1P-Y FD Høst 2012

Det går $1000$ meter på $1$ kilometer. For å gjøre om fra meter til kilometer deler vi på $1000$:

Det går $60$ sekunder på $1$ minutt. For å gjøre om fra sekunder til minutter deler vi på $60$:

Det går $10$ centimeter på $1$ desimeter, så $1{\mathrm{dm}}^2=10\cdot 10=100{\mathrm{cm}}^2$. For å gjøre om fra ${\mathrm{cm}}^2$ til ${\mathrm{dm}}^2$ deler vi på $100$:

To vanlige enheter for masse er gram og kilogram. Sammenhengen mellom dem er:

Det vil si at ett kilogram veier like mye som tusen gram. Skal vi gjøre om fra kilogram til gram, ganger vi med $1000$. Skal vi gjøre om fra gram til kilogram, deler vi på $1000$.

Vi følger regnerekkefølgen: multiplikasjon før subtraksjon, og regner ut telleren først:

Vi ganger ut parentesene først, og trekker sammen leddene med $a$ for seg:

Vi samler $x$-ledd på venstre side og tall på høyre side:

Vi setter $a=-1$, $r=2$ og $s=3$ inn i uttrykket:

Platen skal deles inn i $32$ like rektangler ved hjelp av rette streker som går tvers over hele platen (et rutenett av vannrette og loddrette streker). Trekker vi $p$ loddrette streker, blir platen delt i $(p+1)$ kolonner. Trekker vi $q$ vannrette streker, blir platen delt i $(q+1)$ rader. Antall rektangler blir da

Vi vil ha færrest mulig streker i alt, altså minst mulig $p+q$. Siden $(p+1)$ og $(q+1)$ må være to faktorer som ganger sammen til $32$, prøver vi alle faktoriseringene av $32$:

Summen $p+q$ blir minst når de to faktorene ligger nærmest hverandre, altså når platen deles i $8$ kolonner og $4$ rader (eller likeverdig $4$ kolonner og $8$ rader): $7$ loddrette og $3$ vannrette streker, til sammen $10$ streker. Her er en skisse av platen delt inn i $4$ rader og $8$ kolonner:

Det trengs minst $\underline{\underline{10\text{ rette streker}}}$ for å dele papplaten i 32 like rektangler.

Når prisen stiger med $60\%$, blir den nye prisen $100\%$ av den gamle prisen pluss $60\%$ til, altså $160\%$ av den gamle prisen. Vekstfaktoren er da:

Varen koster $100\mathrm{kr}$. Først settes prisen ned $30\%$, det vil si at vekstfaktoren er $1-\mathrm{0,30}=\mathrm{0,70}$:

Deretter settes prisen opp $10\%$, det vil si at vekstfaktoren er $1+\mathrm{0,10}=\mathrm{1,10}$:

Prisen er gått fra $100\mathrm{kr}$ til $77\mathrm{kr}$, altså en nedgang på $100\mathrm{kr}-77\mathrm{kr}=23\mathrm{kr}$. Det tilsvarer en nedgang på $23\%$ av den opprinnelige prisen.

Riktig svar er $\underline{\underline{\text{II: }23\%}}$.

Bilisten kjørte $50\mathrm{k}\mathrm{m}/\mathrm{t}$ der fartsgrensen var $40\mathrm{k}\mathrm{m}/\mathrm{t}$. Bilisten kjørte altså

for fort. Vi finner hvor mange prosent dette er av fartsgrensen:

Bilisten kjørte $25\%$ over fartsgrensen.

I klassen er det $30$ elever, og $80\%$ av dem kan svømme. Vi finner $80\%$ av $30$:

Det er $24$ elever i klassen som kan svømme.

Vi leser av diagrammet hvor mye hvete, havre og bygg det var i 2009. Alle tre linjene møtes nesten i samme punkt i 2009, på omtrent $345\mathrm{kg}$ per dekar hver:

Til sammen var avlingen omtrent $1035\mathrm{kg}$ per dekar i 2009.

Vi leser av hvor den blå linjen (bygg) ligger over den vannrette linja for $400\mathrm{kg}$ per dekar. Det skjer i to år: i $2004$, hvor bygg ligger på omtrent $420\mathrm{kg}$ per dekar, og i $2008$, hvor bygg ligger på omtrent $430\mathrm{kg}$ per dekar. I 1996 er bygg nesten oppe i $400\mathrm{kg}$ per dekar, men ligger så vidt under.

Avlingen av bygg var over $400\mathrm{kg}$ per dekar i $\underline{\underline{2004\text{ og }2008}}$.

Vi leser av grafen. Linja skjærer $y$-aksen i $y=1$, altså er konstantleddet $1$. Linja går også gjennom punktet $(-1,0)$. Stigningstallet finner vi ved å se hvor mye $y$ øker når $x$ øker med $1$:

Funksjonsuttrykket er da $y=x+1$.

Riktig svar er $\underline{\underline{\text{III: }y=x+1}}$, fordi linja har stigningstall $1$ og skjærer $y$-aksen i $y=1$.

Ikra har $6$ liter syltetøy, og hvert glass rommer $\mathrm{0,3}$ liter. Vi finner antall glass ved å dele:

Ikra kunne fylle $20$ glass.

1) Malingen skal blandes i forholdet $10:2$, det vil si $10+2=12$ deler til sammen. Vi finner hvor mye én del er når blandingen skal bli $\mathrm{2,4}$ liter:

Gulmaling er $10$ deler og rødmaling er $2$ deler:

Du må bruke $2$ liter gulmaling og $\mathrm{0,4}$ liter rødmaling.

2) Forholdet mellom gul og rød maling er $10:2$. Det betyr at det alltid skal være $5$ ganger så mye gulmaling som rødmaling:

Til $\mathrm{0,8}$ liter rødmaling trenger vi derfor:

Du må bruke $4$ liter gulmaling til $\mathrm{0,8}$ liter rødmaling.

30 % av elevene røykte for fem år siden. Da var det $100\%-30\%=70\%$ av elevene som ikke røykte.

455 elever røykte ikke for fem år siden.

For fem år siden røykte 30 % av elevene. Antallet røykere er nå redusert med 40 %. Det betyr at det bare er $100\%-40\%=60\%$ av røykerne som er igjen.

Som brøk:

Etter at røykeforbudet ble innført, røyker ${\displaystyle \frac{9}{50}}$ av elevene.

Trekanten $ABC$ er rettvinklet, med $AB=3\mathrm{cm}$ og $BC=4\mathrm{cm}$. Siden $AC$ er den lengste siden, er $AC$ hypotenusen, og den rette vinkelen er i $B$.

Vi bruker pytagorassetningen: summen av katetene i andre er lik hypotenusen i andre.

Lengden $AC$ er 5 cm.

Arealet til en rettvinklet trekant er halvparten av produktet av katetene:

Omkretsen er summen av alle sidene:

Trekanten har et areal på 6 cm² og en omkrets på 12 cm.

To størrelser er proporsjonale når forholdet mellom dem alltid er det samme. Vi sjekker forholdet mellom medisinmengden og massen for hver kolonne i tabellen:

Forholdet mellom medisinmengden og massen er alltid $\mathrm{0,9}\mathrm{m}\mathrm{l}/\mathrm{k}\mathrm{g}$. Siden forholdet er konstant, er medisinmengden $y$ proporsjonal med massen $x$, med proporsjonalitetskonstant $k=\mathrm{0,9}$.

Medisinmengden er proporsjonal med barnets masse, med $k=\mathrm{0,9}\mathrm{m}\mathrm{l}/\mathrm{k}\mathrm{g}$.

Siden $y$ og $x$ er proporsjonale, gjelder $y=k\cdot x$ med $k=\mathrm{0,9}$.

1) Et barn på 25 kg:

Et barn som veier 25 kg, skal ha 22,5 ml medisin.

2) Barnet får $y=30\mathrm{ml}$. Vi setter inn i formelen $y=k\cdot x$ og løser med hensyn på $x$:

Barnet veier omtrent 33,3 kg.

1) Sara betaler 480 kr for månedskortet, uansett hvor mange turer hun tar. Prisen per tur finner vi ved å dele totalprisen på antall turer:

2) To størrelser $x$ og $y$ er omvendt proporsjonale når produktet $x\cdot y$ alltid er det samme. Vi sjekker:

Produktet $x\cdot y$ er alltid $480$. Siden produktet er konstant, er $x$ og $y$ omvendt proporsjonale.

Antall turer og prisen per tur er omvendt proporsjonale, med $x\cdot y=480$.

Esken er formet som et rett prisme (en kloss) med lengde $52\mathrm{cm}$, bredde $7\mathrm{cm}$ og høyde $9\mathrm{cm}$. Volumet av en kloss finner vi ved å multiplisere lengde, bredde og høyde:

Vi gjør om til liter. Siden $1\mathrm{L}=1000{\mathrm{cm}}^3$, deler vi på 1000:

Esken rommer omtrent 3,3 liter.

En kloss har seks flater: to like store flater for hvert par av motstående sider. Overflaten er summen av arealene til alle seks flatene:

Overflaten til esken er 1790 cm².

Den utbrettede esken består av en stor midtre rektangelformet del, to sideklaffer og to små låseflipper øverst. Vi deler figuren opp i rektangler og bruker målene på tegningen:

• Den store midtre delen: $52\mathrm{cm}\times 40\mathrm{cm}$
• To sideklaffer (én på hver side): $7\mathrm{cm}\times 20\mathrm{cm}$ hver
• To små flipper øverst: $5\mathrm{cm}\times 3\mathrm{cm}$ hver

Arealet til den utbrettede esken er 2390 cm².

1)

Avdraget er likt hver termin (20 000 kr), mens rentene og terminbeløpet minker etter hvert som restgjelden går ned. Dette kjennetegner et serielån.

2)

Vi setter opp regnearket med kolonnene Termin, Renter, Avdrag og Terminbeløp. Terminbeløpet er summen av renter og avdrag i hver rad, og i bunnen summerer vi hver kolonne.

Regneark med formler:

Regneark med utregnede verdier:

Familien Jalili betaler til sammen 112 000 kroner for serielånet, hvorav 12 000 kroner er renter.

Rentene i 1. termin er beregnet av hele lånebeløpet, siden ingenting er nedbetalt ennå.

Vi sjekker svaret mot 2. termin: restgjelden er da $100000\mathrm{kr}-20000\mathrm{kr}=80000\mathrm{kr}$, og $80000\mathrm{kr}\cdot 4\%=3200\mathrm{kr}$, som stemmer med tabellen.

Familien Jalili betaler 4 % rente på lånet.

Ved et annuitetslån er terminbeløpet likt hver termin. Vi finner terminbeløpet fra 1. termin, der renter og avdrag er oppgitt.

Vi bruker dette faste terminbeløpet i regnearket, og regner renter, avdrag og restgjeld termin for termin:

• Renter (denne terminen) = Restgjeld (forrige termin) $\cdot$ 3,75 %
• Avdrag (denne terminen) = Terminbeløp − Renter (denne terminen)
• Restgjeld (denne terminen) = Restgjeld (forrige termin) − Avdrag (denne terminen)

Regneark med formler:

Regneark med utregnede verdier (avrundet til nærmeste krone):

Med annuitetslån betaler familien Jalili 22 305 kroner hver termin i 5 år, til sammen 111 525 kroner, hvorav 11 525 kroner er renter.

$1{\mathrm{m}}^3$ er det samme som $1000\mathrm{liter}$.

$1\mathrm{km}$ er det samme som $100000\mathrm{cm}$.

$1{\mathrm{m}}^2$ er det samme som $1000000{\mathrm{mm}}^2$.

Du sparer 400 kr, og prisen etter rabatt er 289 kr. Da må den opprinnelige prisen ha vært:

Rabatten i prosent finner vi ved å dele det du sparer på den opprinnelige prisen:

Du får omtrent 58 % rabatt på malersettet.

Rull 1 er $\mathrm{2,1}\mathrm{m}\times 10\mathrm{m}$, det gir et areal på:

Rull 2 er $1\mathrm{m}\times 10\mathrm{m}$, det gir et areal på:

Rull 1 (2,1 × 10 m) koster ca. 94,76 kr per m², mens rull 2 (1 × 10 m) koster 109,50 kr per m². Rull 1 er altså billigst per kvadratmeter.

Det gylne snitt vil si at en strekning er delt i to deler slik at forholdet mellom hele strekningen og den lengste delen er likt forholdet mellom den lengste og den korteste delen, omtrent $\phi \approx \mathrm{1,618}$.

Vi måler høyden på bildet med linjal, og hvor langt ned horisontlinja (der havet møter himmelen) ligger, målt fra toppen av bildet. På bildet over utgjør avstanden fra toppen ned til horisontlinja omtrent $36\%$ av hele bildehøyden, mens avstanden fra horisontlinja ned til bunnen av bildet utgjør omtrent $64\%$.

Kaller vi hele bildehøyden $H$, er den øvre delen omtrent $\mathrm{0,36}H$ og den nedre delen omtrent $\mathrm{0,64}H$. Da er:

Begge forholdstallene ligger nær $\phi \approx \mathrm{1,618}$.

Horisontlinja deler altså bildet tilnærmet i det gylne snitt.

Blandingsforholdet mellom hvit og blå farge finner vi ved å sammenligne de to mengdene:

Vi deler begge tallene på $\mathrm{0,6}$:

Blandingsforholdet mellom hvit og blå farge er 9 : 1 – for hver del blå farge brukes det 9 deler hvit farge.