Temperatur i hytte med potens- og eksponentialmodell

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Da Eline og Malene kom til hytta, var temperaturen i stua $2{,}0 \mathrm{~\degree C}$ . De skrudde på varmen og stilte termostaten på $20 \mathrm{~\degree C}$ . Tabell 1 viser temperaturen i stua $x$ minutter etter at de skrudde på varmen.

Tid (minutter)	1	5	10	20	30	50	80	120
Temperatur (°C)	$2{,}0$	$3{,}7$	$5{,}3$	$8{,}0$	$10{,}2$	$13{,}4$	$16{,}4$	$18{,}4$

Tabell 1

Eline og Malene vil lage en modell som viser temperaturen i stua $x$ minutter etter at de skrudde på varmen. De starter med å bruke tallene i tabell 1 til å lage en modell $T_1$ på formen $T_1(x)=a\cdot x^b$ .

Bestem tallene $a$ og $b$ .

Vurder gyldighetsområdet til modellen $T_1$ .

Eline og Malene ønsker å forbedre modellen $T_1$ . Eline foreslår at de skal trekke $20 \mathrm{~\degree C}$ fra hver temperatur de har målt, og heller bruke en eksponentialfunksjon som modell. Hun setter opp en ny tabell.

Tid (minutter)	1	5	10	20	30	50	80	120
Korrigert temperatur (°C)	$-18{,}0$	$-16{,}3$	$-14{,}7$	$-12{,}0$	$-9{,}8$	$-6{,}6$	$-3{,}6$	$-1{,}6$

Tabell 2

Lag en eksponentialfunksjon $f$ som passer godt til tallene i tabell 2.

Tegn grafen til $T_1$ og grafen til $f$ i samme koordinatsystem. Beskriv forskjeller mellom de to grafene.

Malene mener de kan bruke funksjonen $f$ til å lage en bedre modell enn $T_1$ for temperaturen i stua. «Vi løfter grafen til $f$ opp $20\mathrm{~\degree C}$ , slik at den starter omtrent i punktet $(0,2)$ », sier hun. «Da vil den passe perfekt.»

Bruk funksjonen $f$ , og lag en modell $T_2$ ved å gjøre som Malene foreslår. Hva vil temperaturen i stua være etter 4 timer ifølge modellen $T_2$ ?

Fasit

$\underline{\underline{T_1(x) \approx 1{,}85 \cdot x^{0{,}49}}}$

Modellen gjelder bare i et begrenset tidsintervall (omtrent de to første timene). For store $x$ vokser $T_1$ ubegrenset og overstiger snart $20 \mathrm{~°C}$ .

$\underline{\underline{f(x) \approx -18{,}16 \cdot 0{,}980^x}}$

Se graf. $T_1$ er positiv og vokser uten grense. $f$ er negativ og nærmer seg $0$ nedenfra (asymptote $y = 0$ ).

$T_2(x) = 20 - 18{,}16 \cdot 0{,}980^x$ . Etter 4 timer: $\underline{\underline{T_2(240) \approx 19{,}86 \mathrm{~°C}}}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi bruker potensregresjon i GeoGebra CAS med tallene fra tabell 1.

T\text{1Data} := \{(1;\,2{,}0),\,(5;\,3{,}7),\,(10;\,5{,}3),\,(20;\,8{,}0),\,(30;\,10{,}2),\,(50;\,13{,}4),\,(80;\,16{,}4),\,(120;\,18{,}4)\}

\texttt{RegPot(T1Data)}

CAS-regresjon

GeoGebra gir $a \approx 1{,}85$ og $b \approx 0{,}49$ , det vil si:

\boxed{T_1(x) \approx 1{,}85 \cdot x^{0{,}49}}

$T_1(x) \approx 1{,}85 \cdot x^{0{,}49}$

$T_1$ er en potensfunksjon som vokser ubegrenset når $x$ øker. I virkeligheten kan temperaturen ikke overstige termostatens innstilte temperatur på $20 \mathrm{~°C}$ . Vi ser allerede at $T_1(150) \approx 21{,}5 \mathrm{~°C}$ , som er urealistisk.

Modellen er kun gyldig i et begrenset tidsrom — omtrent for de første to timene ( $x \lesssim 120 \mathrm{~min}$ ) der datapunktene i tabell 1 ligger. For store verdier av $x$ gir modellen temperaturer som overstiger $20 \mathrm{~°C}$ , noe som ikke er fysisk mulig.

Vi bruker eksponentialregresjon i GeoGebra CAS med den korrigerte temperaturen fra tabell 2.

La $g(x) = 18{,}16 \cdot 0{,}980^x$ (regresjon på de positive verdiene av $|$ korrigert temperatur $|$ ). Da er eksponentialfunksjonen som passer til tabell 2:

f(x) \approx -18{,}16 \cdot 0{,}980^x

GeoGebra gir koeffisientene $a \approx -18{,}16$ og $b \approx 0{,}980$ (se CAS-skjermbidet fra oppgave a):

\boxed{f(x) \approx -18{,}16 \cdot 0{,}980^x}

$f(x) \approx -18{,}16 \cdot 0{,}980^x$

Vi tegner grafene til $T_1$ og $f$ i samme koordinatsystem i GeoGebra.

Grafer for T1 og f

Forskjeller mellom de to grafene:

$T_1$ (grønn) er positiv for alle $x > 0$ og vokser ubegrenset — den har ingen horisontal asymptote.
$f$ (blå) er negativ for alle $x > 0$ og nærmer seg $0$ nedenfra etter hvert som $x$ øker — den har horisontal asymptote $y = 0$ .
$T_1$ øker raskest i begynnelsen (typisk potensatferd), mens $f$ flater ut mot asymptoten gradvis (typisk eksponentiell nedgang).

Malene foreslår å «løfte grafen til $f$ opp $20 \mathrm{~°C}$ ». Det betyr at vi legger til $20$ til $f(x)$ :

T_2(x) = f(x) + 20 = 20 - 18{,}16 \cdot 0{,}980^x

Etter 4 timer er $x = 4 \cdot 60 = 240 \mathrm{~min}$ . Vi regner ut:

T_2(240) = 20 - 18{,}16 \cdot 0{,}980^{240}

Fra GeoGebra CAS (se skjermbildet fra oppgave a):

T_2(240) \approx 19{,}86 \mathrm{~°C}

Ifølge modellen $T_2$ vil temperaturen i stua være omtrent $\underline{\underline{19{,}86 \mathrm{~°C}}}$ etter 4 timer.

Oppgavedata

Hentet fra: 1P V2022, del 2, oppgave 7
Delt med: 1T, 1P
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 8
Temaer: Regresjon, Potensfunksjon, Eksponentialfunksjon, Modellering
Kompetansemål: Modellere situasjonar knytte til ulike tema, drøfte, presentere og forklare resultata og argumentere for om modellane er gyldige
Utforske og beskrive eigenskapane ved polynomfunksjonar, rasjonale funksjonar, eksponentialfunksjonar og potensfunksjonar

Temperatur i hytte med potens- og eksponentialmodell

Sync på tvers av enheter

Temperatur i hytte med potens- og eksponentialmodell

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave