Klossmønster i tre figurer

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Tre figurer satt sammen av klosser

Ovenfor ser du tre figurer. Figurene er satt sammen av små klosser. Roar vil fortsette å lage figurer etter samme mønster.

Hvor mange klosser trenger han for å lage figur 5?

Hvor mange klosser trenger han til sammen for å lage de 10 første figurene?

Roar har 10 000 klosser. Han vil starte med den minste figuren og lage én figur i hver størrelse.

Hvor mange figurer kan han lage? Hvor mange klosser vil han ha igjen når han har laget figurene?

Fasit

$\underline{\underline{55 \text{ klosser}}}$

$\underline{\underline{1210 \text{ klosser}}}$

Roar kan lage $\underline{\underline{17 \text{ figurer}}}$ og har $\underline{\underline{1279 \text{ klosser}}}$ igjen.

LøsningsforslagKI-generert

Hver figur er en pyramide der lagene ovenfra og ned er $1\times1$ , $2\times2$ , $3\times3$ , … Figur $n$ består altså av lagene $1^2, 2^2, \ldots, n^2$ klosser:

Figurnummer $n$	1	2	3
Antall klosser	$1$	$1+4=5$	$1+4+9=14$

Antall klosser i figur $n$ er summen av de $n$ første kvadrattallene:

f(n) = \sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}

Figur 5 har

f(5) = 1+4+9+16+25 = \frac{5 \cdot 6 \cdot 11}{6} = \mathbf{55 \text{ klosser}}

Vi trenger summen av antall klosser i de 10 første figurene. La $g(n)$ være denne summen:

g(n) = \sum_{m=1}^{n} f(m) = \sum_{m=1}^{n} \frac{m(m+1)(2m+1)}{6}

Vi bruker GeoGebra CAS til å sette opp $f(n)$ og $g(n)$ og regne ut:

GeoGebra CAS – klossmønster: figur 5, sum av 10 første, og kumulativ sum

CAS gir $g(10) = \mathbf{1210 \text{ klosser}}$ (se linje 4 i utklippet).

Roar lager én figur i hver størrelse, fra den minste og oppover. Han kan lage figurene så lenge den totale klossmengden $g(n)$ ikke overstiger $10\,000$ . Fra CAS-utklippet (linje 5 og 6):

g(17) = 8\,721 \leq 10\,000 \qquad g(18) = 10\,830 > 10\,000

Roar kan altså lage $\underline{\underline{17 \text{ figurer}}}$ . Antall klosser igjen er

10\,000 - 8\,721 = \mathbf{1279 \text{ klosser}}

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 5 poeng

Riktig svar uten begrunnelse gir 1 poeng.

Oppgavedata

Hentet fra: 1P V2022, del 2, oppgave 6
Delt med: 1T, 1P
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 5
Temaer: Mønstre, Figurtall, Rekker, Modellering
Kompetansemål: Modellere situasjonar knytte til ulike tema, drøfte, presentere og forklare resultata og argumentere for om modellane er gyldige

Klossmønster i tre figurer

Sync på tvers av enheter

Klossmønster i tre figurer

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave