Bunnen (og toppen) av boksen består av et rektangel og to halvsirkler.

Arealet av rektanglet er $x\cdot y$.

De to halvsirklene har til sammen radius ${\displaystyle \frac{x}{2}}$ (siden bredden i rektanglet er $x$, er diameteren $x$ og dermed radius ${\displaystyle \frac{x}{2}}$). To halvsirkler med radius $r$ er det samme som én hel sirkel:

Det totale tverrsnittarealet (bunn eller topp) er da:

Volumet av boksen er tverrsnittarealet multiplisert med høyden $h$:

Forklare $y=10-x$:

Summen av lengden og bredden i rektanglet skal være $10\mathrm{cm}$:

Forklare $h=5-x$:

Summen av bredden og høyden skal være $5\mathrm{cm}$:

Sette inn i volumformelen:

Vi setter inn $y=10-x$ og $h=5-x$:

$\underline{\underline{V(x)=({\displaystyle \frac{\pi x^2}{4}}+10x-x^2)(5-x)}}$

Definisjonsområdet er $0<x<5$ (siden $h=5-x>0$ og $x>0$).

Vi skal finne $x$-verdien som gir størst mulig volum.

Metode: derivasjon

Vi skriver ut $V(x)$:

Vi deriverer:

Vi setter $V^{\prime }(x)=0$ og løser (andregradsligning). Det gir to løsninger, og den som ligger i området $0<x<5$ er:

Maksimalt volum:

Boksen må være $\underline{\underline{x\approx \mathrm{2,43}\mathrm{cm}}}$ bred for at volumet skal bli størst mulig. Maksimalt volum er omtrent $\underline{\underline{\mathrm{59,2}{\mathrm{cm}}^3}}$.