1P-Y IM Vår 2012

1 mil er 10 km. Deler avstanden på 10.

13 km er 1,3 mil.

1 liter er 10 dl. Deler volumet på 10.

28 dl er 2,8 liter.

1 tonn er 1000 kg. Deler massen på 1000.

200 kg er 0,2 tonn.

Velger enhetene ${\mathrm{m}}^2$ og ${\mathrm{dm}}^2$. Siden $1\mathrm{m}=10\mathrm{dm}$, blir hver av sidene i et kvadrat på $1{\mathrm{m}}^2$ ti ganger så lang målt i desimeter.

Én kvadratmeter er det samme som 100 kvadratdesimeter.

Regner ut innsiden av rottegnet først, deretter roten:

Regner ut parentesen først, så kvadratet, og til slutt hele uttrykket:

Ganger alle ledd på begge sider med $2$ for å bli kvitt brøken, og samler så $x$-leddene:

Løsningen på likningen er $\underline{\underline{x=1}}$.

Den som blir nummer tre, får minst. Kaller det beløpet for $x$ kr. Nummer to skal ha dobbelt så mye som nummer tre, altså $2x$ kr, og den raskeste skal ha dobbelt så mye som nummer to, altså $4x$ kr.

Til sammen skal de tre beløpene bli $280$ kr. Setter opp og løser likningen:

Nummer tre får $40$ kr, nummer to får $2\cdot 40\mathrm{kr}=80\mathrm{kr}$, og den raskeste får:

Den som løper raskest, får 160 kroner.

13-trikken har flere stoppesteder enn 19-trikken. Finner først differansen:

Regner ut hvor mange prosent $6$ er av $25$ (antall stoppesteder på 19-trikken, som vi sammenligner med):

13-trikken har $24\%$ flere stoppesteder enn 19-trikken.

$30\%$ av jentene bruker refleks, og $30\%$ av guttene bruker refleks. Siden andelen er lik i begge grupper, er andelen av alle elevene også $30\%$ — uansett hvor mange gutter og jenter det er på skolen.

Svaret er alternativ III: $30\%$ av alle elevene bruker refleks.

Timelønnen om kvelden er $30\%$ høyere enn timelønnen på dagtid. Regner ut med vekstfaktor $\mathrm{1,30}$:

Lise tjener 104 kroner per time om kvelden.

1 minutt er 60 sekunder. Deler antall omdreininger på 60.

Vaskemaskinen sentrifugerer med 20 omdreininger per sekund.

Målestokken $1:4$ betyr at tegningen er 4 ganger mindre enn den virkelige løvetannen. Deler høyden på 4.

Løvetannen var 8 cm høy på tegningen.

Flere elever som jobber i samme tempo bruker kortere tid – dette er omvendt proporsjonalitet. Finner først hvor mange timeverk hele jobben krever:

Fordeler timeverkene på fem elever:

Fem elever vil bruke 9 timer på å male huset.

Mopeden bruker $\mathrm{0,4}$ liter bensin for hver mil Espen kjører. Kjører han $x$ mil, bruker han $\mathrm{0,4}$ liter bensin $x$ ganger. Antall liter bensin blir derfor $\mathrm{0,4}\cdot x$, altså

$60\mathrm{km}$ må gjøres om til mil før vi kan bruke formelen. Siden $1\mathrm{mil}=10\mathrm{km}$, blir

Setter inn $x=6$ i formelen:

Espen brukte 2,4 liter bensin denne uken.

Tanken rommer $\mathrm{6,4}$ liter bensin fra start. Etter $x$ mil har mopeden brukt $\mathrm{0,4}x$ liter. Mengden bensin som er igjen på tanken er startmengden minus det som er brukt:

Formelen viser hvor mange liter bensin det er igjen på tanken etter $x$ mil.

Den indre grønne sirkelen har en diameter på $15\mathrm{cm}$. Radien er halvparten av diameteren:

Ut fra denne radien kan vi finne de andre målene på figuren. Det hvite området er $70\mathrm{cm}$ bredt og ligger utenfor den grønne sirkelen, så ytterkanten av det hvite området har radius:

Det ytre grønne området er $20\mathrm{cm}$ bredt og ligger utenfor det hvite området, så ytterkanten av hele skiltet har radius:

Radien til den indre grønne sirkelen er $\mathrm{7,5}\mathrm{cm}$. Ytterkanten av det hvite området har radius $\mathrm{77,5}\mathrm{cm}$, og ytterkanten av hele skiltet har radius $\mathrm{97,5}\mathrm{cm}$.

Det hvite området er arealet mellom sirkelen med radius $\mathrm{77,5}\mathrm{cm}$ og den indre grønne sirkelen med radius $\mathrm{7,5}\mathrm{cm}$. Bruker arealformelen for sirkel, $A=\pi \cdot r^2$:

Det hvite området har et areal på omtrent $18692\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2$, det vil si ca. $\mathrm{1,87}{\mathrm{m}}^2$.

De grønne områdene består av den indre sirkelen (radius $\mathrm{7,5}\mathrm{cm}$) og den ytre grønne ringen (mellom radius $\mathrm{77,5}\mathrm{cm}$ og $\mathrm{97,5}\mathrm{cm}$). Regner ut hver for seg:

Legger sammen de to grønne arealene:

De grønne områdene har til sammen et areal på omtrent $11172\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2$, det vil si ca. $\mathrm{1,12}{\mathrm{m}}^2$.

Prisindeksen viser hvordan prisene har utviklet seg. Ny pris finner vi ved

Setter inn tall for 2003 og 2008:

Eneboligen kostet omtrent 3 965 700 kroner i 2008.

Reallønn viser hva lønnen faktisk er verdt når vi tar hensyn til prisstigningen (KPI). Vi bruker formelen

1) I 2008 tjente Benjamin $460000\mathrm{kr}$, og ${\text{KPI}}_{2008}=\mathrm{123,1}$:

I 2010 fikk Benjamin $18000\mathrm{kr}$ i lønnspålegg, så lønnen i 2010 ble

Med ${\text{KPI}}_{2010}=\mathrm{128,8}$:

2) Reallønnen til Benjamin gikk ned fra ca. 373 680 kr til ca. 371 120 kr, altså en nedgang på ca. 2 560 kr, selv om han fikk et lønnspålegg på 18 000 kr. Det betyr at prisene steg mer enn lønnen hans i denne perioden, slik at kjøpekraften hans ble litt dårligere fra 2008 til 2010.

Omkretsen av en sirkel er gitt ved $O=2\pi r$. Ballen har omkrets $48\mathrm{cm}$, så vi løser likningen for $r$:

Radien i ballen Camilla bruker er ca. 7,6 cm.

Vi bruker $r=\mathrm{7,6}\mathrm{cm}$ videre i utregningen.

1) Volumet av en kule er gitt ved $V={\displaystyle \frac{4}{3}}\pi r^3$:

Ballen har et volum på omtrent 1839 cm³ (ca. 1,8 liter).

2) Overflaten av en kule er gitt ved $O=4\pi r^2$:

Overflaten til ballen er omtrent 726 cm².

1) Et lån der avdragene er like store hver termin, kalles et serielån. I tabellen ser vi at avdraget er $60000\mathrm{kr}$ i hver termin — det er kjennetegnet på et serielån.

2) Renta i 1. termin er beregnet av hele lånebeløpet, siden det er restgjelden ved starten av terminen. Vi finner rentesatsen ved å dele rentebeløpet på lånebeløpet:

Banken bruker en årlig rente på 4 %.

Siden avdraget er likt hver termin ($60000\mathrm{kr}$), og renta regnes av restgjelden ved starten av terminen, blir sammenhengen mellom radene:

• Restgjeld (ny) = Restgjeld (forrige) $-$ Avdrag
• Renter = $4\%\cdot$ Restgjeld (forrige)
• Terminbeløp = Avdrag $+$ Renter

I regneark settes dette opp med cellereferanser slik at bare 1. termin skrives inn direkte, og resten fylles ut med formler. Under vises tabellen med verdier, og deretter samme tabell med formlene som ble brukt.

Betalingsplan (verdier):

Betalingsplan (formler, kolonne A–E, rad 2 = 1. termin):

Formelen i rad 3 kopieres nedover til rad 11, slik at referansene automatisk flyttes med (f.eks. blir =0,04*E3 i rad 4 til =0,04*E4 i rad 5, osv.).

Kontrollregning for 2. termin: Restgjelden etter 1. termin er $540000\mathrm{kr}$. Renta i 2. termin blir da

Dette stemmer med raden for 2. termin i tabellen.

Totalt betaler du $732000\mathrm{kr}$ over de 10 årene: $600000\mathrm{kr}$ i avdrag og $132000\mathrm{kr}$ i renter.

Et serielån har konstant avdrag, mens rentene blir mindre og mindre etter hvert som restgjelden minker. Terminbeløpet blir derfor stadig lavere gjennom hele nedbetalingstiden, slik vi ser i tabellen i oppgave b.

Et annuitetslån fungerer motsatt: her er det terminbeløpet (summen av avdrag og renter) som er likt hver termin, ikke avdraget. I starten av nedbetalingen er restgjelden stor, så rentedelen av terminbeløpet er stor og avdragsdelen liten. Etter hvert som lånet nedbetales, minker restgjelden, og da minker rentedelen mens avdragsdelen øker — men summen er hele tiden den samme.

Sammenlignet med serielånet i oppgave a: i begynnelsen av nedbetalingen vil et annuitetslån ha lavere avdrag og høyere renter enn serielånet, mens mot slutten av nedbetalingen vil annuitetslånet ha høyere avdrag og lavere renter enn serielånet.

A0 har bredde $840\mathrm{mm}$ og høyde $1189\mathrm{mm}$. Hvert format deles i to like deler langs langsiden, og den nye kortsiden blir bredden i det neste formatet.

Fra A0 til A1: bredden i A1 blir halve høyden i A0, og høyden i A1 er lik bredden i A0.

Fra A1 til A2: bredden i A2 blir halve høyden i A1.

Bredden i et A2-format er 420 mm.

Forholdet mellom bredde og høyde er $1:\mathrm{1,415}$. Da er høyden lik bredden multiplisert med $\mathrm{1,415}$:

Høyden i et A2-format er ca. 594,3 mm.

A3 lages ved å dele A2 i to langs langsiden, akkurat som i a). Bredden i A3 blir halve høyden i A2:

Bruker forholdstallet som i b) til å finne høyden i A3:

Diagonalen i A3-arket er hypotenusen i en rettvinklet trekant med kateter lik bredden og høyden. Vi bruker Pytagoras’ setning:

Diagonalen i et A3-format er omtrent 514,9 mm, altså ca. 51,5 cm.

Vi regner om bredde og høyde fra mm til tommer ved å dele på $\mathrm{25,4}\mathrm{mm}$ (som er $1$ tomme):

Arealet finner vi ved å gange bredde og høyde:

A4-arket er ca. 96,7 kvadrattommer.

1) Bildet har $2000\cdot 3000=6000000$ pixler totalt. Skrevet ut i A4-format fordeles disse pixlene over $\mathrm{96,7}$ kvadrattommer (fra oppgave a). Vi finner ppi ved å dele antall pixler på arealet:

Bildet får en oppløsning på ca. 62 065 ppi.

2) Grensen for god bildekvalitet er oppgitt til $150$ ppi. Siden $62065$ ppi er langt over denne grensen, blir bildekvaliteten svært god.

Bildet kan skrives ut i fullt A4-format med god kvalitet.