Vipebestand med eksponentielle modeller

Vipa er kritisk truet fugleart i Norge.

I 2013 ble bestanden av viper anslått til å være omtrent 9000 par. I 2022 var bestanden omtrent 2500 par.

År	2013	2022
Vipebestand (par)	9000	2500

Vipe (fugl). — Kilde: iStock/CreativeNature_nl

Tor antar at bestanden av viper har avtatt lineært og vil fortsette å avta lineært i årene framover. Egil antar at nedgangen har vært, og fortsatt vil være, eksponentiell.

La $x$ være antall år etter 2013.

Lag en modell $f$ som viser utviklingen av vipebestanden ut fra Tors antakelser. Forklar hva modellen forteller om utviklingen.

Lag en modell $g$ som viser utviklingen av vipebestanden ut fra Egils antakelser. Forklar hva modellen forteller om utviklingen.

Myndigheter og interesseorganisasjoner arbeider med å verne hekkeområdene til vipa. De håper at dette skal bidra til å stoppe nedgangen, slik at bestanden vil stabilisere seg.

Egil ønsker å lage en ny modell som tar hensyn til dette. Han lager først den eksponentielle modellen $p$ . Så endrer han litt på denne og kommer fram til modellen $q$ . Nedenfor ser du grafene til de to modellene.

Tre koordinatsystemer som viser modellen p, modellen p og modellen q sammen, og modellen q alene

Gjør rede for hvilke antakelser Egil har lagt til grunn for modellen $q$ . Bestem $p(x)$ og $q(x)$ .

Fasit

$f(x) = -\dfrac{6500}{9}x + 9000 \approx -722{,}2x + 9000$

$g(x) = 9000 \cdot 0{,}867^x$

$p(x) = 7000 \cdot 0{,}746^x$ , $\quad q(x) = 7000 \cdot 0{,}746^x + 2000$

LøsningsforslagKI-generert

Grafer for f og g (lineær og eksponentiell modell) og Egils modeller p og q

Vi bruker de to datapunktene $(0, 9000)$ og $(9, 2500)$ .

En lineær modell har formen $f(x) = ax + b$ .

Siden $x = 0$ svarer til år 2013 og bestanden da var 9000, får vi direkte

b = 9000

Stigningstallet finner vi ved

a = \frac{2500 - 9000}{9 - 0} = \frac{-6500}{9} \approx -722{,}2

Den lineære modellen er

\boxed{f(x) = -\frac{6500}{9}x + 9000 \approx -722{,}2x + 9000}

Tolkning: I 2013 var bestanden 9000 par. Ifølge modellen synker bestanden med omtrent $\mathbf{722}$ par per år. Modellen predikerer at bestanden faller til null rundt $x \approx 12{,}5$ , dvs. rundt år 2025–2026.

En eksponentiell modell har formen $g(x) = 9000 \cdot b^x$ (startverdi 9000 ved $x = 0$ ).

Vi bruker punktet $(9, 2500)$ :

\begin{aligned} 9000 \cdot b^9 &= 2500 \\ b^9 &= \frac{2500}{9000} = \frac{5}{18} \\ b &= \left(\frac{5}{18}\right)^{\tfrac{1}{9}} \approx 0{,}867 \end{aligned}

Den eksponentielle modellen er

\boxed{g(x) = 9000 \cdot 0{,}867^x}

Tolkning: I 2013 var bestanden 9000 par. Ifølge modellen avtar bestanden med ca. $\mathbf{13{,}3\,\%}$ per år (siden $b \approx 0{,}867$ betyr $1 - 0{,}867 = 0{,}133 = 13{,}3\,\%$ nedgang). Bestanden nærmer seg null, men når aldri null.

Egils antakelse: Egil antar at bestanden ikke vil falle til null, men stabilisere seg på 2000 par. Modell $q$ har derfor en horisontal asymptote ved $y = 2000$ .

Konstruksjon av $p$ :

Egil lager først modellen $p$ ved å trekke fra 2000 fra alle bestandsverdier – han ser på den «overskytende» bestanden utover 2000 par:

Ved $x = 0$ : $9000 - 2000 = 7000$
Ved $x = 9$ : $2500 - 2000 = 500$

Modellen $p$ er eksponentiell med startverdi 7000:

p(x) = 7000 \cdot c^x

Vi finner $c$ fra punktet $(9, 500)$ :

\begin{aligned} 7000 \cdot c^9 &= 500 \\ c^9 &= \frac{500}{7000} = \frac{1}{14} \\ c &= \left(\frac{1}{14}\right)^{\tfrac{1}{9}} \approx 0{,}746 \end{aligned}

\boxed{p(x) = 7000 \cdot 0{,}746^x}

Konstruksjon av $q$ :

Egil hever $p$ opp med 2000 (legger tilbake det han trakk fra) slik at bestanden stabiliserer seg ved 2000 par:

\boxed{q(x) = 7000 \cdot 0{,}746^x + 2000}

Tolkning: Modell $q$ har horisontal asymptote $y = 2000$ : bestanden avtar fortsatt eksponentielt, men tilnærmer seg 2000 par på sikt uten å falle under det. Dette gjenspeiler antakelsen om at vernearbeidet vil stabilisere bestanden på minst 2000 par.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 6 poeng

Her gis i utgangspunktet 1 poeng for riktig modell og 1 poeng for riktig forklaring.

For å få uttelling for modellen, må $x$ være år etter 2013.

For å få uttelling for forklaringen, må den knyttes til den konkrete modellen og beskrive en nedgang på omtrent 722 par hvert år.

Her gis i utgangspunktet 1 poeng for riktig modell og 1 poeng for riktig forklaring.

For å få uttelling for modellen, må $x$ være år etter 2013. (En kandidat som er trukket for dette i oppgave a), skal ikke trekkes for samme feil i oppgave b).)

En riktig eksponentiell modell skrevet på formen $g(x) = a \cdot e^{bx}$ , gir også 1 poeng.

For å få uttelling for forklaringen, må den knyttes til den konkrete modellen og beskrive en nedgang på ca. 13 % hvert år.

For å få 2 poeng, må kanadidaten gjøre rede for at Egil antar at bestanden vil avta eksponentielt, men stabiliserer seg på 2000 par.

Kandidaten må også komme fram til riktige modeller og gjøre rede for hvordan modellene framkommer.

En kandidat som gjør rede for at Egil antar bestanden vil stabilisere seg på ca. 2000 par og kommer fram til en modell på formen $a \cdot b^x + c$ eller $a \cdot e^{bx} + c$ , får 1 poeng.

Oppgavedata

Delt med: 1P, 1T
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Eksponentialfunksjon, Modellering, Graftolkning
Kompetansemål: Modellere situasjonar knytte til ulike tema, drøfte, presentere og forklare resultata og argumentere for om modellane er gyldige
Utforske og beskrive eigenskapane ved polynomfunksjonar, rasjonale funksjonar, eksponentialfunksjonar og potensfunksjonar

Vipebestand med eksponentielle modeller

Sync på tvers av enheter

Vipebestand med eksponentielle modeller

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave