1P-Y DT Vår 2018

Oppgave 1-1Kilometerstand og rekkevidde for elbil

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Et skolesenter har el-bil for de ansatte. For hver tur blir kilometerstanden skrevet ned i en kjørebok.

På én tur endret kilometerstanden seg fra $2468 k m$ til $2513 k m$ .

Hvor mange mil var kjøreturen?

Bilen kan kjøre $300 k m$ når batteriet er $100 %$ oppladet.

Hvor mange kilometer kan bilen kjøre når batteriet er $60 %$ oppladet?

Fasit

$4,5 mil$

$180 km$

LøsningsforslagKI-generert

Kjørt strekning er differansen mellom kilometerstanden etter og før turen:

Kjørt strekning = 2513 km - 2468 km = 45 km

$1 mil = 10 km$ , så $45 km$ tilsvarer:

45 km \div 10 = 4,5 mil

Kjøreturen var 4,5 mil lang.

Batteriet er $60 %$ oppladet. Da kan bilen kjøre $60 %$ av $300 km$ :

0,60 \cdot 300 km = 180 km

Bilen kan kjøre 180 km når batteriet er 60 % oppladet.

Oppgavedata

Delt med: 1P-Y
Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 4
Temaer: Måleenheter, Prosentregning
Egen side: Åpne oppgave 1-1 for seg selv

Oppgave 1-2Rettvinklet trekant på kart over Oslo

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Kart over en del av Oslo sentrum med den rettvinklede trekanten ABC mellom Stortinget (C), B og A

I kartet ovenfor ser vi en del av Oslo. Trekanten $A B C$ i kartet er rettvinklet. På kartet er $A B = 6 c m$ og $B C = 8 c m$ .

Bestem lengden $A C$ på kartet.

Eva skal gå fra $A$ til $B$ , og så til $C$ . Kartet har målestokken $1 : 5000$ .

Hvor mange meter må Eva gå i virkeligheten?

Fasit

$A C = 10 cm$

$700 m$

LøsningsforslagKI-generert

Trekanten er rettvinklet, og det er $A C$ som er den lengste siden (hypotenusen), siden det rette vinkelen ligger i punktet $B$ mellom katetene $A B$ og $B C$ . Bruker Pytagoras’ setning:

A C = \sqrt{A B^{2} + B C^{2}} = \sqrt{6^{2} {cm}^{2} + 8^{2} {cm}^{2}} = \sqrt{36 {cm}^{2} + 64 {cm}^{2}} = \sqrt{100 {cm}^{2}} = 10 cm

Lengden $A C$ på kartet er 10 cm.

Eva går strekningen $A B$ og deretter $B C$ . På kartet er samlet strekning:

A B + B C = 6 cm + 8 cm = 14 cm

Målestokken $1 : 5000$ betyr at $1 cm$ på kartet tilsvarer $5000 cm = 50 m$ i virkeligheten. Da blir virkelig lengde:

14 cm \cdot 50 m = 700 m

Eva må gå 700 meter i virkeligheten.

Oppgavedata

Delt med: 1P-Y
Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 4
Temaer: Pytagoras, Målestokk
Egen side: Åpne oppgave 1-2 for seg selv

Oppgave 1-3Areal av trekant, sirkel og parallellogram

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Rettvinklet trekant med kateter 4,0 og 5,0 og hypotenus 6,4, sirkel med diameter 4,0, og parallellogram med grunnlinje 4,0, skrå side 3,2 og høyde 3,0

Gjør nødvendige beregninger, og bestem hvilken figur som har minst areal og hvilken figur som har størst areal.

Fasit

$Trekanten har minst areal, sirkelen har størst areal$

LøsningsforslagKI-generert

Regner ut arealet av alle tre figurene, slik at de kan sammenlignes.

Trekanten er rettvinklet med kateter $4,0$ og $5,0$ . Arealet av en trekant er halvparten av grunnlinje ganger høyde:

A_{trekant} = \frac{4,0 \cdot 5,0}{2} = \frac{20,0}{2} = 10,0

Sirkelen har diameter $4,0$ , altså radius $r = 2,0$ . Arealet av en sirkel er $π \cdot r^{2}$ , og vi bruker $π \approx 3,14$ :

A_{sirkel} = π \cdot r^{2} \approx 3,14 \cdot {2,0}^{2} = 3,14 \cdot 4,0 = 12,56

Parallellogrammet har grunnlinje $4,0$ og høyde $3,0$ (den skrå siden $3,2$ trengs ikke til arealberegningen):

A_{parallellogram} = 4,0 \cdot 3,0 = 12,0

Sammenligner de tre arealene:

\underset{trekant}{\underset{⏟}{10,0}} < \underset{parallellogram}{\underset{⏟}{12,0}} < \underset{sirkel}{\underset{⏟}{12,56}}

Trekanten har minst areal, og sirkelen har størst areal.

Oppgavedata

Delt med: 1P-Y
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Areal og omkrets, Geometri
Egen side: Åpne oppgave 1-3 for seg selv

Oppgave 1-4Førstegradslikning med negativ løsning og minus foran parentes

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Løs likningen.

3 x - 4 = 5 x + 10

Trekk sammen.

2 a - 4 (a + b) + 6 b

Fasit

$x = - 7$

$- 2 a + 2 b$

LøsningsforslagKI-generert

Vi har $x$ -ledd på begge sider av likningen. Trekker $3 x$ fra begge sider for å samle $x$ -leddene på høyre side:

\begin{matrix} 3 x - 4 & = 5 x + 10 \\ 3 x - 4 - 3 x & = 5 x + 10 - 3 x \\ - 4 & = 2 x + 10 \end{matrix}

Trekker så $10$ fra begge sider:

\begin{matrix} - 4 - 10 & = 2 x + 10 - 10 \\ - 14 & = 2 x \end{matrix}

Deler begge sider på $2$ :

\frac{- 14}{2} = \frac{2 x}{2}

x = - 7

Multipliserer først inn $- 4$ i parentesen. Fortegnet foran parentesen skifter fortegn på begge leddene inni:

2 a - 4 (a + b) + 6 b = 2 a - 4 a - 4 b + 6 b

Trekker så sammen $a$ -leddene og $b$ -leddene hver for seg:

2 a - 4 a = - 2 a - 4 b + 6 b = 2 b

- 2 a + 2 b

Oppgavedata

Delt med: 1P-Y
Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 3
Temaer: Likninger, Algebra
Egen side: Åpne oppgave 1-4 for seg selv

Oppgave 1-5Heiskortpriser i Hafjell Bike Park

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Skjermdump fra Hafjell: Priser heiskort Hafjell Bike Park 2018. Voksen fom 16 år: 1 dag 330 kr, 2 dager 555 kr, 3 dager 755 kr. Barn 7–15 år: 1 dag 255 kr, 2 dager 455 kr, 3 dager 605 kr

Skjermdumpen ovenfor viser priser for heiskort i Hafjell Bike Park.

Stian er $21$ år og kjøper heiskort for $1$ dag.

Bestem prisen per tur dersom han kjører $5$ turer.

Bruk prisene på heiskort for voksne.

Undersøk om prisen per dag og antall dager er proporsjonale størrelser.

Fasit

$66 kr$ per tur

Nei, ikke proporsjonale størrelser

LøsningsforslagKI-generert

Stian kjøper heiskort for $1$ dag som voksen. Det koster $330 kr$ .

Han kjører $5$ turer denne dagen. Finner prisen per tur ved å dele prisen på antall turer:

Pris per tur = \frac{330 kr}{5} = 66 kr

Stian betaler 66 kroner per tur.

To størrelser er proporsjonale dersom forholdet mellom dem er konstant, altså at pris per dag er den samme uansett hvor mange dager man kjøper.

Regner ut pris per dag for hvert av alternativene for voksne:

\frac{330 kr}{1} = 330 k r / d a g

\frac{555 kr}{2} = 277,5 k r / d a g

\frac{755 kr}{3} \approx 251,67 k r / d a g

Prisen per dag blir mindre jo flere dager man kjøper.

Prisen per dag og antall dager er ikke proporsjonale størrelser, siden pris per dag ikke er konstant.

Oppgavedata

Delt med: 1P-Y
Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 4
Temaer: Proporsjonalitet, Tallregning
Egen side: Åpne oppgave 1-5 for seg selv

Oppgave 1-6Reker til selskap og rekefiske

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Ole skal ha selskap og kjøper reker til $8$ personer. Han beregner $500 g$ reker per person.

Hvor mange kilogram reker kjøper Ole?

Det er $30 %$ spiselig del i reker. Resten er skall.

Hvor mange gram er spiselig, og hvor mange gram er skall i $500 g$ reker?

I 2017 ble det fisket til sammen $16 000$ tonn reker og kongekrabber i Norge. Forholdet mellom reker og kongekrabbe var $7 : 1$ .

Hvor mange tonn reker ble fisket i 2017?

Fasit

$4 kg$

Spiselig: $150 g$ , skall: $350 g$

$14 000 tonn$

LøsningsforslagKI-generert

Ole beregner $500 g$ reker per person, og han skal ha $8$ personer i selskapet. Ganger antall gram per person med antall personer:

Reker totalt = 500 g \cdot 8 = 4000 g

Gjør om til kilogram ved å dele på $1000$ :

4000 g = \frac{4000}{1000} kg = 4 kg

Ole kjøper 4 kilogram reker.

Av rekene er $30 %$ spiselig del. Finner spiselig mengde av $500 g$ :

Spiselig del = 0,30 \cdot 500 g = 150 g

Resten er skall. Trekker spiselig del fra totalen:

Skall = 500 g - 150 g = 350 g

Av 500 gram reker er 150 gram spiselig, og 350 gram er skall.

Forholdet mellom reker og kongekrabbe var $7 : 1$ . Det betyr at fangsten er delt i $7 + 1 = 8$ like store deler, der rekene utgjør $7$ av delene.

Finner hvor mye én del utgjør:

Én del = \frac{16 000 tonn}{8} = 2000 tonn

Rekene utgjør $7$ slike deler:

Reker = 7 \cdot 2000 tonn = 14 000 tonn

Det ble fisket 14 000 tonn reker i 2017.

Oppgavedata

Delt med: 1P-Y
Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 6
Temaer: Måleenheter, Prosentregning, Forholdsregning
Egen side: Åpne oppgave 1-6 for seg selv

Oppgave 2-7Sølje fra regulær tolvkant i sølv

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Regulær tolvkant delt i 12 like trekanter fra sentrum. Sidene er 2,5 cm, avstanden fra sentrum til hjørnene er 4,8 cm, og grunnvinkelen i en trekant er 75°. I én trekant er det tegnet et sirkelformet hull

En sølvsmed lager en sølje (smykke) til en festdrakt. Han startet med et sølvstykke med form som en regulær tolvkant, slik figuren viser.

For hånd

Bestem omkretsen av sølvstykket.

Sølvstykket merkes slik at det består av $12$ like trekanter, slik figuren viser.

Kalkulator

Bestem vinklene og høyden i en slik trekant.

Sølvsmeden stanser ut et hull i hver av de $12$ trekantene. Diameteren i hvert hull er $1,7 c m$ .

Kalkulator

Vis at arealet av sølvstykket nå er $42 c m^{2}$ .

Massetettheten til sølv er $10,5 g / c m^{3}$ . Sølv koster $3,25$ kr per gram.

Kalkulator

Hva koster sølvet i sølvstykket med hull når tykkelsen er $0,1 c m$ ?

Fasit

$O = 30 cm$

Toppvinkel $= 30 °$ , grunnvinkler $= 75 °$ , høyde $\approx 4,64 cm$

Areal $\approx 42 c m^{2}$ (vist)

$Pris \approx 143 kr$

LøsningsforslagKI-generert

Tolvkanten har 12 like lange sider, hver med lengde 2,5 cm.

Omkrets = 12 \cdot 2,5 cm = 30 cm

Omkretsen av sølvstykket er 30 cm.

Sølvstykket er delt i 12 like trekanter fra sentrum. Da må toppvinkelen (vinkelen ved sentrum) i hver trekant være:

Toppvinkel = \frac{360 °}{12} = 30 °

Trekanten er likebeint, siden de to sidene fra sentrum er like lange. Da er de to grunnvinklene like store. Vinkelsummen i en trekant er 180°:

Grunnvinkel = \frac{180 ° - 30 °}{2} = \frac{150 °}{2} = 75 °

Dette stemmer med vinkelen som er merket på figuren.

For å finne høyden bruker vi den ene siden fra sentrum til hjørnet, som er 4,8 cm, og grunnvinkelen 75°. Høyden står vinkelrett på grunnlinja (siden i tolvkanten), så vi bruker sinus:

\sin (75 °) = \frac{Høyde}{4,8 cm}

Høyde = 4,8 cm \cdot \sin (75 °) \approx 4,64 cm

Toppvinkelen er 30°, grunnvinklene er 75° hver, og høyden i trekanten er omtrent 4,64 cm.

Arealet av én trekant er halvparten av grunnlinje ganger høyde:

Areal, én trekant = \frac{1}{2} \cdot 2,5 cm \cdot 4,64 cm \approx 5,80 c m^{2}

Sølvstykket består av 12 slike trekanter:

Areal, hele tolvkanten = 12 \cdot 5,80 c m^{2} \approx 69,5 c m^{2}

I hver trekant stanses det ut et sirkelformet hull med diameter 1,7 cm, altså radius 0,85 cm:

Areal, ett hull = π \cdot {(0,85 cm)}^{2} \approx 2,27 c m^{2}

Det er 12 hull:

Areal, alle hull = 12 \cdot 2,27 c m^{2} \approx 27,2 c m^{2}

Arealet av sølvstykket med hull er arealet av tolvkanten minus arealet av hullene:

Areal = 69,5 c m^{2} - 27,2 c m^{2} \approx 42,3 c m^{2} \approx 42 c m^{2}

Arealet av sølvstykket med hull er omtrent 42 cm², som vi skulle vise.

Sølvstykket har areal 42 cm² og tykkelse 0,1 cm. Volumet er areal ganger tykkelse:

Volum = 42 c m^{2} \cdot 0,1 cm = 4,2 c m^{3}

Massetettheten til sølv er 10,5 g/cm³, så massen blir:

Masse = 4,2 c m^{3} \cdot 10,5 g / c m^{3} = 44,1 g

Sølv koster 3,25 kr per gram:

Pris = 44,1 g \cdot 3,25 k r / g \approx 143 kr

Sølvet i sølvstykket koster omtrent 143 kroner.

Oppgavedata

Delt med: 1P-Y
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 8
Temaer: Geometri, Trigonometri, Areal og omkrets, Volum
Egen side: Åpne oppgave 2-7 for seg selv

Oppgave 2-8Heges lønn med skifttillegg og feriepenger

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Hege er lærling i prosessfag og jobber skift. Hun har $10 807$ kr fast i månedslønn og får $40$ kr per time i skifttillegg.

En måned jobber Hege $134$ timer.

Kalkulator

Bestem bruttolønna denne måneden.

Hege betaler $20 %$ i skatt per måned. I tillegg betaler hun $150$ kr til fagforeningen.

Kalkulator

Bestem nettolønna.

Hege har opptjent $3128$ kr i feriepenger. Feriepenger utgjør $12,5 %$ av feriepengegrunnlaget.

Kalkulator

Bestem feriepengegrunnlaget.

Fasit

$Bruttolønn = 16 167 kr$

$Nettolønn = 12 813,60 kr$

$Feriepengegrunnlag = 25 024 kr$

LøsningsforslagKI-generert

Hege har fast månedslønn i tillegg til skifttillegg for hver time hun jobber:

Bruttolønn = Fast lønn + Skifttillegg \cdot Antall timer

Bruttolønn = 10 807 kr + 40 k r / t \cdot 134 t = 10 807 kr + 5 360 kr = 16 167 kr

Bruttolønna til Hege denne måneden er 16 167 kroner.

Fagforeningskontingenten er fradragsberettiget, så den trekkes fra bruttolønna før skatten regnes ut. Grunnlaget for skatteberegningen blir dermed:

Skattegrunnlag = 16 167 kr - 150 kr = 16 017 kr

Skatten er 20 % av dette grunnlaget:

Skatt = 20 % \cdot 16 017 kr = 0,20 \cdot 16 017 kr = 3 203,40 kr

Nettolønna er det som er igjen når fagforeningskontingenten og skatten er trukket fra bruttolønna:

Nettolønn = 16 167 kr - 150 kr - 3 203,40 kr = 12 813,60 kr

Nettolønna til Hege er 12 813,60 kroner.

Feriepengene er 12,5 % av feriepengegrunnlaget, og Hege har 3128 kr i feriepenger. 12,5 % er det samme som å dele på 8 (siden $1 / 8 = 0,125$ ). Da må feriepengegrunnlaget være 8 ganger så stort som feriepengene:

Feriepengegrunnlag = 3 128 kr \cdot 8 = 25 024 kr

Sjekk: $12,5 % \cdot 25 024 kr = 3 128 kr$ . Stemmer.

Feriepengegrunnlaget til Hege er 25 024 kroner.

Oppgavedata

Delt med: 1P-Y
Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 6
Temaer: Økonomi, Prosentregning
Egen side: Åpne oppgave 2-8 for seg selv

Oppgave 2-9Dresin på Numedalsbanen og konsumprisindeks

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En del av Numedalsbanen, fra Veggli til Rødberg, er $32 k m$ lang. Her kan man sykle dresin (sykkel for togskinner).

En dresin har farten $7 k m / t$ .

Kalkulator

Hvor lang tid bruker dresinen fra Veggli til Rødberg?

Det kostet omtrent $30$ millioner kroner å bygge Numedalsbanen i 1927. Da var konsumprisindeksen $3,5$ . I 2017 var den $105,5$ .

Kalkulator

Hva ville det kostet å bygge Numedalsbanen i 2017 dersom prisene hadde fulgt konsumprisindeksen?

Et år var verdien av et lokomotiv $20$ millioner kroner. Verdien synker med $9 %$ hvert år.

Kalkulator

Bestem verdien av lokomotivet etter tre år.

Fasit

$Tid \approx 4 t 34 \min$

$Pris i 2017 \approx 904 m i l l . k r$

$Verdi etter 3 år \approx 15,1 m i l l . k r$

LøsningsforslagKI-generert

Tiden finner vi ved å dele strekningen på farten:

Tid = \frac{Strekning}{Fart} = \frac{32 km}{7 k m / t} \approx 4,57 t

Vi gjør om desimaldelen til minutter: $0,57 t \cdot 60 m i n / t \approx 34 \min$ .

Tid \approx 4 t 34 \min

Dresinen bruker omtrent 4 timer og 34 minutter fra Veggli til Rødberg.

Konsumprisindeksen forteller hvor mye prisnivået har endret seg. For å regne om en pris fra 1927 til 2017, ganger vi med forholdet mellom indeksene:

Pris i 2017 = Pris i 1927 \cdot \frac{{KPI}_{2017}}{{KPI}_{1927}}

Pris i 2017 = 30 000 000 kr \cdot \frac{105,5}{3,5} \approx 30 000 000 kr \cdot 30,14 \approx 904 000 000 kr

Numedalsbanen ville kostet omtrent 904 millioner kroner å bygge i 2017.

Verdien til lokomotivet synker med 9 % hvert år, så vekstfaktoren per år er $1 - 0,09 = 0,91$ . Etter tre år er verdien multiplisert med vekstfaktoren tre ganger:

Verdi etter 3 år = 20 000 000 kr \cdot {0,91}^{3}

Verdi etter 3 år = 20 000 000 kr \cdot 0,7536 \approx 15 071 420 kr

Etter tre år er lokomotivet verdt omtrent 15,1 millioner kroner.

Oppgavedata

Delt med: 1P-Y
Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 6
Temaer: Måleenheter, Konsumprisindeks, Vekstfaktor
Egen side: Åpne oppgave 2-9 for seg selv

Oppgave 2-10Svømmebasseng med dypere ende

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Et svømmebasseng har form som et rett prisme med rektangelformet grunnflate. Det er $50 m$ langt, $25 m$ bredt og $2,0 m$ dypt.

Kalkulator

Vis at svømmebassenget rommer $2 500 000 L$ vann.

Fra klokken 08:00 tømmes svømmebassenget med $3800 L$ vann per minutt.

Kalkulator

Hva er klokken når svømmebassenget er tømt?

Svømmebassenget bygges om, slik at den ene enden av bassenget blir dypere. Figuren nedenfor viser det nye bassenget sett fra siden.

Bassenget sett fra siden: lengde 50 m og dybde 2,0 m i den grunne enden over 30 m. I den dype enden er dybden 7,0 m med 10 m flat bunn, og bunnen skråner jevnt opp mellom den dype og den grunne delen

Kalkulator

Hvor mange liter kan bassenget romme nå?

Fasit

Volum $= 2 500 000 L$ (vist)

$Klokka er 18 : 58$

$Volum = 4 375 000 L$

LøsningsforslagKI-generert

Bassenget har form som et rett prisme, så volumet er lengde ganger bredde ganger dybde:

Volum = 50 m \cdot 25 m \cdot 2,0 m = 2 500 m^{3}

Vi gjør om til liter. Én kubikkmeter er 1000 liter:

Volum = 2 500 m^{3} \cdot 1000 L / m^{3} = 2 500 000 L

Svømmebassenget rommer 2 500 000 liter vann, som vi skulle vise.

Vi finner tømmetiden ved å dele volumet på hvor mye vann som tømmes per minutt:

Tømmetid = \frac{2 500 000 L}{3 800 L / m i n} \approx 658 \min

Vi gjør om til timer og minutter: $658 \min = 10 t + 58 \min$ , siden $10 \cdot 60 = 600$ .

Tømmingen starter klokken 08:00. Vi legger til tømmetiden:

08 : 00 + 10 t 58 \min = 18 : 58

Svømmebassenget er tømt klokken 18:58.

Vi ser bassenget fra siden. Sidefiguren består av tre deler etter hverandre: en rektangeldel i den grunne enden, en skrå trapesdel imellom, og en rektangeldel i den dype enden.

Den grunne delen er 30 m lang og 2,0 m dyp. Den dype, flate delen er 10 m lang og 7,0 m dyp. Det som er igjen av lengden går til den skrå delen:

Lengde, skrå del = 50 m - 30 m - 10 m = 10 m

Arealet av sidefiguren finner vi ved å legge sammen arealet av de tre delene:

Areal, grunn del = 30 m \cdot 2,0 m = 60 m^{2}

Areal, skrå del (trapes) = \frac{2,0 m + 7,0 m}{2} \cdot 10 m = 45 m^{2}

Areal, dyp del = 10 m \cdot 7,0 m = 70 m^{2}

Areal, sidefigur = 60 m^{2} + 45 m^{2} + 70 m^{2} = 175 m^{2}

Volumet av bassenget finner vi ved å gange arealet av sidefiguren med bredden på bassenget (25 m):

Volum = 175 m^{2} \cdot 25 m = 4 375 m^{3}

Vi gjør om til liter:

Volum = 4 375 m^{3} \cdot 1000 L / m^{3} = 4 375 000 L

Det nye bassenget kan romme 4 375 000 liter vann.

Oppgavedata

Delt med: 1P-Y
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Volum, Måleenheter, Areal og omkrets
Egen side: Åpne oppgave 2-10 for seg selv

Oppgave 2-11Dykkerklokke av jern

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En dykkerklokke har form omtrent som en kule. Den indre diameteren er $2,0 m$ og den ytre diameteren er $2,1 m$ . Se figur av tverrsnittet på dykkerklokken nedenfor.

Tverrsnitt av dykkerklokken: to konsentriske sirkler med en diameter trukket gjennom sentrum

Volumet av en kule er gitt ved formelen

V = \frac{4}{3} \cdot π \cdot r^{3}

Kalkulator

Bestem det indre volumet av dykkerklokken.

Dykkerklokken er laget av jern. Jern veier $7990$ kilogram per kubikkmeter.

Kalkulator

Bestem hvor mye jernet i dykkerklokken veier.

Fasit

$V_{indre} \approx 4,2 m^{3}$

$m \approx 5275 kg$

LøsningsforslagKI-generert

Radiusen er halvparten av diameteren. Den indre radien blir da:

r_{indre} = \frac{2,0 m}{2} = 1,0 m

Vi setter dette inn i formelen for kulevolum:

V_{indre} = \frac{4}{3} \cdot π \cdot {(1,0 m)}^{3} \approx 4,19 m^{3}

Det indre volumet av dykkerklokken er omtrent $4,2 m^{3}$ .

Jernet i dykkerklokken fyller ut mellomrommet mellom den indre og den ytre kula. Volumet av jernet finner vi derfor ved å ta det ytre volumet av kula og trekke fra det indre volumet (fra a).

Den ytre radien er:

r_{ytre} = \frac{2,1 m}{2} = 1,05 m

Det ytre volumet av kula blir:

V_{ytre} = \frac{4}{3} \cdot π \cdot {(1,05 m)}^{3} \approx 4,85 m^{3}

Volumet av jernet er differansen mellom det ytre og det indre volumet:

V_{jern} = 4,85 m^{3} - 4,19 m^{3} = 0,66 m^{3}

Massen finner vi ved å multiplisere volumet av jernet med massetettheten til jern:

Masse = 0,66 m^{3} \cdot 7990 \frac{kg}{m^{3}} \approx 5275 kg

Jernet i dykkerklokken veier omtrent $5275 kg$ , altså nesten $5,3$ tonn.

Oppgavedata

Delt med: 1P-Y
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Volum, Kule, Formler
Egen side: Åpne oppgave 2-11 for seg selv

Oppgave 2-12Gårdssparing for unge i regneark

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Anne har begynt å spare til en egen gård i Gårdssparing for unge (GSU). Hun setter inn $15 000$ kroner den 1. januar hvert år fra og med 2015, og får $4,50 %$ rente per år.

Regneark «Sparing for Anne» med renter 4,50 % og årlig sparebeløp 15000. Kolonnene er Årstall, Starten av året, Renter og Slutten av året. Radene for 2015–2017 er fylt ut (15000,00; 675,00; 15675,00 – 30675,00; 1380,38; 32055,38 – 47055,38; 2117,49; 49172,87), mens radene for 2018–2024 er tomme

Regnearket ovenfor viser Annes sparingsplan. Hun har selv fylt inn de tre første årene.

Krever PC

Bruk regnearket, fyll inn og fullfør sparingsplanen for Anne til og med år 2024.

Krever PC

Hvor mange kroner vil Anne få i renter fra 2015 til og med 2024?

Kalkulator

Hvor mange kroner ville Anne hatt på kontoen dersom hun heller hadde spart $30 000$ kr per år fra 2015?

Husk å bruke formler og vise dem i besvarelsen.

Fasit

Se utfylt tabell i løsningsforslaget.

$42 617,68 kr$

$385 235,36 kr$

LøsningsforslagKI-generert

I regnearket bygger hver rad videre på raden over. Vi trenger tre formler, som kan skrives inn i cellene og kopieres nedover:

Starten av året (fra og med 2016) = Slutten av året året før $+ 15 000 kr$ (det nye innskuddet).
Renter = Starten av året $\cdot 4,50 %$ .
Slutten av året = Starten av året $+$ Renter.

For eksempel finner vi 2018 slik:

Starten av 2018 = 49 172,87 kr + 15 000 kr = 64 172,87 kr

Renter 2018 = 64 172,87 kr \cdot 4,50 % = 2 887,78 kr

Slutten av 2018 = 64 172,87 kr + 2 887,78 kr = 67 060,65 kr

Fullfører vi regnearket på samme måte for alle årene, får vi:

Årstall	Starten av året (kr)	Renter (kr)	Slutten av året (kr)
2015	15 000,00	675,00	15 675,00
2016	30 675,00	1 380,38	32 055,38
2017	47 055,38	2 117,49	49 172,87
2018	64 172,87	2 887,78	67 060,65
2019	82 060,65	3 692,73	85 753,37
2020	100 753,37	4 533,90	105 287,28
2021	120 287,28	5 412,93	125 700,20
2022	140 700,20	6 331,51	147 031,71
2023	162 031,71	7 291,43	169 323,14
2024	184 323,14	8 294,54	192 617,68

Anne har 192 617,68 kroner på kontoen ved utgangen av 2024.

Renter fra 2015 til og med 2024 er summen av tallene i renter-kolonnen i tabellen. I regnearket bruker vi formelen $= SUMMER (Renter 2015 : Renter 2024)$ :

675,00 kr + 1 380,38 kr + 2 117,49 kr + 2 887,78 kr + 3 692,73 kr

+ 4 533,90 kr + 5 412,93 kr + 6 331,51 kr + 7 291,43 kr + 8 294,54 kr = 42 617,68 kr

Anne får 42 617,68 kroner i renter fra 2015 til og med 2024.

Vi endrer det årlige sparebeløpet i regnearket fra $15 000 kr$ til $30 000 kr$ . Da endres formelen for starten av året til «forrige slutt $+ 30 000 kr$ », mens rente- og sluttformlene er de samme. Regnearket regner automatisk om hele tabellen:

Årstall	Starten av året (kr)	Renter (kr)	Slutten av året (kr)
2015	30 000,00	1 350,00	31 350,00
2016	61 350,00	2 760,75	64 110,75
2017	94 110,75	4 234,98	98 345,73
2018	128 345,73	5 775,56	134 121,29
2019	164 121,29	7 385,46	171 506,75
2020	201 506,75	9 067,80	210 574,55
2021	240 574,55	10 825,85	251 400,41
2022	281 400,41	12 663,02	294 063,43
2023	324 063,43	14 582,85	338 646,28
2024	368 646,28	16 589,08	385 235,36

Legger vi merke til at $30 000 kr$ er dobbelt så mye som $15 000 kr$ , ser vi at også sluttsummen blir nøyaktig dobbelt så stor: $2 \cdot 192 617,68 kr = 385 235,36 kr$ .

Dersom Anne hadde spart 30 000 kroner per år, ville hun hatt 385 235,36 kroner på kontoen ved utgangen av 2024.

Oppgavedata

Delt med: 1P-Y
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Regneark, Sparing, Rente
Egen side: Åpne oppgave 2-12 for seg selv

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Del 1uten hjelpemidler · 1,5 timer · 6 oppgaver · 24 poeng

Oppgave 1-1Kilometerstand og rekkevidde for elbil

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-2Rettvinklet trekant på kart over Oslo

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-3Areal av trekant, sirkel og parallellogram

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-4Førstegradslikning med negativ løsning og minus foran parentes

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-5Heiskortpriser i Hafjell Bike Park

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-6Reker til selskap og rekefiske

Forstå oppgaven med en KI

Del 2alle hjelpemidler · 2,5 timer · 6 oppgaver · 36 poeng

Oppgave 2-7Sølje fra regulær tolvkant i sølv

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-8Heges lønn med skifttillegg og feriepenger

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-9Dresin på Numedalsbanen og konsumprisindeks

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-10Svømmebasseng med dypere ende

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-11Dykkerklokke av jern

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-12Gårdssparing for unge i regneark

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Del 1uten hjelpemidler · 1,5 timer · 6 oppgaver · 24 poeng

Oppgave 1-1·Kilometerstand og rekkevidde for elbil

Oppgave 1-2·Rettvinklet trekant på kart over Oslo

Oppgave 1-3·Areal av trekant, sirkel og parallellogram

Oppgave 1-4·Førstegradslikning med negativ løsning og minus foran parentes

Oppgave 1-5·Heiskortpriser i Hafjell Bike Park

Oppgave 1-6·Reker til selskap og rekefiske

Del 2alle hjelpemidler · 2,5 timer · 6 oppgaver · 36 poeng

Oppgave 2-7·Sølje fra regulær tolvkant i sølv

Oppgave 2-8·Heges lønn med skifttillegg og feriepenger

Oppgave 2-9·Dresin på Numedalsbanen og konsumprisindeks

Oppgave 2-10·Svømmebasseng med dypere ende

Oppgave 2-11·Dykkerklokke av jern

Oppgave 2-12·Gårdssparing for unge i regneark

Temaer

Oppgave 1-1Kilometerstand og rekkevidde for elbil

Oppgave 1-2Rettvinklet trekant på kart over Oslo

Oppgave 1-3Areal av trekant, sirkel og parallellogram

Oppgave 1-4Førstegradslikning med negativ løsning og minus foran parentes

Oppgave 1-5Heiskortpriser i Hafjell Bike Park

Oppgave 1-6Reker til selskap og rekefiske

Oppgave 2-7Sølje fra regulær tolvkant i sølv

Oppgave 2-8Heges lønn med skifttillegg og feriepenger

Oppgave 2-9Dresin på Numedalsbanen og konsumprisindeks

Oppgave 2-10Svømmebasseng med dypere ende

Oppgave 2-11Dykkerklokke av jern

Oppgave 2-12Gårdssparing for unge i regneark