1P Vår 2018

Oppslutningen gikk fra $\mathrm{5,6}\%$ i 2013 til $\mathrm{4,2}\%$ i 2017. Nedgangen i prosentpoeng finner vi ved å ta differansen mellom de to prosentverdiene:

Oppslutningen gikk altså tilbake med $\underline{\underline{\mathrm{1,4}\text{ prosentpoeng}}}$.

For å finne hvor mange prosent oppslutningen gikk tilbake med, må vi sammenligne nedgangen med startverdien (oppslutningen i 2013), ikke bare ta differansen i prosentpoeng. Nedgangen i prosentpoeng deler vi på startverdien:

Oppslutningen til Kristelig Folkeparti gikk altså tilbake med $\underline{\underline{25\%}}$ fra 2013 til 2017.

Det koster $13000\mathrm{kr}$ i fast grunnbeløp, uansett hvor mange kjøretimer Mads tar. I tillegg koster hver kjøretime $600\mathrm{kr}$, så $x$ kjøretimer koster $600x$ kroner.

Den totale prisen $K(x)$ er summen av grunnbeløpet og timeprisen:

Vi finner noen punkter på grafen ved å sette inn ulike verdier for $x$ i $K(x)=600x+13000$:

Siden $K$ er en lineær funksjon, blir grafen en rett linje. Vi setter av punktene i et koordinatsystem med $x$ langs den vannrette aksen og $K(x)$ langs den loddrette aksen, og trekker en rett strek gjennom dem. Linja skjærer den loddrette aksen i $13000$ (grunnbeløpet) og stiger $600$ kroner for hver kjøretime.

To størrelser er proporsjonale bare hvis grafen er en rett linje som går gjennom origo, altså at $K(0)=0$.

Her er $K(0)=600\cdot 0+13000=13000\ne 0$, så grafen går ikke gjennom origo.

Vi kan også se det ved å sjekke om forholdet ${\displaystyle \frac{K(x)}{x}}$ er konstant:

Forholdet er ikke det samme, så prisen og antall kjøretimer er ikke proporsjonale størrelser.

Siden av lampeskjermen har form som et trapes med parallelle sider $10\mathrm{cm}$ og $20\mathrm{cm}$. For å finne arealet trenger vi høyden $h$ i trapeset.

Den skrå siden, høyden og avstanden $5\mathrm{cm}$ fra høydens fotpunkt til hjørnet danner en rettvinklet trekant, der den skrå siden ($13\mathrm{cm}$) er hypotenusen. Vi bruker Pytagoras’ setning:

Arealet av et trapes er $A={\displaystyle \frac{a+b}{2}}\cdot h$, der $a$ og $b$ er de parallelle sidene:

Arealet av én side av lampeskjermen er $180{\mathrm{cm}}^2$.

Lampeskjermen har fire like sider, så det totale arealet av stoff uten overlapp og kanter er

Det må beregnes $10\%$ ekstra stoff til overlapp og kanter. Det tilsvarer å gange med vekstfaktoren $\mathrm{1,10}$:

Det går med $792{\mathrm{cm}}^2$ stoff til lampeskjermen.

Vi taster inn funksjonsuttrykket

i en graftegner, med definisjonsmengden $0\le x\le 20$. Grafen viser hvordan temperaturen endrer seg fra midnatt ($x=0$) til klokka 20 ($x=20$):

Vi legger inn linja $y=10$ og finner skjæringspunktene $S_1$ og $S_2$ med grafen til $T$, som vist på figuren i a). Skjæringspunktene er

$x=\mathrm{1,01}$ timer etter midnatt tilsvarer klokka $\mathrm{00,013}\cdot 60\approx 1$ minutt over midnatt, altså kl. 01:01.

$x=\mathrm{7,44}$ timer etter midnatt tilsvarer $\mathrm{0,44}\cdot 60\approx 27$ minutter over klokka 7, altså kl. 07:27.

Temperaturen var altså $10°\text{C}$ klokka $\underline{\underline{01:01}}$ og klokka $\underline{\underline{07:27}}$ — første gang temperaturen synker forbi $10°\text{C}$ på natta, og andre gang den stiger forbi $10°\text{C}$ utover morgenen.

I intervallet $0\le x\le 20$ har grafen ett bunnpunkt og ett toppunkt, funnet med graftegneren (se figuren i a)):

Vi sjekker også endepunktene: $T(0)=13°\text{C}$ og $T(20)=19°\text{C}$, som begge ligger mellom bunn- og toppverdien. Laveste temperatur i perioden er dermed $\mathrm{6,65}°\text{C}$ (ved $x\approx \mathrm{3,95}$, altså like før kl. 04:00), og høyeste temperatur er $\mathrm{24,13}°\text{C}$ (ved $x\approx \mathrm{16,42}$, altså rundt kl. 16:25).

Forskjellen mellom høyeste og laveste temperatur blir

Forskjellen mellom høyeste og laveste temperatur i perioden er $\underline{\underline{\mathrm{17,5}°\text{C}}}$.

Vi finner først bruttolønnen til Silje denne måneden. Hun har timelønn $210\mathrm{kr}$ og jobbet $\mathrm{162,5}$ timer:

Silje betaler $2\%$ av bruttolønnen i pensjonsavgift. Pensjonsavgiften trekkes fra bruttolønnen før skatten regnes ut:

Av dette beløpet trekkes det $32\%$ i skatt:

Utbetalt lønn (nettolønn) er det som er igjen etter skattetrekket:

Silje fikk utbetalt $22\mathrm{740,90}\mathrm{kr}$ denne måneden.

$\underline{\underline{22\mathrm{740,90}\mathrm{kr}}}$

Feriepengene på $47736$ kroner utgjør $\mathrm{12,0}\%$ av feriepengegrunnlaget. Vi kaller feriepengegrunnlaget for $G$ og setter opp likningen:

Feriepengegrunnlaget til Silje for 2017 var $397800\mathrm{kr}$.

$\underline{\underline{397800\mathrm{kr}}}$

Av de $640$ elevene legger ${\displaystyle \frac{1}{4}}\cdot 640=160$ elever seg før klokka 23. De resterende $640-160=480$ elevene legger seg etter klokka 23.

Blant dem som legger seg før klokka 23, har ${\displaystyle \frac{4}{5}}\cdot 160=128$ elever karaktersnitt over fire, mens $160-128=32$ elever har karaktersnitt fire eller lavere.

Blant dem som legger seg etter klokka 23, har ${\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot 480=160$ elever karaktersnitt over fire, mens $480-160=320$ elever har karaktersnitt fire eller lavere.

Dette gir krysstabellen:

Sannsynligheten for at en tilfeldig valgt elev har karaktersnitt over fire, er summen i kolonnen «Snitt over fire» delt på totalt antall elever:

$\underline{\underline{P(\text{over fire})=\mathrm{0,45}}}$

Vi vet nå at eleven har karaktersnitt over fire, så utfallsrommet innskrenkes til de $288$ elevene i kolonnen «Snitt over fire». Av disse legger $128$ seg før klokka 23:

$\underline{\underline{P(\text{før kl. 23}|\text{over fire})={\displaystyle \frac{4}{9}}\approx \mathrm{0,44}}}$

Det vil si at det er cirka $44\%$ sannsynlighet for at eleven legger seg før klokka 23, gitt at han eller hun har et karaktersnitt over fire.

Linjene $AE$ og $CD$ krysser hverandre i punktet $B$. Da er $\angle ABC$ og $\angle DBE$ toppvinkler, og toppvinkler er alltid like store:

I tillegg står både $AC$ og $DE$ vinkelrett på $AE$, slik at

Trekant $ABC$ og trekant $EBD$ har dermed to par like vinkler, og er formlike.

Punktet $F$ ligger på $AC$ og punktet $G$ ligger på $CB$ (en del av $CD$), og $FG$ er parallell med $AE$ (og dermed med $AB$). Trekant $FGC$ har vinkel $C$ felles med trekant $ABC$, og siden $FG\parallel AB$ er samsvarende vinkler like store (parallelle linjer skåret av $CA$ og $CB$). Da er også trekant $FGC$ formlik med trekant $ABC$.

Alle tre trekantene — $ABC$, $BDE$ og $FGC$ — er dermed formlike.

I de formlike trekantene $ABC$ og $EBD$ er $AB$ og $EB$ samsvarende sider, og $AC$ og $ED$ er samsvarende sider. Forholdet mellom samsvarende sider er likt:

Vi setter inn kjente verdier ($AB=80\mathrm{m}$, $EB=20\mathrm{m}$, $ED=32\mathrm{m}$):

$AC=128\mathrm{m}$.

Siden $F$ ligger på $AC$ med $AF=20\mathrm{m}$, er

I de formlike trekantene $FGC$ og $ABC$ er $CF$ og $CA$ samsvarende sider, og $FG$ og $AB$ er samsvarende sider:

Dette viser at $FG=\mathrm{67,5}\mathrm{m}$, som skulle vises.

$\underline{\underline{AC=128\mathrm{m}}}$

Området $ABGF$ er et trapes. De to parallelle sidene er $AB=80\mathrm{m}$ og $FG=\mathrm{67,5}\mathrm{m}$. Høyden i trapeset er den vinkelrette avstanden mellom disse to sidene, og siden $F$ ligger på $AC$ (som står vinkelrett på $AE$) med $AF=20\mathrm{m}$, er høyden i trapeset $20\mathrm{m}$.

Arealet av trapeset $ABGF$ blir da:

Sandlaget er $15\mathrm{cm}=\mathrm{0,15}\mathrm{m}$ tykt, så volumet av sanden blir:

Kristian trenger $\mathrm{221,25}{\mathrm{m}}^3$ sand.

$\underline{\underline{\mathrm{221,25}{\mathrm{m}}^3}}$

En størrelse er proporsjonal med en annen når lønnen er null når antall kurver er null, og lønnen øker med et fast beløp per kurv (lønn $=k\cdot$ antall kurver).

Alternativ 1 gir en fast timelønn på $135$ kroner, uansett hvor mange kurver Olav plukker. Lønnen endrer seg ikke med antall kurver, så dette er ikke proporsjonalitet.

Alternativ 2 gir $80$ kroner fast pluss $3$ kroner per kurv. Lønnen er ikke null når antall kurver er null (den er $80$ kroner), så dette er heller ikke proporsjonalitet.

Alternativ 3 gir $12\%$ av salgsprisen uten mva for hver kurv. Her er lønnen null når antall kurver er null, og lønnen øker med et fast beløp for hver kurv Olav plukker. Dette er proporsjonalitet.

Det er $\text{bare alternativ 3}$ som er proporsjonalt med antall kurver.

$\underline{\underline{\text{Kun alternativ 3}}}$

Vi lar $x$ være antall kurver Olav plukker i løpet av en time. Lønnen i alternativ 1 er $135$ kroner per time, og lønnen i alternativ 2 er $80+3x$ kroner per time.

Vi finner først grensen der de to alternativene gir lik lønn:

Alternativ 2 gir høyere lønn enn alternativ 1 når $x>\mathrm{18,33}$. Siden antall kurver må være et helt tall, må Olav plukke minst $19$ kurver i løpet av en time for at alternativ 2 skal gi høyere lønn enn alternativ 1.

Kontroll: med $19$ kurver gir alternativ 2 $80+3\cdot 19=137$ kroner, som er mer enn $135$ kroner. Med $18$ kurver gir alternativ 2 $80+3\cdot 18=134$ kroner, som er mindre enn $135$ kroner.

$\underline{\underline{\text{Minst }19\text{ kurver}}}$

Salgsprisen for en kurv moreller er $69$ kroner inkludert $15\%$ merverdiavgift. Vi finner prisen uten mva ved å dele på vekstfaktoren $\mathrm{1,15}$:

Prisen uten mva er $60$ kroner per kurv.

I alternativ 3 får Olav $12\%$ av denne prisen per kurv:

Olav tjener altså $\mathrm{7,2}$ kroner per kurv. Vi lar $n$ være antall kurver Olav må plukke for å tjene $1000$ kroner, og setter opp likningen:

Siden antall kurver må være et helt tall, må Olav plukke minst $139$ kurver i løpet av dagen for å tjene $1000$ kroner.

$\underline{\underline{\text{Minst }139\text{ kurver}}}$

Pizzaen er formet som en sylinder med radius $r={\displaystyle \frac{20}{2}}=10\mathrm{cm}$ og høyde $h=\mathrm{1,25}\mathrm{cm}$. Volumet av en sylinder er

Vi setter inn tallene:

Avrundet til nærmeste hele kubikkcentimeter blir dette $393\mathrm{c}{\mathrm{m}}^3$, som stemmer med det vi skulle vise.

$\underline{\underline{V\approx 393\mathrm{c}{\mathrm{m}}^3}}$

I regnearket setter vi inn formler i de gule cellene. Radene 4–6 gjelder «01 Den enkle», radene 7–9 «04 Spesial» og radene 10–12 «07 Hot & Spicy». I hver gruppe representerer den siste raden (rad 6, 9 og 12) den største pizzaen, på $40\mathrm{cm}$ i diameter.

Volum (kolonne D): samme formel som i a), med diameteren hentet fra kolonne B:

Antall biter (kolonne E): volumet delt på $5\mathrm{c}{\mathrm{m}}^3$ per bit, avrundet til nærmeste hele bit:

Pris per bit (kolonne F): prisen delt på antall biter:

Prosent dyrere per bit enn den tilsvarende store pizzaen (kolonne G): vi sammenligner prisen per bit for den lille/mellomstore pizzaen med prisen per bit for den store pizzaen i samme rad-gruppe (for eksempel F6 for «01 Den enkle»):

For den store pizzaen selv (rad 6, 9 og 12) gir ikke sammenligningen mening, så disse cellene i kolonne G står tomme (grå) — det er ikke naturlig å regne ut hvor mye dyrere den store pizzaen er enn seg selv.

Formlene i B–G-kolonnene dras deretter nedover/kopieres til de øvrige radene, slik at cellereferansene automatisk følger raden. Regnearket med formler synlig ser slik ut:

Med tallene beregnet gir formlene disse verdiene:

Vi ser blant annet at for «01 Den enkle» koster hver bit av den minste pizzaen ($20\mathrm{cm}$) om lag $30\%$ mer per bit enn den største pizzaen ($40\mathrm{cm}$), og at det samme mønsteret — at de mindre pizzaene er dyrere per bit — går igjen for alle de tre pizzatypene.