Stable bokser i tårn med to mønstre

Figur 1 og Figur 2 - to ulike stablemønstre for bokser

Marius og Maria arbeider i en dagligvarebutikk. De skal stable bokser med erter.

Marius stabler boksene som vist i figur 1. I figur 1 har han laget et tårn med fire etasjer.

Hvor mange bokser trenger Marius for å lage et tårn med 20 etasjer dersom han stabler boksene på denne måten?

Marius har 400 bokser.

Hvor mange etasjer vil det være i det største tårnet han kan lage?

Maria vil stable boksene som vist i figur 2. I figur 2 har hun laget et tårn med tre etasjer.

Hvor mange bokser trenger Maria for å lage et tårn med 20 etasjer dersom hun stabler boksene på denne måten?

Maria har 4000 bokser.

Hvor mange etasjer vil det være i det største tårnet hun kan lage?

Fasit

$\underline{\underline{210 \text{ bokser}}}$

$\underline{\underline{27 \text{ etasjer}}}$

$\underline{\underline{1540 \text{ bokser}}}$

$\underline{\underline{27 \text{ etasjer}}}$

LøsningsforslagKI-generert

Mønsteret til Marius (figur 1)

Vi teller bokser per etasje i figur 1:

Etasje	1	2	3	4
Bokser	1	2	3	4

Mønsteret er at etasje $k$ har $k$ bokser. Det totale antallet bokser i et tårn med $n$ etasjer er summen

1 + 2 + 3 + \cdots + n = \frac{n \cdot (n+1)}{2}

Vi kan kontrollere med 4 etasjer: $\dfrac{4 \cdot 5}{2} = 10$ bokser. Dette stemmer med figuren (1+2+3+4=10). ✓

Vi bruker formelen med $n = 20$ :

\frac{20 \cdot 21}{2} = \frac{420}{2} = \mathbf{\underline{\underline{210}}}

Marius trenger $\underline{\underline{210 \text{ bokser}}}$ for et tårn med 20 etasjer.

Vi skal finne det største hele tallet $n$ slik at $\dfrac{n \cdot (n+1)}{2} \leq 400$ .

Vi prøver verdier:

$n$	$\dfrac{n(n+1)}{2}$	$\leq 400$ ?
27	$\dfrac{27 \cdot 28}{2} = 378$	Ja
28	$\dfrac{28 \cdot 29}{2} = 406$	Nei

Med 27 etasjer bruker Marius 378 bokser, men til 28 etasjer trengs 406 bokser — det er for mange.

Det største tårnet Marius kan lage har $\underline{\underline{27 \text{ etasjer}}}$ .

Mønsteret til Maria (figur 2)

Maria stabler i en trekantbasert pyramide (tetraeder). Hvert lag er en trekant sett ovenfra, og hver etasje er selv et triangeltall: øverste lag har 1 boks, neste lag har $1+2 = 3$ bokser, tredje lag har $1+2+3 = 6$ bokser:

Etasje	1	2	3
Bokser	1	3	6

Etasje $k$ har altså $\dfrac{k(k+1)}{2}$ bokser (et triangeltall). Det totale antallet bokser i et tårn med $n$ etasjer er summen av disse triangeltallene:

\frac{1 \cdot 2}{2} + \frac{2 \cdot 3}{2} + \cdots + \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n \cdot (n+1) \cdot (n+2)}{6}

Vi kontrollerer med 3 etasjer: $\dfrac{3 \cdot 4 \cdot 5}{6} = \dfrac{60}{6} = 10$ bokser (1+3+6=10). ✓

Vi bruker formelen med $n = 20$ :

\frac{20 \cdot 21 \cdot 22}{6} = \frac{9240}{6} = \mathbf{\underline{\underline{1540}}}

Maria trenger $\underline{\underline{1540 \text{ bokser}}}$ for et tårn med 20 etasjer.

Vi skal finne det største hele tallet $n$ slik at $\dfrac{n(n+1)(n+2)}{6} \leq 4000$ .

Vi prøver verdier:

$n$	$\dfrac{n(n+1)(n+2)}{6}$	$\leq 4000$ ?
27	$\dfrac{27 \cdot 28 \cdot 29}{6} = 3654$	Ja
28	$\dfrac{28 \cdot 29 \cdot 30}{6} = 4060$	Nei

Med 27 etasjer bruker Maria 3654 bokser, men til 28 etasjer trengs 4060 bokser — det er for mange.

Det største tårnet Maria kan lage har $\underline{\underline{27 \text{ etasjer}}}$ .

Oppgavedata

Hentet fra: 1P H2021, del 2, oppgave 7
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 8
Temaer: Mønstre, Andregradslikninger
Kompetansemål: Identifisere variable storleikar i ulike situasjonar og bruke dei til utforsking og generalisering

Stable bokser i tårn med to mønstre

Sync på tvers av enheter

Stable bokser i tårn med to mønstre

Mønsteret til Marius (figur 1)

Mønsteret til Maria (figur 2)

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave