10. trinn Vår 2018 · Matematikkoppgaver

Oppgave 1-1Vekt av jordbærkurver og Emmas gjennomsnittsfart

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En kurv med jordbær veier $500 g$ .
6 kurver med jordbær veier til sammen kg

Emma løper $3 k m$ på $20 m i n$ .
Emmas gjennomsnittsfart er km/h

Fasit

$3 kg$

$9 k m / h$

LøsningsforslagKI-generert

Én kurv med jordbær veier $500 g$ . Da veier 6 kurver til sammen

6 \cdot 500 g = 3000 g

For å gjøre om fra gram til kilogram deler vi på $1000$ , siden $1 kg = 1000 g$ :

3000 g = \frac{3000}{1000} kg = 3 kg

6 kurver med jordbær veier $3 kg$ .

Emma løper $3 km$ på $20 \min$ . For å finne farten i $k m / h$ må vi først finne ut hvor mange kilometer hun ville løpt på $60 \min$ (én time), siden $20$ minutter går $3$ ganger på en time ( $60 : 20 = 3$ ):

3 km \cdot 3 = 9 km

Emma løper altså $9 km$ i timen. Gjennomsnittsfarten hennes er $9 k m / h$ .

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 2
Temaer: Måleenheter, Fart
Egen side: Åpne oppgave 1-1 for seg selv

Oppgave 1-2Potensuttrykk med grunntall to

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Skriv så enkelt som mulig

$2^{3} - 2 =$

$\frac{2^{2} \cdot 2^{4}}{2 + 2} =$

Fasit

$6$

$16$

LøsningsforslagKI-generert

Vi regner ut $2^{3}$ først, og trekker deretter fra $2$ :

2^{3} - 2 = 8 - 2 = 6

Svaret er $6$ .

Vi regner ut telleren og nevneren hver for seg. I telleren bruker vi at $2^{2} \cdot 2^{4} = 2^{2 + 4} = 2^{6} = 64$ . I nevneren regner vi ut $2 + 2 = 4$ :

\frac{2^{2} \cdot 2^{4}}{2 + 2} = \frac{64}{4} = 16

Svaret er $16$ .

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 2
Temaer: Potenser, Tallregning
Egen side: Åpne oppgave 1-2 for seg selv

Oppgave 1-3Minste verdi av 7,5, kvadratrota av 64 og 3π

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Hvilket av tallene har lavest verdi?

Fasit

$7,5$

LøsningsforslagKI-generert

Vi regner ut verdien av hvert av de fire tallene, slik at de kan sammenliknes:

7,5 = 7,5

\sqrt{64} = 8, siden 8 \cdot 8 = 64

3 π \approx 3 \cdot 3,14 = 9,42

\frac{36}{4} = 9

Vi sammenlikner de fire verdiene $7,5$ , $8$ , $9,42$ og $9$ , og ser at $7,5$ er det minste tallet.

Tallet med lavest verdi er $7,5$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 1
Temaer: Tallregning, Potenser
Egen side: Åpne oppgave 1-3 for seg selv

Oppgave 1-4Brøkdeler av Adrians PlayStation-spill

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Adrian spiller PlayStation.

$\frac{1}{5}$ av spillene hans er strategispill.
$\frac{1}{4}$ av spillene hans er sportsspill.
Resten av spillene hans er bilspill.

Hvor mange prosent av spillene er bilspill?

Adrian har til sammen $40$ spill. Hvor mange strategispill har han?
Svar: strategispill

Fasit

$55 %$

$8 strategispill$

LøsningsforslagKI-generert

Strategispill og sportsspill utgjør til sammen $\frac{1}{5} + \frac{1}{4}$ av spillene. Vi setter brøkene på fellesnevner $20$ :

\frac{1}{5} + \frac{1}{4} = \frac{4}{20} + \frac{5}{20} = \frac{9}{20}

Vi gjør om brøken til prosent ved å utvide til hundredeler:

\frac{9}{20} = \frac{45}{100} = 45 %

Bilspillene er resten av spillene, altså det som er igjen når vi trekker fra $45 %$ :

100 % - 45 % = 55 %

Andelen bilspill er $55 %$ .

Adrian har $40$ spill til sammen, og $\frac{1}{5}$ av dem er strategispill. Vi finner antallet ved å regne ut $\frac{1}{5}$ av $40$ :

\frac{1}{5} \cdot 40 = \frac{40}{5} = 8

Adrian har $8 strategispill$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Brøk, Prosentregning
Egen side: Åpne oppgave 1-4 for seg selv

Oppgave 1-5Antall rekkefølger i en stafett med fire løpere

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Thea, Eva, Anne og Caroline skal løpe hver sin del av en stafett.

Hvor mange ulike rekkefølger kan de stille seg opp i?

Fasit

$24$

LøsningsforslagKI-generert

Vi skal finne ut hvor mange ulike rekkefølger de fire jentene kan stille seg opp i.

Til den første plassen kan vi velge mellom alle $4$ jentene. Når den plassen er bestemt, er det bare $3$ jenter igjen å velge mellom til den andre plassen. Til den tredje plassen er det $2$ jenter igjen, og til den fjerde og siste plassen er det bare $1$ jente igjen.

Vi multipliserer antall muligheter for hver plass:

4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24

Det finnes $24$ ulike rekkefølger de fire jentene kan stille seg opp i.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 1
Temaer: Kombinatorikk
Egen side: Åpne oppgave 1-5 for seg selv

Oppgave 1-6Sannsynlighet for farge i en Non Stop-pose

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En Non Stop-pose inneholder disse $102$ sjokoladene:

$11$ oransje
$23$ gule
$19$ røde
$17$ grønne
$20$ svarte
$12$ brune

Du trekker tilfeldig én Non Stop.

Bestem sannsynligheten for at du trekker en gul Non Stop.
Svar:

Du trekker tilfeldig én Non Stop.

Bestem sannsynligheten for at du ikke trekker en svart Non Stop.
Svar:

Fasit

$P (gul) = \frac{23}{102} \approx 0,23$

$P (ikke svart) = \frac{41}{51} \approx 0,80$

LøsningsforslagKI-generert

Det er til sammen $102$ Non Stop i posen, og $23$ av dem er gule. Sannsynligheten for å trekke en gul finner vi ved å dele antall gunstige utfall på antall mulige utfall:

P (gul) = \frac{antall gule}{antall totalt} = \frac{23}{102} \approx 0,23

Sannsynligheten for å trekke en gul Non Stop er $\frac{23}{102} \approx 0,23$ , altså omtrent $23 %$ .

Først finner vi sannsynligheten for å trekke en svart Non Stop. Det er $20$ svarte av $102$ totalt:

P (svart) = \frac{20}{102}

Hendelsen «ikke svart» er den motsatte hendelsen (komplementhendelsen) av «svart». Sannsynligheten for en hendelse og den motsatte hendelsen skal til sammen bli $1$ :

P (ikke svart) = 1 - P (svart) = 1 - \frac{20}{102} = \frac{102}{102} - \frac{20}{102} = \frac{82}{102} = \frac{41}{51} \approx 0,80

Sannsynligheten for å ikke trekke en svart Non Stop er $\frac{41}{51} \approx 0,80$ , altså omtrent $80 %$ .

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 2
Temaer: Sannsynlighet
Egen side: Åpne oppgave 1-6 for seg selv

Oppgave 1-7Antall mennesker på jorden på standardform

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Det er omtrent $7 500 000 000$ mennesker på jorden.

Skriv tallet på standardform.

Fasit

$7,5 \cdot 10^{9}$

LøsningsforslagKI-generert

På standardform skrives et tall som $a \cdot 10^{n}$ , der $1 \leq a < 10$ .

Vi starter med tallet $7 500 000 000$ . Vi flytter desimaltegnet slik at det bare er ett siffer foran komma:

7 500 000 000 = 7,5 \cdot 10^{9}

Vi flyttet desimaltegnet $9$ plasser mot venstre (fra bak sisten null til rett etter $7$ -tallet), så eksponenten er $9$ .

Tallet på standardform er $7,5 \cdot 10^{9}$ .

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 1
Temaer: Standardform, Potenser
Egen side: Åpne oppgave 1-7 for seg selv

Oppgave 1-8Hvor mye smågodt Lisa kjøper for 48,50 kroner

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

I en butikk koster smågodt $13,90$ kroner per hektogram. Lisa betaler $48,50$ kroner.

Omtrent hvor mye smågodt kjøper Lisa?

Fasit

$\approx 3,5 hg$

LøsningsforslagKI-generert

Vi skal finne et overslag, så vi runder av tallene før vi regner.

Vi runder $48,50$ kr til $49$ kr, og prisen per hektogram $13,90$ kr til $14$ kr.

Antall hektogram finner vi ved å dele totalbeløpet på prisen per hektogram:

\frac{49 kr}{14 k r / h g} = 3,5 hg

Lisa kjøper omtrent $3,5 hg$ smågodt.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 1
Temaer: Forholdsregning, Økonomi
Egen side: Åpne oppgave 1-8 for seg selv

Oppgave 1-9Vinklene 3y og y på et rett linjestykke

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

I figuren nedenfor er $A B$ et rett linjestykke.

Et rett linjestykke AB med en stråle opp fra et punkt på linjestykket. Vinkelen til venstre for strålen er merket 3y, og vinkelen til høyre er merket y

Bestem ved regning hvor mange grader $∠ y$ er.

Fasit

$y = 45 °$

LøsningsforslagKI-generert

Siden $A B$ er et rett linjestykke, ligger de to vinklene $3 y$ og $y$ etter hverandre langs en rett linje. Da må de to vinklene til sammen bli $180 °$ :

3 y + y = 180

Vi trekker sammen leddene med $y$ på venstre side:

\begin{matrix} 3 y + y & = 180 \\ 4 y & = 180 \\ \frac{4 y}{4} & = \frac{180}{4} \\ y & = 45 \end{matrix}

Vinkelen $y$ er $45 °$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 1
Temaer: Vinkler, Likninger
Egen side: Åpne oppgave 1-9 for seg selv

Oppgave 1-10Forenkle 3(a+2)-2a og en algebraisk brøk

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Skriv så enkelt som mulig

3 (a + 2) - 2 a

\frac{a^{2} + a}{2 a + 2}

Fasit

$a + 6$

$\frac{a}{2}$

LøsningsforslagKI-generert

Først ganger vi ut parentesen ved å multiplisere $3$ med hvert ledd inni:

3 (a + 2) - 2 a = 3 \cdot a + 3 \cdot 2 - 2 a = 3 a + 6 - 2 a

Så trekker vi sammen leddene med $a$ :

3 a + 6 - 2 a = (3 a - 2 a) + 6 = a + 6

Uttrykket forenklet er $a + 6$ .

Vi faktoriserer telleren og nevneren hver for seg. I telleren er $a$ en felles faktor, og i nevneren er $2$ en felles faktor:

a^{2} + a = a (a + 1) 2 a + 2 = 2 (a + 1)

Da kan brøken skrives om til

\frac{a^{2} + a}{2 a + 2} = \frac{a (a + 1)}{2 (a + 1)}

Teller og nevner har nå den samme faktoren $(a + 1)$ . Vi forkorter bort denne felles faktoren (forutsatt at $a \neq - 1$ , slik at vi ikke deler på null):

\frac{a (a + 1)}{2 (a + 1)} = \frac{a}{2}

Brøken forkortet er $\frac{a}{2}$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Algebra, Brøk
Egen side: Åpne oppgave 1-10 for seg selv

Oppgave 1-11Løse 6x+3=17-x og likning med brøkledd

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Løs likningene

6 x + 3 = 17 - x

x - \frac{x}{3} = \frac{x + 1}{2}

Fasit

$x = 2$

$x = 3$

LøsningsforslagKI-generert

Vi vil ha alle $x$ -ledd på venstre side og alle tall på høyre side.

\begin{matrix} 6 x + 3 & = 17 - x \\ 6 x + 3 + x & = 17 - x + x \\ 7 x + 3 & = 17 \\ 7 x + 3 - 3 & = 17 - 3 \\ 7 x & = 14 \\ \frac{7 x}{7} & = \frac{14}{7} \\ x & = 2 \end{matrix}

Vi sjekker svaret ved å sette $x = 2$ inn i den opprinnelige likningen: $6 \cdot 2 + 3 = 15$ og $17 - 2 = 15$ . Det stemmer.

$x = 2$

Likningen har brøkledd med nevnerne $3$ og $2$ . Fellesnevneren er $6$ , så vi ganger begge sider med $6$ for å bli kvitt brøkene.

\begin{matrix} x - \frac{x}{3} & = \frac{x + 1}{2} \\ 6 \cdot (x - \frac{x}{3}) & = 6 \cdot \frac{x + 1}{2} \\ 6 x - 2 x & = 3 (x + 1) \\ 4 x & = 3 x + 3 \\ 4 x - 3 x & = 3 x + 3 - 3 x \\ x & = 3 \end{matrix}

Vi sjekker svaret: $x - \frac{x}{3} = 3 - 1 = 2$ , og $\frac{x + 1}{2} = \frac{4}{2} = 2$ . Det stemmer.

$x = 3$

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Likninger, Algebra
Egen side: Åpne oppgave 1-11 for seg selv

Oppgave 1-12Forholdet mellom espresso og melk i caffè latte

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Caffè latte er en kaffedrikk som lages av espresso og melk. Forholdet mellom espresso og melk er vanligvis $1 : 3$

Hvor mange desiliter melk trenger du for å lage $6,0 d L$ caffè latte?

Fasit

$4,5 dL$

LøsningsforslagKI-generert

Forholdet mellom espresso og melk er $1 : 3$ . Det betyr at caffè latten er delt inn i $1 + 3 = 4$ like deler: $1$ del espresso og $3$ deler melk.

Vi finner hvor mye én del er, ved å dele totalmengden på $4$ :

1 del = \frac{6,0 dL}{4} = 1,5 dL

Melk utgjør $3$ deler, så vi ganger med $3$ :

3 \cdot 1,5 dL = 4,5 dL

Vi sjekker: espresso er $1 \cdot 1,5 dL = 1,5 dL$ , og $1,5 dL + 4,5 dL = 6,0 dL$ . Det stemmer.

Du trenger $4,5 dL$ melk.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 1
Temaer: Forholdsregning
Egen side: Åpne oppgave 1-12 for seg selv

Oppgave 1-13Davids lønn for avissalg som lineær funksjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

På lørdager selger David aviser.

Han har en fastlønn på $50$ kroner. I tillegg får han $5$ kroner per avis han selger.

En lineær funksjon som viser sammenhengen mellom antall solgte aviser ( $x$ ) og lønn ( $y$ ), kan uttrykkes som

Tegn en graf som viser sammenhengen mellom antall solgte aviser ( $x$ ) og lønn ( $y$ ).

Tomt koordinatsystem med x-aksen merket antall solgte aviser fra 0 til 10 og y-aksen merket lønn fra 0 til 100

Fasit

$y = 5 x + 50$

Rett linje gjennom $(0, 50)$ og $(10, 100)$ .

LøsningsforslagKI-generert

David har en fast lønn på $50$ kroner, uansett hvor mange aviser han selger. Dette er konstantleddet i funksjonen.

I tillegg får han $5$ kroner for hver avis han selger. Selger han $x$ aviser, får han altså $5 x$ kroner i tillegg til fastlønnen.

Den totale lønnen $y$ blir derfor summen av fastlønnen og det han tjener per avis:

y = 5 x + 50

Vi setter opp en verditabell ved å velge noen verdier for $x$ og regne ut $y = 5 x + 50$ :

$x$ (antall aviser)	$y$ (lønn i kroner)
$0$	$5 \cdot 0 + 50 = 50$
$10$	$5 \cdot 10 + 50 = 100$

Vi setter av punktene $(0, 50)$ og $(10, 100)$ i koordinatsystemet og tegner en rett linje gjennom dem, siden funksjonen er lineær. Linja starter på $y$ -aksen i $50$ (der $x = 0$ , altså ingen solgte aviser) og stiger jevnt med $5$ kroner for hver avis David selger, opp til punktet $(10, 100)$ som ligger øverst til høyre i koordinatsystemet.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Lineære funksjoner, Graftegning
Egen side: Åpne oppgave 1-13 for seg selv

Oppgave 1-14Vinkelsummen i en regulær femkant

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Nedenfor er det tegnet en regulær femkant.

Regulær femkant delt opp i tre trekanter med stiplede diagonaler fra det øverste hjørnet

Vinkelsummen i en regulær femkant er

Fasit

$540 °$

LøsningsforslagKI-generert

Vi vet at vinkelsummen i en trekant alltid er $180 °$ .

Figuren viser at femkanten er delt opp i tre trekanter ved hjelp av diagonaler fra det øverste hjørnet. Vinklene i disse tre trekantene dekker til sammen akkurat alle vinklene i femkanten, uten at noen vinkler overlapper.

Vinkelsummen i femkanten blir derfor summen av vinkelsummene i de tre trekantene:

3 \cdot 180 ° = 540 °

Vinkelsummen i en regulær femkant er $540 °$ .

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 1
Temaer: Geometri, Vinkler
Egen side: Åpne oppgave 1-14 for seg selv

Oppgave 1-15Omkretsen til to sirkler der diameter er lik radius

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Diameteren til sirkel $A$ er lik radien til sirkel $B$ .

To sirkler som tangerer hverandre innvendig. Den lille røde sirkelen A ligger inne i den store blå sirkelen B, og diameteren til A er like lang som radien til B

Hva kan vi si om omkretsen til sirkel $B$ sammenliknet med omkretsen til sirkel $A$ ?

Fasit

Omkretsen til $B$ er dobbelt så lang som omkretsen til $A$ . $O_{B} = 2 \cdot O_{A}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi kaller radien til sirkel $A$ for $r_{A}$ . Da er diameteren til $A$ lik $2 r_{A}$ .

Siden diameteren til $A$ er lik radien til $B$ , har vi:

r_{B} = 2 r_{A}

Radien til sirkel $B$ er altså dobbelt så stor som radien til sirkel $A$ .

Omkretsen til en sirkel er gitt ved $O = 2 π r$ . Vi setter opp omkretsen til begge sirklene:

O_{A} = 2 π r_{A} O_{B} = 2 π r_{B} = 2 π \cdot 2 r_{A} = 2 \cdot (2 π r_{A}) = 2 \cdot O_{A}

Siden radien til $B$ er dobbelt så stor som radien til $A$ , blir også omkretsen til $B$ dobbelt så stor som omkretsen til $A$ .

$Omkretsen til B er dobbelt så lang som omkretsen til A$

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 1
Temaer: Sirkel, Areal og omkrets
Egen side: Åpne oppgave 1-15 for seg selv

Oppgave 1-16Pris på håndball og shorts fra to summer

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

To håndballer og ett par shorts koster til sammen 2 100 kroner. Tre håndballer og ett par shorts koster til sammen 3 000 kroner

Prisen for én håndball er kroner

Prisen for ett par shorts er kroner

Fasit

$900 kr$

$300 kr$

LøsningsforslagKI-generert

Vi kaller prisen for én håndball for $h$ og prisen for ett par shorts for $s$ .

To håndballer og ett par shorts koster $2 100 kr$ :

2 h + s = 2100 (I)

Tre håndballer og ett par shorts koster $3 000 kr$ :

3 h + s = 3000 (II)

Vi løser likningssystemet med innsettingsmetoden. Fra likning (I) løser vi ut $s$ :

\begin{matrix} 2 h + s & = 2100 \\ 2 h + s - 2 h & = 2100 - 2 h \\ s & = 2100 - 2 h \end{matrix}

Vi setter uttrykket for $s$ inn i likning (II):

\begin{matrix} 3 h + s & = 3000 \\ 3 h + (2100 - 2 h) & = 3000 \\ h + 2100 & = 3000 \\ h + 2100 - 2100 & = 3000 - 2100 \\ h & = 900 \end{matrix}

Vi setter $h = 900$ inn i uttrykket for $s$ :

\begin{matrix} s & = 2100 - 2 \cdot 900 \\ s & = 2100 - 1800 \\ s & = 300 \end{matrix}

Kontroll: $3 \cdot 900 + 300 = 2700 + 300 = 3000 kr$ ✓

En håndball koster $900 kr$ , og ett par shorts koster $300 kr$ .

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Likningssystem, Algebra
Egen side: Åpne oppgave 1-16 for seg selv

Oppgave 1-17Sektordiagram over skjermtid blant ungdommer

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Diagrammet nedenfor viser hvor mye tid ungdommer mellom 13 og 16 år i gjennomsnitt bruker foran en skjerm utenom skoletid en hverdag.

Sektordiagram over gjennomsnittlig skjermtid en hverdag: mindre enn en time 6 %, en til to timer 16 %, to til tre timer 23 %, tre til fire timer 25 % og mer enn fire timer 30 %

Hvor stor del av ungdommene bruker tre til fire timer i gjennomsnitt foran en skjerm utenom skoletid en hverdag? Skriv svaret som brøk.
Svar:

Det var $63 600$ ungdommer som deltok i undersøkelsen.
Hvor mange ungdommer sier at de bruker mer enn fire timer i gjennomsnitt foran en skjerm utenom skoletid en hverdag?

Fasit

$\frac{1}{4}$

$19 080$

LøsningsforslagKI-generert

Av sektordiagrammet ser vi at $25 %$ av ungdommene bruker tre til fire timer i gjennomsnitt foran en skjerm en hverdag. Vi skriver om prosenten til en brøk:

25 % = \frac{25}{100} = \frac{1}{4}

Svaret er $\frac{1}{4}$ av ungdommene.

Av sektordiagrammet ser vi at $30 %$ av ungdommene bruker mer enn fire timer i gjennomsnitt foran en skjerm. Det var $63 600$ ungdommer som deltok i undersøkelsen. Vi finner $30 %$ av $63 600$ :

\begin{matrix} 30 % av 63 600 & = \frac{30}{100} \cdot 63 600 \\ = 0,30 \cdot 63 600 \\ = 19 080 \end{matrix}

Det er $19 080$ ungdommer som sier at de bruker mer enn fire timer i gjennomsnitt foran en skjerm.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Diagram, Brøk, Prosentregning
Egen side: Åpne oppgave 1-17 for seg selv

Oppgave 1-18Gjerde og areal rundt Noras hage

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Nora har tegnet en skisse av hagen sin.

Sammensatt figur av hagen til Nora. Nederst et rektangel som er 10,0 m bredt. Øverst til venstre en rettvinklet trekant med hypotenus x, og øverst til høyre et rektangel som er 4,0 m bredt og 3,0 m høyt. Høyden på hele figuren til venstre og til høyre er 5,0 m, og det innerste vannrette linjestykket er 2,0 m

Bruk Pytagoras-setningen til å vise at $x = 5,0 m$

Nora vil sette opp et gjerde rundt hagen. Hvor mange meter vil gjerdet bli til sammen?

Hvor stort areal har hagen til Nora?

Fasit

Vist ved Pytagoras-setningen (se løsningsforslag)

$34,0 m$

$38 m^{2}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi tegner inn en hjelpelinje (den stiplede linja i figuren) vannrett fra venstre kant av figuren og bort til punktet der skråkanten $x$ møter resten av figuren. Denne hjelpelinja, sammen med linjestykkene rundt den, danner en rettvinklet trekant der $x$ er hypotenusen.

Den loddrette kateten: Hele figuren er $5,0 m$ høy. Til høyre i figuren er rektangelet $3,0 m$ høyt, så resten av høyden nedenfor er $5,0 - 3,0 = 2,0 m$ . Det betyr at hjelpelinja ligger $2,0 m$ over bunnen av figuren, mens toppen av trekanten er $5,0 m$ over bunnen. Den loddrette kateten blir da

5,0 - 2,0 = 3,0 m

Den vannrette kateten: Hele figuren er $10,0 m$ bred. Til høyre tar rektangelet $4,0 m$ og det vannrette linjestykket $2,0 m$ , altså $4,0 + 2,0 = 6,0 m$ til sammen. Den vannrette kateten blir da

10,0 - 6,0 = 4,0 m

Vi bruker Pytagoras-setningen på den rettvinklede trekanten med kateter $4,0 m$ og $3,0 m$ :

\begin{matrix} x^{2} & = {4,0}^{2} + {3,0}^{2} \\ x^{2} & = 16 + 9 \\ x^{2} & = 25 \\ x & = \sqrt{25} \\ x & = 5,0 \end{matrix}

Vi har dermed vist at $x = 5,0 m$ .

Gjerdet skal gå rundt hele hagen, så vi legger sammen alle sidekantene i figuren: den nederste siden ( $10,0 m$ ), høyre side ( $5,0 m$ ), toppen av det lille rektangelet ( $4,0 m$ ), venstre side av det lille rektangelet ( $3,0 m$ ), det vannrette linjestykket ( $2,0 m$ ), skråkanten ( $x = 5,0 m$ ) og til slutt venstre side av hele figuren ( $5,0 m$ ):

\begin{matrix} O & = 10,0 + 5,0 + 4,0 + 3,0 + 2,0 + 5,0 + 5,0 \\ O & = 34,0 \end{matrix}

Gjerdet blir $34,0 m$ langt.

Vi deler figuren i tre enkle deler: et rektangel nederst, en trekant øverst til venstre og et rektangel øverst til høyre.

Rektangelet nederst har bredde $10,0 m$ og høyde $2,0 m$ :

A_{1} = 10,0 \cdot 2,0 = 20 m^{2}

Trekanten øverst til venstre har kateter $4,0 m$ og $3,0 m$ :

A_{2} = \frac{4,0 \cdot 3,0}{2} = \frac{12}{2} = 6 m^{2}

Rektangelet øverst til høyre har bredde $4,0 m$ og høyde $3,0 m$ :

A_{3} = 4,0 \cdot 3,0 = 12 m^{2}

Det samlede arealet av hagen blir

A = A_{1} + A_{2} + A_{3} = 20 + 6 + 12 = 38 m^{2}

Hagen til Nora har et areal på $38 m^{2}$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Pytagoras, Areal og omkrets
Egen side: Åpne oppgave 1-18 for seg selv

Oppgave 1-19Arkimedes og sammenhengen mellom sylinder, kule og kjegle

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En kule har diameter lik $2 r$ .

En kjegle og en sylinder har begge høyde lik $2 r$ .

Arkimedes viste at volumet av sylinderen er lik samlet volum av kulen og kjeglen.

Bruk formlene nedenfor, og vis at dette stemmer.

En sylinder med radius r og høyde 2r er lik summen av en kule med radius r og en kjegle med radius r og høyde 2r

V_{Sylinder} = π r^{2} h V_{Kule} = \frac{4}{3} π r^{3} V_{Kjegle} = \frac{π r^{2} h}{3}

Fasit

Vist algebraisk (se løsningsforslag) at $V_{Sylinder} = V_{Kule} + V_{Kjegle} = 2 π r^{3}$

LøsningsforslagKI-generert

Sylinderen og kjeglen har begge høyde $h = 2 r$ , og alle tre figurene har radius $r$ .

Vi regner ut volumet av sylinderen:

\begin{matrix} V_{Sylinder} & = π r^{2} h \\ = π r^{2} \cdot 2 r \\ = 2 π r^{3} \end{matrix}

Vi regner ut volumet av kula:

V_{Kule} = \frac{4}{3} π r^{3}

Vi regner ut volumet av kjeglen:

\begin{matrix} V_{Kjegle} & = \frac{π r^{2} h}{3} \\ = \frac{π r^{2} \cdot 2 r}{3} \\ = \frac{2}{3} π r^{3} \end{matrix}

Så legger vi sammen volumet av kula og kjeglen:

\begin{matrix} V_{Kule} + V_{Kjegle} & = \frac{4}{3} π r^{3} + \frac{2}{3} π r^{3} \\ = \frac{4 + 2}{3} π r^{3} \\ = \frac{6}{3} π r^{3} \\ = 2 π r^{3} \end{matrix}

Dette er nøyaktig det samme som volumet av sylinderen, $V_{Sylinder} = 2 π r^{3}$ . Vi har dermed vist at

V_{Sylinder} = V_{Kule} + V_{Kjegle}

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 2
Temaer: Romgeometri, Volum, Bevis, Formler
Egen side: Åpne oppgave 1-19 for seg selv

Oppgave 2-1Besøkstall for filmer på Oslo-kinoene

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Besøkstallene for de mest populære filmene på Oslo-kinoene en dag i januar 2018:

Filmtittel	Besøkstall
Den 12. mann	$81 920$
Ferdinand	$22 369$
Insidious: The Last Key	$21 107$
The Last Jedi	$19 026$
Paddington 2	$7 465$

Kalkulator

Framstill besøkstallene på Oslo-kinoene i et passende diagram.

Kalkulator

Bestem medianen og gjennomsnittet for besøkstallene.

For hånd

Hvorfor er forskjellen mellom medianen og gjennomsnittet så stor?

Fasit

Søylediagram, se løsningsforslag

Median $= 21 107$ , gjennomsnitt $= 30 377,4$

$Den store forskjellen skyldes at "Den 12. mann" er en ekstremverdi$

LøsningsforslagKI-generert

Vi skal framstille besøkstallene i et passende diagram. Siden besøkstallene hører til hver sin film (kategorier, ikke tallverdier i en løpende rekkefølge), passer et søylediagram godt. Vi kan lage det i et regneark ved å skrive filmtitlene i én kolonne og besøkstallene i kolonnen ved siden av, markere begge kolonnene og velge “Sett inn søylediagram”.

Besøkstall for filmer på Oslo-kinoene, framstilt i søylediagram

Et sektordiagram (kakediagram) kunne også vært et gyldig valg, siden besøkstallene til sammen utgjør en helhet (alle besøkene denne dagen). Vi velger likevel søylediagram fordi det gjør det lettere å sammenlikne størrelsen på besøkstallene direkte mot hverandre.

For å finne medianen sorterer vi besøkstallene i stigende rekkefølge:

7 465, 19 026, 21 107, 22 369, 81 920

Det er $5$ tall, altså et oddetall. Medianen er da det midterste tallet, altså tallet på plass $3$ :

median = 21 107

For å finne gjennomsnittet legger vi sammen alle besøkstallene og deler på antall filmer ( $5$ ):

\begin{matrix} x & = \frac{81 920 + 22 369 + 21 107 + 19 026 + 7 465}{5} \\ = \frac{151 887}{5} \\ = 30 377,4 \end{matrix}

x = 30 377,4

Forskjellen mellom medianen ( $21 107$ ) og gjennomsnittet ( $30 377,4$ ) er stor fordi ett av tallene, $81 920$ for “Den 12. mann”, er mye høyere enn de andre fire besøkstallene. Dette tallet er en ekstremverdi.

Gjennomsnittet regnes ut ved å summere alle tallene, så en ekstremverdi trekker gjennomsnittet mye opp. Medianen ser bare på hvilket tall som ligger midt i den sorterte rekka, og påvirkes derfor lite av at ett enkelt tall er svært stort eller svært lite.

Den store forskjellen mellom median og gjennomsnitt skyldes altså at “Den 12. mann” har et besøkstall som er en ekstremverdi sammenliknet med de andre filmene.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: Statistikk, Sentralmål, Diagram, Presentasjon av data
Egen side: Åpne oppgave 2-1 for seg selv

Oppgave 2-2Padletur til øya med start klokka 10.30

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Eva og Peter padler fra roklubben til en øy. Der går de i land sammen og tar en pause før de padler tilbake.

Diagrammet nedenfor viser sammenhengen mellom tid og avstand fra roklubben.

Avstand fra roklubben i kilometer som funksjon av tiden i minutter. Både Eva og Peter starter i origo og er 4 km fra roklubben etter 30 minutter. De ligger stille til 60 minutter, og begge er tilbake ved roklubben etter 100 minutter

For hånd

Hvor langt er det fra roklubben til øya?

For hånd

Eva og Peter startet ved roklubben klokken 10.30.
Hva var klokken da de kom tilbake til roklubben?

For hånd

Bestem gjennomsnittsfarten deres fra øya til roklubben.

Fasit

$4 km$

$12.10$

$6 k m / h$

LøsningsforslagKI-generert

Vi leser av diagrammet. Avstanden fra roklubben er konstant lik $4 km$ fra $t = 30 \min$ til $t = 60 \min$ . Det er da de er på øya, så avstanden til øya er

$4 km$

Av diagrammet ser vi at begge er tilbake ved roklubben når $t = 100 \min$ .

Vi regner om $100 \min$ til timer og minutter:

100 \min = 60 \min + 40 \min = 1 time og 40 m i n u t t e r

De startet klokka $10.30$ , så vi legger til $1$ time og $40$ minutter:

10.30 + 1.40 = 12.10

De var altså tilbake ved roklubben klokka

$12.10$

Fra øya til roklubben brukte de tiden fra $t = 60 \min$ til $t = 100 \min$ , altså

100 \min - 60 \min = 40 \min

Avstanden tilbake er den samme som avstanden ut, $4 km$ . Selv om Eva og Peter padlet med litt ulik fart underveis (se de to ulike kurvene i diagrammet), var de begge $4 km$ fra land klokka $60 \min$ og framme ved roklubben klokka $100 \min$ . Gjennomsnittsfarten regnes ut fra total strekning delt på total tid, og blir derfor lik for begge.

Vi regner om $40 \min$ til timer:

40 \min = \frac{40}{60} h = \frac{2}{3} h

Gjennomsnittsfarten finner vi ved å dele strekningen på tiden:

v = \frac{4 km}{\frac{2}{3} h} = 4 km \cdot \frac{3}{2} = 6 k m / h

Gjennomsnittsfarten fra øya til roklubben var

$6 k m / h$

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Graftolkning, Fart
Egen side: Åpne oppgave 2-2 for seg selv

Oppgave 2-3Basketballsko med rabatt, straffekast og ballvolum

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Et par basketballsko som koster 899 kroner, og en basketballtrøye som koster 298 kroner

Kalkulator

Michael skal kjøpe et par basketballsko og en basketballtrøye. Han får $20 %$ rabatt.
Hvor mye må Michael betale til sammen for et par basketballsko og en basketballtrøye?

Kalkulator

Sannsynligheten for at Adam skårer på et straffekast i basketball, er $0,90$ .
Bestem sannsynligheten for at Adam skårer på to straffekast etter hverandre.

Kalkulator

En bestemt basketball har en omkrets på $74,5 c m$ .
Vis at volumet av denne basketballen er ca. $7 L$ .

Fasit

$957,60 kr$

$81 %$

$V \approx 7 L$

LøsningsforslagKI-generert

Vi finner først prisen for skoene og trøyen til sammen, uten rabatt:

899 kr + 298 kr = 1197 kr

Michael får $20 %$ rabatt, så han betaler $100 % - 20 % = 80 %$ av prisen. Vekstfaktoren blir da $0,80$ .

1197 kr \cdot 0,80 = 957,60 kr

Michael må betale

$957,60 kr$

Sannsynligheten for at Adam skårer på ett straffekast, er $0,90$ . De to straffekastene er uavhengige av hverandre, så vi bruker produktsetningen og ganger sannsynlighetene sammen:

P (skårer på begge) = 0,90 \cdot 0,90 = 0,81

Sannsynligheten for at Adam skårer på begge straffekastene, er

$0,81 = 81 %$

Omkretsen av en storsirkel på ballen er $C = 74,5 cm$ . Siden $C = 2 π r$ , finner vi radien ved å løse likningen med hensyn på $r$ :

\begin{matrix} 2 π r & = 74,5 \\ \frac{2 π r}{2 π} & = \frac{74,5}{2 π} \\ r & \approx 11,86 cm \end{matrix}

Ballen er (tilnærmet) kuleformet, så vi setter radien inn i formelen for volumet av en kule:

V = \frac{4}{3} π r^{3} = \frac{4}{3} π \cdot {11,86}^{3} \approx 6983 {cm}^{3}

Vi regner om til liter ved å dele på $1000$ , siden $1 L = 1000 {cm}^{3}$ :

V \approx \frac{6983}{1000} L \approx 6,98 L \approx 7 L

Vi har dermed vist at volumet av basketballen er

$V \approx 7 L$

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Prosentregning, Sannsynlighet, Kule, Volum
Egen side: Åpne oppgave 2-3 for seg selv

Oppgave 2-4Regneark for salgsinntekter til Norway Cup

Krever PC

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Frisk IL jenter 15 år skal samle inn penger for å kunne reise på Norway Cup. Jentene selger billetter, kioskvarer og parkeringsbevis på hjemmekampene til klubbens herrelag. For dette får jentene $35 %$ av inntektene fra salget.

Nedenfor ser du en tabell som viser prisene for billetter, kioskvarer og parkeringsbevis.


Billetter
Voksen	$80$ kroner
Barn	$50$ kroner
Kioskvarer
Kaffe	$25$ kroner
Brus	$30$ kroner
Pølse	$30$ kroner
Parkeringsbevis
Per bil	$50$ kroner

Regneark med overskriften Salg og inntekter. Rad 3 har teksten Lagets prosent av inntektene med en tom celle i kolonne D. Rad 5 har kolonneoverskriftene Antall, Pris, Totalt og Lagets inntekt. Radene 6 til 11 viser Billetter voksen 220 og barn 120, Kioskvarer kaffe 50, brus 60 og pølse 120, og Parkeringsbevis biler 150. Rad 13 har teksten Sum

Bruk opplysningene ovenfor. Lag og fullfør regnearket som er vist ovenfor. Vis hvilke formler du har brukt.

Fasit

Totalt salg: $37 750 kr$ . Lagets inntekt: $13 212,50 kr$ .

LøsningsforslagKI-generert

Vi lager regnearket slik det er vist i oppgaven, med kolonnene Antall, Pris, Totalt og Lagets inntekt. Øverst, i celle D3, skriver vi inn hvor stor prosentandel laget får av inntektene: $35 % = 0,35$ .

Deretter fyller vi inn prisene fra prislisten i kolonne D (Pris), og bruker formler for å regne ut Totalt og Lagets inntekt:

I E6 skriver vi formelen =C6*D6 (antall ganger pris), og drar den ned til E11.
I F6 skriver vi formelen =E6*$D$3 (totalt ganger lagets prosentandel), og drar den ned til F11. Dollartegnene gjør at D3 ikke flytter seg når formelen dras nedover.
I E13 (Sum) skriver vi =SUMMER(E6:E11).
I F13 (Sum) skriver vi =SUMMER(F6:F11).

Det ferdig utfylte regnearket ser slik ut:

		Antall	Pris (kr)	Totalt (kr)	Lagets inntekt (kr)
Billetter	Voksen	220	80	17 600	6 160
	Barn	120	50	6 000	2 100
Kioskvarer	Kaffe	50	25	1 250	437,5
	Brus	60	30	1 800	630
	Pølse	120	30	3 600	1 260
Parkeringsbevis	Biler	150	50	7 500	2 625
Sum				37 750	13 212,5

For eksempel gir raden for voksenbilletter $220 \cdot 80 kr = 17 600 kr$ i totalt salg, og laget får $35 %$ av dette: $17 600 kr \cdot 0,35 = 6 160 kr$ .

Summerer vi kolonnen Totalt, ser vi at det samlede salget blir $37 750 kr$ , og laget sitter igjen med $13 212,50 kr$ av inntektene.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Regneark, Økonomi, Prosentregning
Egen side: Åpne oppgave 2-4 for seg selv

Oppgave 2-5Andregradsfunksjon for et basketballkast

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Christian kaster en basketball mot en basketballkurv. En funksjon $h$ som beskriver kastet der basketballen lander i basketballkurven, er gitt ved

h (x) = - 0,20 x^{2} + 1,19 x + 2,00

Her viser $h (x)$ hvor mange meter basketballen er over bakken når basketballen er $x$ meter fra Christian, målt langs bakken. Se skissen nedenfor.

Skisse av en gutt som kaster en basketball i en bue mot en basketballkurv. Avstanden langs bakken fra gutten til kurven er 5,0 m

Krever PC

Tegn grafen for $0 \leq x \leq 5$

Krever PC

Bestem grafisk hvor høyt over bakken basketballen er idet den forlater hånden til Christian.

Krever PC

Bestem grafisk hvor høyt over bakken basketballen er i det høyeste punktet.

Fasit

Se graf nedenfor.

$h (0) = 2,00 m$

$h_{topp} \approx 3,77 m$

LøsningsforslagKI-generert

Vi tegner grafen til

h (x) = - 0,20 x^{2} + 1,19 x + 2,00

for $0 \leq x \leq 5$ i GeoGebra. Punktet $A$ viser hvor grafen starter (der ballen forlater hånden), og punktet $B$ viser toppunktet på grafen.

Grafen til h(x) med start- og toppunkt markert

Idet basketballen forlater hånden til Christian, er $x = 0$ (avstanden langs bakken er null). Vi leser av grafen at punktet $A$ ligger på $y$ -aksen, i høyden

h (0) = 2,00 m

Basketballen er $2,00 m$ over bakken idet den forlater hånden til Christian.

Det høyeste punktet på grafen er toppunktet, markert som $B$ på grafen. Vi leser av at $B \approx (2,98; 3,77)$ , altså er $x$ -koordinaten til toppunktet omtrent $2,98$ og $y$ -koordinaten omtrent $3,77$ .

I det høyeste punktet er basketballen omtrent $3,77 m$ over bakken.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: Andregradsfunksjon, Graftegning, Graftolkning
Egen side: Åpne oppgave 2-5 for seg selv

Oppgave 2-6Pulsslag og formel for makspuls

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

For hånd

Daniella teller $20$ pulsslag på $15 s$ .
Hvor mange pulsslag har hun i løpet av $1 m i n$ ?

Makspuls er antall slag hjertet maksimalt kan slå per minutt.

En formel for tilnærmet makspuls $M$ til en person med alder $A$ er gitt ved

M = 211 - 0,64 \cdot A

Kalkulator

Alderen til Monica er $25 år$ . Bruk formelen til å regne ut makspulsen til Monica.

For hånd

Lag en formel for alder $A$ uttrykt ved makspuls $M$ .

Fasit

$80 p u l s s l a g$

$M = 195$

$A = \frac{211 - M}{0,64}$

LøsningsforslagKI-generert

Daniella teller $20$ pulsslag på $15 s$ . Det går $4$ slike $15$ -sekundersperioder på ett minutt, siden

60 s \div 15 s = 4

Antall pulsslag på $1$ minutt blir da

20 \cdot 4 = 80

Daniella har

$80 pulsslag i løpet av 1 min$

Vi setter $A = 25$ inn i formelen $M = 211 - 0,64 \cdot A$ :

\begin{matrix} M & = 211 - 0,64 \cdot 25 \\ M & = 211 - 16 \\ M & = 195 \end{matrix}

Makspulsen til Monica er

$M = 195$

Vi tar utgangspunkt i formelen og løser med hensyn på $A$ :

\begin{matrix} M & = 211 - 0,64 \cdot A \\ M - 211 & = 211 - 0,64 \cdot A - 211 \\ M - 211 & = - 0,64 \cdot A \\ \frac{M - 211}{- 0,64} & = \frac{- 0,64 \cdot A}{- 0,64} \\ \frac{M - 211}{- 0,64} & = A \end{matrix}

Vi snur brøken slik at telleren blir positiv:

A = \frac{211 - M}{0,64}

En formel for alderen uttrykt ved makspulsen er

$A = \frac{211 - M}{0,64}$

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Formler, Algebra, Forholdsregning
Egen side: Åpne oppgave 2-6 for seg selv

Oppgave 2-7Trekant innskrevet i sirkel med normal fra C

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Figuren nedenfor viser en $△ A B C$ som er innskrevet i en sirkel med sentrum i $S$ . Normalen fra $C$ treffer $A B$ i punktet $D$ .

Sirkel med sentrum S og diameter AB. Punktet C ligger på sirkelen, vinkel A er 30 grader, og normalen fra C treffer AB i punktet D

For hånd

Velg én av framgangsmåtene nedenfor til å konstruere eller tegne figuren.

Passer, linjal og blyant:

Merk av et punkt $S$ , og slå en sirkel med radius $5,0 c m$ .
Trekk diameter $A B = 10,0 c m$ gjennom $S$ .
Konstruer $∠ A = 30 °$ og finn punktet $C$ . Trekk $B C$ .
Konstruer normalen fra $C$ til $A B$ .

Dynamisk geometriprogram:

Merk av et punkt $S$ , og tegn en sirkel med radius $5,0 c m$ .
Tegn diameter $A B = 10,0 c m$ gjennom $S$ .
Tegn $∠ A = 30 °$ og finn punktet $C$ . Tegn $B C$ .
Tegn normalen fra $C$ til $A B$ .

I $△ A B C$ er $∠ B C A = 90 °$ .

For hånd

Vis at $△ A D C \sim △ C D B$ .

Kalkulator

Bestem ved regning lengden av $C D$ .

Fasit

Konstruksjon (se figur i oppgaveteksten)

Vist ved vinkelbetraktning, se løsning

$C D = \frac{5 \sqrt{3}}{2} cm \approx 4,33 cm$

LøsningsforslagKI-generert

Trekanten konstrueres med passer, linjal og blyant, eller tegnes i et dynamisk geometriprogram som GeoGebra, etter framgangsmåten i oppgaveteksten:

Sett av punktet $S$ , og slå en sirkel med radius $5,0 cm$ .
Trekk diameteren $A B = 10,0 cm$ gjennom $S$ .
Konstruer $∠ A = 30 °$ fra $A$ , og finn punktet $C$ der denne linja treffer sirkelen. Trekk $B C$ .
Konstruer normalen fra $C$ ned på $A B$ , og kall skjæringspunktet $D$ .

Ferdig konstruert skal figuren se ut som figuren i oppgaveteksten, med $∠ B C A = 90 °$ (siden $A B$ er diameter i sirkelen).

Siden $C D$ er normalen fra $C$ til $A B$ , er

∠ A D C = ∠ C D B = 90 °

I $△ A B C$ er $∠ A C B = 90 °$ . Normalen $C D$ deler denne vinkelen i to, slik at

∠ A C D + ∠ D C B = 90 °

I $△ A D C$ er vinkelsummen $180 °$ , så

∠ D A C + ∠ A D C + ∠ A C D = 180 °

∠ D A C + 90 ° + ∠ A C D = 180 °

∠ A C D = 90 ° - ∠ D A C = 90 ° - ∠ A

Setter vi dette inn i uttrykket for $∠ D C B$ over, får vi

∠ D C B = 90 ° - ∠ A C D = 90 ° - (90 ° - ∠ A) = ∠ A

Altså er $∠ D C B = ∠ D A C$ (begge lik $∠ A$ ), i tillegg til at $∠ A D C = ∠ C D B = 90 °$ .

To par av like vinkler betyr at trekantene er formlike (AA-likhet), med hjørnene i rekkefølgen $A \leftrightarrow C$ , $D \leftrightarrow D$ , $C \leftrightarrow B$ . Dermed er

△ A D C \sim △ C D B

Vinkelsummen i $△ A B C$ gir

∠ B = 180 ° - ∠ A - ∠ C = 180 ° - 30 ° - 90 ° = 60 °

$△ A B C$ er dermed en $30 °$ - $60 °$ - $90 °$ -trekant med hypotenus $A B = 10 cm$ . I en slik trekant (halvparten av en likesidet trekant delt av høyden) er kateten motstående $30 °$ lik halve hypotenusen, og kateten motstående $60 °$ lik $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ganger hypotenusen. Det gir

B C = \frac{A B}{2} = \frac{10}{2} = 5 cm

A C = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot A B = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 10 = 5 \sqrt{3} cm

I $△ A D C$ er $∠ A D C = 90 °$ og $∠ D A C = ∠ A = 30 °$ , så også denne trekanten er en $30 °$ - $60 °$ - $90 °$ -trekant, nå med hypotenus $A C = 5 \sqrt{3} cm$ . Siden $C D$ ligger motstående $∠ A = 30 °$ , er $C D$ lik halve hypotenusen $A C$ :

C D = \frac{A C}{2} = \frac{5 \sqrt{3}}{2} cm \approx 4,33 cm

C D = \frac{5 \sqrt{3}}{2} cm \approx 4,33 cm

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 4
Temaer: Konstruksjon, Formlike trekanter, Rettvinklet trekant, Geometri
Egen side: Åpne oppgave 2-7 for seg selv

Oppgave 2-8Omkretsen av en fidget spinner

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En fidget spinner er en leke som er laget med et sirkelformet kulelager i midten og med tre «armer».

Nedenfor ser du en del av en forenklet tegning av en fidget spinner. $△ A B C$ (rød farge) er en likesidet trekant. Alle sirklene har radius lik $1,5 c m$ .

Forenklet tegning av en fidget spinner. Den likesidede trekanten ABC er tegnet med rødt. Omrisset av spinneren består av tre sirkelbuer på 240 grader med sentrum i A, B og C, og tre sirkelbuer på 120 grader mellom dem. S er sentrum i figuren, og D er fotpunktet for normalen fra S til AB

For hånd

Vis at omkretsen av fidget spinneren, markert med blå sirkelbuer, er $9 π c m$ .

Kalkulator

Bestem ved regning omkretsen til $△ A B C$ .

Fasit

Vist, se løsning

$O_{△ A B C} = 9 \sqrt{3} cm \approx 15,6 cm$

LøsningsforslagKI-generert

Omrisset av fidget spinneren består av seks sirkelbuer med radius $r = 1,5 cm$ : tre buer på $240 °$ (med sentrum i $A$ , $B$ og $C$ ) og tre buer på $120 °$ (mellom dem).

Omkretsen av en hel sirkel med radius $1,5 cm$ er

2 π r = 2 π \cdot 1,5 = 3 π cm

Buelengden for én bue finner vi ved å ta andelen av hele sirkelen som buen utgjør, ganger omkretsen. De tre $240 °$ -buene gir til sammen

3 \cdot \frac{240}{360} \cdot 3 π = 3 \cdot \frac{2}{3} \cdot 3 π = 6 π cm

og de tre $120 °$ -buene gir til sammen

3 \cdot \frac{120}{360} \cdot 3 π = 3 \cdot \frac{1}{3} \cdot 3 π = 3 π cm

Summen av alle seks buene er dermed

6 π + 3 π = 9 π cm

som skulle vises.

De seks sirklene (tre med sentrum i $A$ , $B$ , $C$ og tre “innoverbuede” mellom dem) har alle radius $1,5 cm$ , og naboirkler tangerer hverandre. Figuren viser at $S$ er sentrum i hele figuren, og at $D$ er fotpunktet for normalen fra $S$ til $A B$ .

Siden de seks sirkelsentrene ligger jevnt fordelt rundt $S$ (én for hver $60 °$ ), og avstanden mellom to nabosentre er $2 r = 3 cm$ (fordi sirklene tangerer hverandre), danner $S$ og to nabosentre en trekant der to sider går ut fra $S$ med en vinkel på $60 °$ mellom seg. En likebeint trekant med toppvinkel $60 °$ er likesidet, så alle tre sidene i denne trekanten er like lange. Det betyr at avstanden fra $S$ til hvert sirkelsentrum er den samme som avstanden mellom to nabosentre:

S A = S B = S C = 2 r = 3 cm

$S$ ligger altså like langt fra $A$ , $B$ og $C$ , og siden $△ A B C$ er likesidet, deler normalen $S D$ vinkelen $∠ A S B = 120 °$ (én tredjedel av $360 °$ ) i to like deler:

∠ D S B = \frac{120 °}{2} = 60 °

I den rettvinklede trekanten $S D B$ (rett vinkel i $D$ ) er hypotenusen $S B = 3 cm$ . Siden $D B$ ligger motstående $∠ D S B = 60 °$ , er

D B = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot S B = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 3 = \frac{3 \sqrt{3}}{2} cm

Siden $D$ er midtpunktet på $A B$ , er

A B = 2 \cdot D B = 2 \cdot \frac{3 \sqrt{3}}{2} = 3 \sqrt{3} cm \approx 5,20 cm

$△ A B C$ er likesidet, så omkretsen blir

O_{△ A B C} = 3 \cdot A B = 3 \cdot 3 \sqrt{3} = 9 \sqrt{3} cm \approx 15,6 cm

O_{△ A B C} = 9 \sqrt{3} cm \approx 15,6 cm

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 4
Temaer: Sirkel, Areal og omkrets, Geometri
Egen side: Åpne oppgave 2-8 for seg selv

Oppgave 2-9Sum av naturlige tall med Gauss sin metode

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Da den store matematikeren Carl Friedrich Gauss var ni år gammel, ga læreren han som oppgave å addere de naturlige tallene fra og med 1 til og med 100.

1 + 2 + 3 + 4 + \dots + 50 + 51 + \dots + 97 + 98 + 99 + 100

Gauss kom fram til riktig svar etter veldig kort tid ved å bruke parvis addisjon.

Summen 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 50 + 51 + ... + 97 + 98 + 99 + 100 der tallene er koblet sammen parvis fra hver ende. Hvert av parene 1 og 100, 2 og 99, 3 og 98, 4 og 97 og 50 og 51 gir summen 101

Dermed fikk Gauss at $50 \cdot 101 = 5050$

For hånd

Bestem summen av de naturlige tallene fra og med 1 til og med 1000 ved å bruke metoden til Gauss.

For hånd

Lag en formel for summen av de naturlige tallene fra og med 1 til og med $n$ . Kontroller om formelen stemmer for $n = 100$ .

Fasit

$500 500$

$S_{n} = \frac{n (n + 1)}{2}$ , stemmer for $n = 100$ ( $S_{100} = 5050$ )

LøsningsforslagKI-generert

Vi bruker samme metode som Gauss: Vi parer sammen det minste og det største tallet, det nest minste og det nest største, og så videre. Da blir summen i hvert par den samme:

1 + 1000 = 1001, 2 + 999 = 1001, 3 + 998 = 1001, \dots

Tallene fra 1 til 1000 er 1000 tall i alt, så de kan deles inn i

\frac{1000}{2} = 500 par

Hvert par gir summen $1001$ , så totalsummen blir

500 \cdot 1001 = 500 500

1 + 2 + 3 + \dots + 1000 = 500 500

Vi gjør det samme resonnementet som i a), men nå med $n$ i stedet for et bestemt tall. Tallene fra 1 til $n$ er $n$ tall i alt, og vi parer sammen det minste og det største, det nest minste og det nest største, og så videre:

1 + n, 2 + (n - 1), 3 + (n - 2), \dots

Hvert par gir samme sum, $n + 1$ . Siden det er $n$ tall totalt, blir det $\frac{n}{2}$ par, og summen blir

S_{n} = \frac{n}{2} \cdot (n + 1) = \frac{n (n + 1)}{2}

Kontroll for $n = 100$ :

S_{100} = \frac{100 \cdot (100 + 1)}{2} = \frac{100 \cdot 101}{2} = \frac{10 100}{2} = 5050

Dette stemmer med svaret Gauss selv fant i oppgaveteksten, så formelen er riktig.

S_{n} = \frac{n (n + 1)}{2}

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Tallfølger, Mønstre, Formler, Argumentasjon
Egen side: Åpne oppgave 2-9 for seg selv

Del 1uten hjelpemidler · 2 timer · 19 oppgaver · 31 poeng

Oppgave 1-1·Vekt av jordbærkurver og Emmas gjennomsnittsfart

Oppgave 1-2·Potensuttrykk med grunntall to

Oppgave 1-3·Minste verdi av 7,5, kvadratrota av 64 og 3π

Oppgave 1-4·Brøkdeler av Adrians PlayStation-spill

Oppgave 1-5·Antall rekkefølger i en stafett med fire løpere

Oppgave 1-6·Sannsynlighet for farge i en Non Stop-pose

Oppgave 1-7·Antall mennesker på jorden på standardform

Oppgave 1-8·Hvor mye smågodt Lisa kjøper for 48,50 kroner

Oppgave 1-9·Vinklene 3y og y på et rett linjestykke

Oppgave 1-10·Forenkle 3(a+2)-2a og en algebraisk brøk

Oppgave 1-11·Løse 6x+3=17-x og likning med brøkledd

Oppgave 1-12·Forholdet mellom espresso og melk i caffè latte

Oppgave 1-13·Davids lønn for avissalg som lineær funksjon

Oppgave 1-14·Vinkelsummen i en regulær femkant

Oppgave 1-15·Omkretsen til to sirkler der diameter er lik radius

Oppgave 1-16·Pris på håndball og shorts fra to summer

Oppgave 1-17·Sektordiagram over skjermtid blant ungdommer

Oppgave 1-18·Gjerde og areal rundt Noras hage

Oppgave 1-19·Arkimedes og sammenhengen mellom sylinder, kule og kjegle

Del 2alle hjelpemidler · 3 timer · 9 oppgaver · 35 poeng

Oppgave 2-1·Besøkstall for filmer på Oslo-kinoene

Oppgave 2-2·Padletur til øya med start klokka 10.30

Oppgave 2-3·Basketballsko med rabatt, straffekast og ballvolum

Oppgave 2-4·Regneark for salgsinntekter til Norway Cup

Oppgave 2-5·Andregradsfunksjon for et basketballkast

Oppgave 2-6·Pulsslag og formel for makspuls

Oppgave 2-7·Trekant innskrevet i sirkel med normal fra C

Oppgave 2-8·Omkretsen av en fidget spinner

Oppgave 2-9·Sum av naturlige tall med Gauss sin metode

Temaer

Oppgave 1-1Vekt av jordbærkurver og Emmas gjennomsnittsfart

Oppgave 1-2Potensuttrykk med grunntall to

Oppgave 1-3Minste verdi av 7,5, kvadratrota av 64 og 3π

Oppgave 1-4Brøkdeler av Adrians PlayStation-spill

Oppgave 1-5Antall rekkefølger i en stafett med fire løpere

Oppgave 1-6Sannsynlighet for farge i en Non Stop-pose

Oppgave 1-7Antall mennesker på jorden på standardform

Oppgave 1-8Hvor mye smågodt Lisa kjøper for 48,50 kroner

Oppgave 1-9Vinklene 3y og y på et rett linjestykke

Oppgave 1-10Forenkle 3(a+2)-2a og en algebraisk brøk

Oppgave 1-11Løse 6x+3=17-x og likning med brøkledd

Oppgave 1-12Forholdet mellom espresso og melk i caffè latte

Oppgave 1-13Davids lønn for avissalg som lineær funksjon

Oppgave 1-14Vinkelsummen i en regulær femkant

Oppgave 1-15Omkretsen til to sirkler der diameter er lik radius

Oppgave 1-16Pris på håndball og shorts fra to summer

Oppgave 1-17Sektordiagram over skjermtid blant ungdommer

Oppgave 1-18Gjerde og areal rundt Noras hage

Oppgave 1-19Arkimedes og sammenhengen mellom sylinder, kule og kjegle

Oppgave 2-1Besøkstall for filmer på Oslo-kinoene

Oppgave 2-2Padletur til øya med start klokka 10.30

Oppgave 2-3Basketballsko med rabatt, straffekast og ballvolum

Oppgave 2-4Regneark for salgsinntekter til Norway Cup

Oppgave 2-5Andregradsfunksjon for et basketballkast

Oppgave 2-6Pulsslag og formel for makspuls

Oppgave 2-7Trekant innskrevet i sirkel med normal fra C

Oppgave 2-8Omkretsen av en fidget spinner

Oppgave 2-9Sum av naturlige tall med Gauss sin metode