1P Høst 2020

Kalkulatoren viser at $1\mathrm{L}$ filterkaffe blir til $8$ kopper. Vi regner om literen til desiliter:

For å finne hvor mange desiliter det blir i hver kopp, deler vi antall desiliter på antall kopper:

Svar: $\underline{\underline{\text{Det blir }\mathrm{1,25}\mathrm{dl}\text{ filterkaffe i hver kopp.}}}$

Kalkulatoren viser at det trengs $6$ strøkne måleskjeer kaffe til $1\mathrm{L}$ filterkaffe. Antall måleskjeer er proporsjonalt med mengden filterkaffe, så vi kan finne antall måleskjeer per liter og gange opp til $\mathrm{1,5}\mathrm{L}$:

Svar: $\underline{\underline{\text{Kalkulatoren vil beregne }9\text{ strøkne måleskjeer kaffe til }\mathrm{1,5}\mathrm{L}.}}$

Figuren består av kvadratet $ABCD$ med sidelengde $2s$ og trekanten $CED$ på toppen.

Arealet av kvadratet finner vi ved å multiplisere sidelengden med seg selv:

Arealet av trekanten finner vi ved å bruke at $F$ er midtpunktet på $DC$, siden $EF$ står vinkelrett på $DC$ og trekant $CED$ er likebeint med $CE=DE$. Da er

I den rettvinklede trekanten $ECF$ er vinkel $\angle ECF={45}^{\circ }$. Siden vinkelsummen i trekanten er ${180}^{\circ }$ og $\angle EFC={90}^{\circ }$, må også $\angle CEF={45}^{\circ }$. Trekant $ECF$ er dermed likebeint med $EF=CF$, altså

Arealet av trekant $CED$ med grunnlinje $DC=2s$ og høyde $EF=s$ blir da

Totalarealet av figuren er summen av kvadratets areal og trekantens areal:

Dette viser at arealet av hele figuren er $\underline{\underline{5s^2}}$.

Arealet av trekanten $CED$ skal være $36{\mathrm{cm}}^2$. Fra a) vet vi at arealet av trekanten er $s^2$, så vi løser likningen

Sidelengden i kvadratet er $2s$, altså

Svar: $\underline{\underline{\text{Sidelengden i kvadratet må være }12\mathrm{cm}.}}$

Vi skal finne sannsynligheten for at ingen av de to som trekkes ut er Charlotte eller Gunnar.

Når den første eleven trekkes, er det $8$ av de $10$ elevene som verken er Charlotte eller Gunnar. Sannsynligheten for at den første trukne eleven ikke er Charlotte eller Gunnar er dermed

Når den andre eleven skal trekkes, er det igjen $9$ elever igjen totalt, og av disse er $7$ verken Charlotte eller Gunnar (siden én av de $8$ “trygge” elevene allerede er trukket ut). Da er

Siden trekningene henger sammen (uten tilbakelegging), multipliserer vi sannsynlighetene:

Sannsynligheten for at verken Charlotte eller Gunnar blir trukket ut, er $\underline{\underline{P={\displaystyle \frac{28}{45}}\approx \mathrm{0,622}}}$.

Vi skal finne sannsynligheten for at begge de to som trekkes er Charlotte og Gunnar.

Sannsynligheten for at den første trukne eleven er enten Charlotte eller Gunnar, er

Gitt at den ene av dem allerede er trukket, er det nå $9$ elever igjen totalt, og bare $1$ av dem (den andre av Charlotte/Gunnar) gir oss det vi ønsker:

Sannsynligheten for at begge blir trukket ut, blir da

Sannsynligheten for at det blir Charlotte og Gunnar som lager kampoppsettet, er $\underline{\underline{P={\displaystyle \frac{1}{45}}\approx \mathrm{0,022}}}$.

Trekant $ABC$ har rett vinkel i $C$. Da er $AB$ hypotenusen, og $AC$ og $BC$ er katetene. Vi bruker Pytagoras’ setning:

Vi setter inn de kjente lengdene og løser for $BC$:

Kateten $BC$ er $\underline{\underline{BC=8\mathrm{m}}}$.

Trekant $ABC$ og trekant $CBD$ har begge en rett vinkel: $\angle ACB=90°$ (oppgitt), og $\angle CDB=90°$ siden $CD$ står vinkelrett på $AB$.

I tillegg har de to trekantene vinkel $B$ felles — det er den samme vinkelen $\angle ABC=\angle CBD$ i begge trekantene.

Når to trekanter har to par vinkler som er like, må også det tredje vinkelparet være like (vinkelsummen i en trekant er alltid $180°$). Dermed har trekant $ABC$ og trekant $CBD$ tre like vinkler, og de er formlike.

Siden trekantene $ABC$ og $CBD$ er formlike, er forholdet mellom tilsvarende sider i trekantene likt. Hypotenusen $AB$ i den store trekanten tilsvarer kateten $CB$ i den lille trekanten, og kateten $AC$ tilsvarer kateten $CD$. Vi kan da sette opp forholdet:

Vi setter inn de kjente lengdene:

Høyden er $\underline{\underline{CD=\mathrm{4,8}\mathrm{m}}}$.

Vi leser av diagrammet på linjen for «Menn». Bjelken for menn peker mot $5$ på den vannrette aksen «Andel i prosent».

Andelen menn i yrkesaktiv alder som ikke er i stand til å arbeide på grunn av uførhet, er $\underline{\underline{5\%}}$.

Vi leser av diagrammet på linjene for «Grunnskole» og «Høyere utdanning»:

• Grunnskole: $13\%$
• Høyere utdanning: $2\%$

Forskjellen mellom de to andelene finner vi ved å trekke den minste andelen fra den største. Siden begge tallene allerede er oppgitt i prosent, blir forskjellen mellom dem oppgitt i prosentpoeng:

Forskjellen er $\underline{\underline{11\text{ prosentpoeng}}}$.

Vi leser av diagrammet på linjene for «Menn» og «Kvinner»:

• Menn: $5\%$
• Kvinner: $9\%$

Oppgaven spør om hvor mange prosent flere kvinner enn menn som er uføre — ikke prosentpoeng. Da må vi sammenligne forskjellen med utgangsverdien, som her er andelen for menn. Siden det er antatt like mange menn som kvinner i yrkesaktiv alder, kan vi bruke prosentandelene direkte i beregningen.

Først finner vi differansen i prosentpoeng:

Deretter regner vi ut hvor stor denne differansen er i prosent av andelen for menn:

Andelen uføre kvinner er $\underline{\underline{80\%}}$ høyere enn andelen uføre menn.

Vi tegner grafen til $P$ for $x\in [0,50]$ i GeoGebra, sammen med den vannrette linja $y=92$ og sekanten gjennom punktene $C=(5,P(5))$ og $D=(20,P(20))$ som skal brukes i c):

Vi finner ut hvor lenge pulsen var høyere enn $92\%$ av makspuls ved å lese av hvor grafen til $P$ ligger over den vannrette linja $y=92$ på grafen over.

Grafen viser at $P(x)>92$ i to atskilte tidsrom: fra ca. $x\approx \mathrm{12,68}$ til $x=30$, og fra ca. $x\approx \mathrm{47,32}$ til $x=50$.

Lengden av det første tidsrommet er

Lengden av det andre tidsrommet er

Til sammen er pulsen til Ole høyere enn $92\%$ av makspuls i

$\underline{\underline{\text{Pulsen var høyere enn }92\%\text{ av makspuls i }20\min }}$

Vi beregner $P(5)$ og $P(20)$:

Stigningstallet til den rette linja (sekanten, se grafen i a)) gjennom punktene $(5,P(5))$ og $(20,P(20))$ er

$\underline{\underline{a=\mathrm{0,675}}}$

Stigningstallet er den gjennomsnittlige endringen i puls per minutt i tidsrommet fra $x=5$ til $x=20$ minutter. Det betyr at pulsen til Ole i gjennomsnitt økte med $\mathrm{0,675}$ prosentpoeng av makspuls per minutt mellom det femte og det tjuende minuttet av skirennet.

Vi setter inn $d=20$, $v=240$ og $t=2$ i formelen

Drypphastigheten er $\underline{\underline{H=40\text{ dråper per minutt}}}$.

Formelen viser at $H$ er omvendt proporsjonal med $t$, siden $t$ står alene i nevneren og $d$ og $v$ ikke endres. Det betyr at når $t$ dobles, blir nevneren dobbelt så stor, og hele brøken $H$ blir da halvert.

For eksempel med samme tall som i a): dersom $t=4$ i stedet for $t=2$, får vi

som er halvparten av $40$. $\underline{\underline{H\text{ blir halvert når }t\text{ dobles}}}$.

Vi kjenner $H=50$, $d=25$ og $t=3$, og skal finne $v$. Vi løser formelen med hensyn på $v$ ved å multiplisere begge sider med $60\cdot t$:

Vi setter inn tallene:

Pasienten skal ha $\underline{\underline{v=360\mathrm{mL}}}$ intravenøs væske.

Sara får et fast grunnbeløp på $12000$ kroner, pluss $\mathrm{0,5}\%$ av salgssummen på $5300000$ kroner. Vi finner først provisjonen:

Brutto månedslønn i september blir da

Timelønnen finner vi ved å dele brutto månedslønn på antall arbeidede timer:

Saras brutto timelønn i september var $\underline{\underline{\approx 207\mathrm{kr}}}$.

Trekkgrunnlaget er det Sara sitter igjen med etter at pensjonstrekket på $2\%$ er trukket fra brutto månedslønn:

Nettolønnen finner vi ved å trekke skatt på $36\%$ av trekkgrunnlaget:

Trekkgrunnlaget var $\underline{\underline{37730\mathrm{kr}}}$, og nettolønnen var $\underline{\underline{24\mathrm{147,20}\mathrm{kr}}}$.

Brutto månedslønn i oktober finner vi ved å multiplisere timelønnen med antall timer:

Denne brutto månedslønnen består av grunnbeløpet på $12000$ kroner pluss $\mathrm{0,5}\%$ av salgssummen $S$. Vi setter opp likningen og løser for $S$:

Sara oppnådde en salgssum på $\underline{\underline{S=7752000\mathrm{kr}}}$ denne måneden.

Vi finner hvor mange prosent KPI økte fra 1950 til 2019 ved å sammenligne økningen med startverdien. Økningen i KPI er

Den prosentvise økningen er

Konsumprisindeksen økte med $\underline{\underline{\approx \mathrm{1990,6}\%}}$ fra 1950 til 2019.

Dersom melkeprisen hadde fulgt konsumprisindeksen, ville prisen i 2019 blitt funnet ved å multiplisere 1950-prisen med forholdet mellom KPI i 2019 og KPI i 1950:

En liter melk ville da ha kostet $\underline{\underline{\approx \mathrm{9,41}\mathrm{kr}}}$ i 2019.

Beholderen består av en sylinder med en halvkule på toppen. Diameteren er $76\mathrm{mm}$, så radien er

Høyden på sylinderen er $h=43\mathrm{mm}=\mathrm{4,3}\mathrm{cm}$.

Volumet av sylinderen er

Volumet av halvkulen er halvparten av volumet til en hel kule:

Totalt volum:

Siden $1{\mathrm{cm}}^3=1\mathrm{mL}$, har beholderen et volum på $\underline{\underline{V\approx 310\mathrm{mL}}}$.

Overflaten av beholderen består av tre deler: bunnflaten (sirkel), mantelflaten (den buede siden) på sylinderen og den buede overflaten på halvkulen. Toppflaten på sylinderen og bunnflaten på halvkulen er indre flater og skal ikke regnes med.

Bunnflaten (sirkel):

Mantelflaten til sylinderen:

Den buede overflaten til halvkulen (halvparten av overflaten til en hel kule):

Totalt overflateareal:

Beholderen har et overflateareal på $\underline{\underline{A\approx \mathrm{238,8}{\mathrm{cm}}^2}}$.

Kostprisen var $65\mathrm{kr}$ per kilogram, og salgsprisen var $80\mathrm{kr}$ per kilogram. Differansen per kilogram er da

For å avgjøre hvilken sats som skal brukes, finner vi hvor mange prosent salgsprisen er høyere enn kostprisen:

Siden salgsprisen er mer enn $10\%$ høyere enn kostprisen, skal $\text{høy sats}$ på $8\%$ brukes.

Total differanse for hele partiet på $1000\mathrm{kg}$ er

Provisjonen blir da

Dette stemmer med at provisjonen for salget ble $\underline{\underline{1200\mathrm{kr}}}$.

Vi setter opp regnearket slik figuren i oppgaven viser, med satsene i egne celler øverst ($B2$ = lav sats, $B3$ = høy sats) slik at de lett kan endres senere (jamfør oppgave c). I de grønne cellene (E6:H10) legges det inn formler som kopieres nedover fra rad 6 til rad 10, og i H11 summeres provisjonen.

Formler:

Formlene i E6:H6 kopieres ned til rad 10.

Resultattabell (med opprinnelige satser $B2=5\%$ og $B3=8\%$):

Vi ser at Vestfisk-raden gir nøyaktig samme tall som i oppgave a) — differanse $15000\mathrm{kr}$, høy sats og provisjon $1200\mathrm{kr}$ — som bekrefter at formlene er riktige.

Vi bruker samme regneark som i b), men endrer satsene i cellene $B2$ og $B3$: lav sats settes til $4\%$, og høy sats settes til $10\%$. Fordi sats og provisjon er bygget opp med formler som refererer til $B2$ og $B3$, oppdateres hele tabellen automatisk.

Ny resultattabell:

Med de nye satsene blir den samlede provisjonen til salgsavdelingen