modellen.

Kalkulator

Bestem stigningstallet til den rette linjen som går gjennom punktene $(4, K (4))$ og $(21, K (21))$ . Gi en praktisk tolkning av svaret du får.

Kalkulator

Hvor mange tilfeller av kikhoste vil bli registrert i Norge i mai 2025 ifølge modellen?

Fasit

Modellens verdier er i samme størrelsesorden som de observerte — modellen er god.

Antall registrerte tilfeller øker med $20 %$ per måned.

$\approx 72$ tilfeller per måned (gjennomsnittlig vekstfart fra mai 2023 til september 2024).

$\approx 5500$ tilfeller i mai 2025.

LøsningsforslagKI-generert

GeoGebra-graf med eksponentialfunksjon, datapunkter og sekantlinje

Vi setter inn $x$ -verdiene fra tabellen i modellen $K (x) = 27,8 \cdot {1,2}^{x}$ og sammenligner med de observerte tallene:

Måned	$x$	$K (x)$ (modell)	Observert
Jan 2023	1	$\approx 33$	29
Mai 2023	5	$\approx 69$	93
Okt 2023	10	$\approx 172$	164
Feb 2024	14	$\approx 357$	284
Aug 2024	20	$\approx 1066$	1035
Okt 2024	22	$\approx 1535$	1657

Modellens verdier er i samme størrelsesorden som de observerte verdiene i hele perioden. Noen måneder treffer modellen svært godt (oktober 2023, august 2024), og ingen av avvikene er dramatisk store sett opp mot den sterke veksten. Modellen $K (x) = 27,8 \cdot {1,2}^{x}$ er en god modell for datamaterialet.

Funksjonen $K (x) = 27,8 \cdot {1,2}^{x}$ er en eksponentialfunksjon med vekstfaktor $1,2$ .

Vekstfaktoren $1,2$ betyr at antallet multipliseres med $1,2$ for hver måned som går. Det tilsvarer en økning på $20 %$ per måned.

Praktisk tolkning: Antall registrerte tilfeller av kikhoste i Norge økte med ca. $20 %$ per måned i perioden januar 2023–oktober 2024.

Vi skal finne stigningstallet til den rette linjen gjennom punktene $(4, K (4))$ og $(21, K (21))$ .

Først beregner vi funksjonsverdiene:

K (4) = 27,8 \cdot {1,2}^{4} \approx 57,65

K (21) = 27,8 \cdot {1,2}^{21} \approx 1278,94

Deretter bruker vi formelen for stigningstall:

a = \frac{K (21) - K (4)}{21 - 4} = \frac{1278,94 - 57,65}{17} = \frac{1221,29}{17} \approx 𝟕𝟐

Vi kan også lese av sekantlinjens stigningstall i GeoGebra: stign = 71.84 ≈ 72.

Praktisk tolkning: I gjennomsnitt økte antall registrerte tilfeller av kikhoste med ca. 72 tilfeller per måned i perioden fra mai 2023 ( $x = 4$ ) til september 2024 ( $x = 21$ ).

Mai 2025 tilsvarer $x = 29$ (29 måneder etter desember 2022).

K (29) = 27,8 \cdot {1,2}^{29} \approx 𝟓𝟒𝟗𝟗 \approx 5500

Ifølge modellen vil ca. 5500 tilfeller av kikhoste bli registrert i Norge i mai 2025.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 6 poeng

For å få full uttelling, må kandidaten vise hvordan utrykket framkommer med utgangspunkt i dataverdiene som er gitt.

En kandidat som bruker det gitte uttrykket, tegner grafen, og viser at dataverdiene gir punkt som tilnærmet ligger på denne, kan få 1 poeng.

En kandidat som bruker regresjon, men ikke kommer fram til en eksponentialfunksjon, får ingen uttelling.

I utgangspunktet gis 1 poeng for riktig stigningstall og 1 poeng for en riktig praktisk tolkning av stigningstallet.

For å få uttelling for en praktisk tolkning, må det gå tydelig fram at det er en gjennomsnittlig økning i antall registrerte tilfeller per måned.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Eksponentialfunksjon, Modellering, Gjennomsnittlig vekstfart
Kompetansemål: Tolke og bruke funksjonar i matematisk modellering og problemløysing
Egen side: Åpne oppgave 2-1 for seg selv

Oppgave 2-2Stikk UT! og turstatistikk

Artikkelen ovenfor er hentet fra aesby.no.

Kalkulator

Hvor langt har hver deltaker i sommerens Stikk UT! i gjennomsnitt gått?

Kalkulator

Hvor langt har Sunnmøre friluftsråd regnet at det er rundt jorda?

Fasit

$82,5 km$ per deltaker i gjennomsnitt

Sunnmøre friluftsråd har regnet med at det er $39 759 km$ rundt jorda

LøsningsforslagKI-generert

Vi skal finne gjennomsnittlig antall kilometer per deltaker.

Gjennomsnitt = \frac{totalt antall km}{antall deltakere}

Gjennomsnitt = \frac{3 300 000 km}{40 000} = 82,5 km

Hver deltaker har i gjennomsnitt gått $82,5 km$ .

Vi skal finne hvor langt Sunnmøre friluftsråd har regnet at det er rundt jorda. Vi vet at 3,3 millioner km tilsvarer 83 ganger rundt jorda, og bruker det til å finne én gang rundt:

Rundt jorda = \frac{3 300 000 km}{83} \approx 39 759 km

Sunnmøre friluftsråd har regnet med at det er omtrent $39 759 km$ rundt jorda.

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 2
Temaer: Store tall
Kompetansemål: Lese, hente ut og vurdere matematikk i tekstar om situasjonar frå lokalmiljøet, gjere berekningar knytte til dette og presentere og argumentere for resultata
Tolke og rekne med rotuttrykk, potensar og tal på standardform
Egen side: Åpne oppgave 2-2 for seg selv

Oppgave 2-3Elise selger aviser

Kalkulator

Elise skal gå fra dør til dør og selge aviser hver lørdag. En avis koster 49 kroner.

Firmaet hun skal arbeide for, beregner lønn på ulike måter. Elise kan velge mellom to tilbud.

Gjør beregninger og gi Elise råd om hvilket tilbud hun bør velge.

Fasit

Hun bør velge tilbud 2 hvis hun selger under 21 aviser. Hvis hun selger minst 21 aviser bør hun velge tilbud 1.

Løsningsforslag

Vi kan lage en modell for hvert tilbud. Hvis vi sier at Elise selger $x$ aviser så har vi for tilbud 1

f (x) = 0,35 \cdot 49 \cdot x = 17,15 x

For tilbud 2 så har vi

g (x) = 150 + 10 x

Vi ser umiddelbart at Elise bør velge tilbud 2 dersom hun selger veldig få aviser – da er hun jo garantert 150 kr uansett! Men vi bør undersøke hvor mye hun må selge for at det skal lønne seg å velge tilbud 1. Det kan vi gjøre ved å løse likningen

\begin{matrix} f (x) & = g (x) \\ 17,15 x & = 150 + 10 x \\ 17,15 x - 10 x & = 150 \\ \frac{7,15 x}{7,15} & = \frac{150}{7,15} \\ x & = 20,98 \end{matrix}

Hvis Elise regner med å selge minst 21 aviser så bør hun velge tilbud 1. Hvis hun selger mindre enn dette bør hun velge tilbud 2.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 3 poeng

En kandidat som setter opp et riktig uttrykk for det ene eller begge tilbudene, eller gjør noen riktige beregninger, kan få 1 eller 2 poeng.

For å få full uttelling må kandidaten ha kommet fram til at tilbud 1 lønner seg dersom hun selger 21 aviser eller mer.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Økonomi, Lineær vekst, Likningssystem
Kompetansemål: Tolke og bruke funksjonar i matematisk modellering og problemløysing
Modellere situasjonar knytte til tema frå samfunnsliv og arbeidsliv, presentere og argumentere for resultata og for når modellane er gyldige
Egen side: Åpne oppgave 2-3 for seg selv

Oppgave 2-4Dagbladet Lørdag uten rabatt

Kalkulator

Dagbladet Lørdag med Magasinet – tilbud fra Bladkongen

Informasjonen ovenfor er hentet fra nettsidene til Bladkongen.

Hvor mye koster Dagbladet Lørdag uten rabatt?

Fasit

49 kr

Løsningsforslag

Vi ser på det første tilbudet først: «4 aviser for 99 kroner, spar 49 %».

Å spare 49 % betyr at vi fremdeles betaler 51 % av prisen. Vi kan finne full pris for avisene ved å gå veien om en:

\frac{99 k r}{51 %} \cdot 100 % = 1,94 k r \cdot 100 % = 194 k r

Prisen per avis er $\frac{194 k r}{4} = 48,5 k r$ .

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 2 poeng

En kandidat som bruker ett eller flere av tilbudene, gjør riktige beregninger og kommer fram til at Dagbladet lørdag koster omtrent 49 kroner, får full uttelling.

En kandidat som gjør noen riktige beregninger, kan få 1 poeng.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Prosentregning, Økonomi
Kompetansemål: Bruke prosent, prosentpoeng, promille og vekstfaktor i utrekningar og presentere og grunngi løysingar
Egen side: Åpne oppgave 2-4 for seg selv

Oppgave 2-5Pris per kvadratmeter terrassebord

Kalkulator

Anne skal bygge en brygge og lurer på hvilken type terrassebord hun skal velge.

Hun finner informasjonen nedenfor på nettsiden til en byggevareforhandler. Tykkelse og bredde er gitt i mm. Byggevareforhandleren oppgir pris per meter terrassebord.

Furu 28×145

Furu 28×095

Hva blir prisen per kvadratmeter for hver av de to typene terrassebord?

Fasit

Furu 28×145: $468,28 k r / m^{2}$

Furu 28×95: $525,26 k r / m^{2}$

LøsningsforslagKI-generert

For å finne prisen per kvadratmeter, må vi vite hvor mange løpemeter terrassebord som går med til én kvadratmeter.

Bredden på brettet bestemmer dette: 1 m² terrasse krever $\frac{1}{bredde}$ løpemeter bord.

Furu 28×145 (bredde = 145 mm = 0,145 m)

Antall løpemeter per kvadratmeter:

\frac{1}{0,145} \approx 6,897 m / m^{2}

Pris per kvadratmeter:

6,897 m / m^{2} \cdot 67,90 k r / m \approx 468,28 k r / m^{2}

Furu 28×95 (bredde = 95 mm = 0,095 m)

Antall løpemeter per kvadratmeter:

\frac{1}{0,095} \approx 10,526 m / m^{2}

Pris per kvadratmeter:

10,526 m / m^{2} \cdot 49,90 k r / m \approx 525,26 k r / m^{2}

Det brede brettet (28×145) er billigst per kvadratmeter, selv om meterprisen er høyere.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 2 poeng

En kandidat som gjør noen riktige beregninger, kan få 1 poeng.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Areal og omkrets, Enhetskostnad, Økonomi
Kompetansemål: Tolke og bruke samansette måleiningar i praktiske samanhengar og velje eigna måleining
Modellere situasjonar knytte til tema frå samfunnsliv og arbeidsliv, presentere og argumentere for resultata og for når modellane er gyldige
Egen side: Åpne oppgave 2-5 for seg selv

Oppgave 2-6Isabels sylinderformede bokser

Isabel er industridesigner. Hun arbeider med et design på bokser med form som sylindre.

Sylinder

Isabel lurer på hvor stor radius hun bør velge og hvor høye boksene må være, når hver boks skal ha

et volum $V$ på 450 cm³
minst mulig overflate $O$

Isabel ser at når hun har gitt volum og radius, kan hun regne ut høyden ved å bruke formelen $V = π \cdot r^{2} \cdot h$

Kalkulator

Lag en oversikt som vist nedenfor. Gjør beregninger og fyll inn verdiene som mangler.

Radius, $r$ (cm)	Høyde, $h$ (cm)	Overflate, $O$ (cm²)	Volum, $V$ (cm³)
2	$35,8$	$462,6$	450
4			450
6			450
8			450

Isabel ønsker å lage en modell som viser overflaten av ulike bokser hun kan lage ved å endre radius.

Krever PC

Sett opp et funksjonsuttrykk Isabel kan bruke, og lag en grafisk framstilling som viser sammenhengen mellom radius og overflate.

Krever PC

Hvor stor må radius i boksene være for at overflaten skal bli minst mulig? Hvor stor blir overflaten da?

Fasit

Tabell 1:

Radius, $r$ (cm)	Høyde, $h$ (cm)	Overflate, $O$ (cm²)	Volum, $V$ (cm³)
2	$35,8$	$462,6$	450
4	$8,95$	$275,3$	450
6	$3,98$	$263,1$	450
8	$2,24$	$313,6$	450

$O (r) = π r^{2} + \frac{900}{r}$

Radius $r \approx 5,23 cm$ gir minst mulig overflate $O \approx 258 {cm}^{2}$ .

LøsningsforslagKI-generert

Oppgaven oppgir at $V = 450 {cm}^{3}$ og at $V = π \cdot r^{2} \cdot h$ . Vi løser for høyden:

h = \frac{V}{π \cdot r^{2}} = \frac{450}{π \cdot r^{2}}

Vi bruker dette til å fylle inn tabellen for hvert valg av $r$ :

$r = 4$ :

h = \frac{450}{π \cdot 4^{2}} = \frac{450}{16 π} \approx 8,95 cm

O = π \cdot 4^{2} + 2 π \cdot 4 \cdot 8,95 \approx 50,3 + 225,0 \approx 275,3 {cm}^{2}

$r = 6$ :

h = \frac{450}{π \cdot 6^{2}} = \frac{450}{36 π} \approx 3,98 cm

O = π \cdot 6^{2} + 2 π \cdot 6 \cdot 3,98 \approx 113,1 + 150,0 \approx 263,1 {cm}^{2}

$r = 8$ :

h = \frac{450}{π \cdot 8^{2}} = \frac{450}{64 π} \approx 2,24 cm

O = π \cdot 8^{2} + 2 π \cdot 8 \cdot 2,24 \approx 201,1 + 112,5 \approx 313,6 {cm}^{2}

Fullstendig tabell:

Radius, $r$ (cm)	Høyde, $h$ (cm)	Overflate, $O$ (cm²)	Volum, $V$ (cm³)
2	$35,8$	$462,6$	450
4	$8,95$	$275,3$	450
6	$3,98$	$263,1$	450
8	$2,24$	$313,6$	450

Vi setter uttrykket for $h$ inn i formelen for overflaten:

O = π r^{2} + 2 π r \cdot h = π r^{2} + 2 π r \cdot \frac{450}{π r^{2}} = π r^{2} + \frac{900}{r}

Funksjonsuttrykket er:

O (r) = π r^{2} + \frac{900}{r}

Grafen nedenfor viser sammenhengen mellom radius $r$ og overflaten $O$ . Bunnpunktet A er markert.

Graf av overflaten O(r)

I GeoGebra brukes kommandoene:

O(r) = pi * r^2 + 900/r
Extremum(O, 1, 10)

Fra grafen leser vi av at bunnpunktet er ved $A \approx (5,23; 258,02)$ .

Radius $r \approx 5,23 cm$ gir minst mulig overflate $O \approx 258 {cm}^{2}$ .

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 6 poeng

En kandidat som gjør noen riktige beregninger, kan få 1 poeng.

En kandidat som ikke viser hvordan svarene framkommer, får høyst 1 poeng.

I utgangspunktet gis 1 poeng for riktig funksjonsuttrykk og 1 poeng for en riktig grafisk framstilling som kommuniserer godt.

Funksjonsuttrykk og grafiske framstillinger som ikke er riktige, gir ingen uttelling.

I utgangspunktet gis ett poeng for hvert riktig svar som er gjort rede for.

Følgefeil kan gi uttelling, dersom svarene som framkommer er rimelige ut fra situasjonen i oppgaven og tabellen i oppgave a).

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 6
Temaer: Volum, Areal og omkrets, Optimering, Funksjoner
Kompetansemål: Tolke og bruke funksjonar i matematisk modellering og problemløysing
Tolke og bruke formlar som gjeld samfunnsliv og arbeidsliv
Egen side: Åpne oppgave 2-6 for seg selv

Oppgave 2-7Sofie lager bagetter hjemme

Kalkulator

Sofie kjøper en bagett med smør, ost, skinke, tomat og salat i kantina på skolen hver dag. Bagetten koster 65 kroner.

Sofie vurderer om hun heller skal kjøpe bagetter i en butikk, smøre dem selv og ta dem med på skolen.

Priser på ingredienser til bagett

Gjør nødvendige antakelser og finn ut hvor mye Sofie vil kunne spare i løpet av en måned dersom hun kjøper bagetter i en butikk og smører dem selv.

Fasit

Sofie sparer omtrent $650 kr$ i måneden.

LøsningsforslagKI-generert

For å løse oppgaven må vi gjøre antakelser om hvor mye av hver ingrediens som går til én bagett, og hvor mange skoledager det er i en måned.

Antakelser om ingrediensmengder per bagett:

Ingrediens	Antakelse	Pris per bagett
Bagett (pakke à 2 stk, kr 19,90)	1 bagett = halvparten av pakken	$19,90 \div 2 = 9,95 kr$
Tomat (kr 4,29 per stk)	1 tomat per bagett	$4,29 kr$
Kokt skinke 110 g (kr 32,30)	ca. 30 g per bagett	$32,30 \cdot \frac{30}{110} \approx 8,81 kr$
Crispi salat 150 g (kr 20,00)	ca. 20 g per bagett	$20,00 \cdot \frac{20}{150} \approx 2,67 kr$
Norvegia 500 g (kr 83,00)	ca. 30 g ost per bagett	$83,00 \cdot \frac{30}{500} \approx 4,98 kr$
Meierismør 250 g (kr 36,90)	ca. 10 g smør per bagett	$36,90 \cdot \frac{10}{250} \approx 1,48 kr$

Kostnad per bagett hjemme:

9,95 + 4,29 + 8,81 + 2,67 + 4,98 + 1,48 \approx 32 kr

Innsparing per dag:

65 - 32 = 33 kr

Antakelse om skoledager per måned:

En vanlig skoleuke har 5 dager. En måned har omtrent 4 uker med skole, altså omtrent 20 skoledager.

Innsparing per måned:

33 \cdot 20 = 660 kr

Sofie vil kunne spare omtrent $650 kr$ i løpet av en måned ved å lage bagettene selv. (Eksakt svar varierer avhengig av antakelsene som gjøres.)

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 3 poeng

En kandidat som gjør rimelige antakelser, beregner riktig pris ut fra antakelsene som er gjort, og konkluderer ut fra dette, får full uttelling.

En kandidat som gjør noen antakelser og beregninger, men ikke kommer helt i mål, kan få 1 eller 2 poeng.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Økonomi, Modellering
Kompetansemål: Modellere situasjonar knytte til tema frå samfunnsliv og arbeidsliv, presentere og argumentere for resultata og for når modellane er gyldige
Egen side: Åpne oppgave 2-7 for seg selv

Del 1uten hjelpemidler · 2 timer · 8 oppgaver · 18 poeng

Oppgave 1-1·Sjokoladeplate på bensinstasjon

Oppgave 1-2·Prosentvis framgang for partier

Oppgave 1-3·Omvendt proporsjonale størrelser

Oppgave 1-4·To løsninger med potensuttrykk

Oppgave 1-5·Blodceller i standardform

Oppgave 1-6·Figurtall med grønne kvadrater

Oppgave 1-7·Lars sin spareplan

Oppgave 1-8·Noras bøtte med godteri

Del 2alle hjelpemidler · 3 timer · 7 oppgaver · 24 poeng

Oppgave 2-1·Kikhoste som eksponentiell vekst

Oppgave 2-2·Stikk UT! og turstatistikk

Oppgave 2-3·Elise selger aviser

Oppgave 2-4·Dagbladet Lørdag uten rabatt

Oppgave 2-5·Pris per kvadratmeter terrassebord

Oppgave 2-6·Isabels sylinderformede bokser

Oppgave 2-7·Sofie lager bagetter hjemme

Temaer

Oppgave 1-1Sjokoladeplate på bensinstasjon

Oppgave 1-2Prosentvis framgang for partier

Oppgave 1-3Omvendt proporsjonale størrelser

Oppgave 1-4To løsninger med potensuttrykk

Oppgave 1-5Blodceller i standardform

Oppgave 1-6Figurtall med grønne kvadrater

Oppgave 1-7Lars sin spareplan

Oppgave 1-8Noras bøtte med godteri

Oppgave 2-1Kikhoste som eksponentiell vekst

Oppgave 2-2Stikk UT! og turstatistikk

Oppgave 2-3Elise selger aviser

Oppgave 2-4Dagbladet Lørdag uten rabatt

Oppgave 2-5Pris per kvadratmeter terrassebord

Oppgave 2-6Isabels sylinderformede bokser

Oppgave 2-7Sofie lager bagetter hjemme