Areal av trekant mellom to lineære grafer

I koordinatsystemet nedenfor ser du grafene til to lineære funksjoner $f$ og $g$ .

To lineære grafer som avgrenser en grønn trekant sammen med x-aksen 1{width=60%}

Bestem $f(x)$ og $g(x)$ .

Bestem arealet av den grønne trekanten.

Fasit

$f(x) = -2x + 3$ og $g(x) = \frac{1}{2}x - 2$

$\underline{\underline{A = \frac{5}{4} \, \mathrm{e}^2}}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi leser av to punkter for hver graf.

Graf f går gjennom $(0, 3)$ og $(2, -1)$ .

Stigningstallet finner vi med formelen $a = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ :

a = \frac{-1 - 3}{2 - 0} = \frac{-4}{2} = -2

Skjæring med $y$ -aksen leser vi av direkte: $b = 3$ .

\textcolor{steelblue}{f(x) = -2x + 3}

Graf g går gjennom $(0, -2)$ og $(2, -1)$ .

a = \frac{-1 - (-2)}{2 - 0} = \frac{1}{2}

Skjæring med $y$ -aksen: $b = -2$ .

\textcolor{seagreen}{g(x) = \frac{1}{2}x - 2}

Den grønne trekanten har tre hjørner: der $f$ krysser $x$ -aksen, der $g$ krysser $x$ -aksen, og der $f$ og $g$ skjærer hverandre.

Nullpunkt til $f$ (der $f(x) = 0$ ):

-2x + 3 = 0

2x = 3

x = \frac{3}{2}

Nullpunktet er $\left(\dfrac{3}{2},\ 0\right)$ .

Nullpunkt til $g$ (der $g(x) = 0$ ):

\frac{1}{2}x - 2 = 0

\frac{1}{2}x = 2

x = 4

Nullpunktet er $(4,\ 0)$ .

Skjæringspunkt mellom $f$ og $g$ :

-2x + 3 = \frac{1}{2}x - 2

3 + 2 = \frac{1}{2}x + 2x

5 = \frac{5}{2}x

x = 2

y = -2 \cdot 2 + 3 = -1

Skjæringspunktet er $(2,\ -1)$ .

Areal av trekanten:

Grunnlinjen ligger langs $x$ -aksen, mellom $x = \dfrac{3}{2}$ og $x = 4$ :

\text{grunnlinje} = 4 - \frac{3}{2} = \frac{5}{2}

Høyden er den loddrette avstanden fra $x$ -aksen ned til skjæringspunktet $(2, -1)$ :

\text{høyde} = 1

A = \frac{1}{2} \cdot \text{grunnlinje} \cdot \text{høyde} = \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{2} \cdot 1 = \frac{5}{4}

Arealet av den grønne trekanten er $\underline{\underline{\dfrac{5}{4} \, \mathrm{e}^2}}$ .

Oppgavedata

Sync på tvers av enheter