Vinkler og vinkelrette vektorer

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Gitt tre punkt $A (1, 3)$ , $B (4, 0)$ og $C (9, 4)$ .

Bruk vektorregning til å avgjøre om $∠ C B A$ er mindre enn, lik eller større enn $90 °$ .

Et punkt $P$ ligger på linjen som går gjennom $B$ og $C$ .

Bruk vektorregning til å bestemme koordinatene til punktet $P$ slik at $\vec{A B} ⟂ \vec{A P}$ .

Fasit

$∠ C B A > 90 °$

$P (- 26, - 24)$

LøsningsforslagKI-generert

Vi finner vektorene fra $B$ til henholdsvis $A$ og $C$ :

\vec{B A} = A - B = (1 - 4, 3 - 0) = (- 3, 3)

\vec{B C} = C - B = (9 - 4, 4 - 0) = (5, 4)

Vi beregner skalarproduktet:

\vec{B A} \cdot \vec{B C} = (- 3) \cdot 5 + 3 \cdot 4 = - 15 + 12 = - 3

Siden $\vec{B A} \cdot \vec{B C} < 0$ , er vinkelen mellom vektorene større enn $90 °$ .

$∠ C B A > 90 °$

Vi parametriserer linjen gjennom $B$ og $C$ :

P = B + s \cdot \vec{B C} = (4 + 5 s, 4 s), s \in ℝ

Vektoren fra $A$ til $P$ blir:

\vec{A P} = P - A = (4 + 5 s - 1, 4 s - 3) = (3 + 5 s, 4 s - 3)

Vektoren $\vec{A B}$ :

\vec{A B} = B - A = (4 - 1, 0 - 3) = (3, - 3)

Kravet $\vec{A B} ⟂ \vec{A P}$ betyr at skalarproduktet er null:

\vec{A B} \cdot \vec{A P} = 0

3 (3 + 5 s) + (- 3) (4 s - 3) = 0

9 + 15 s - 12 s + 9 = 0

3 s + 18 = 0

s = - 6

Vi setter $s = - 6$ inn i parametriseringen:

P = (4 + 5 \cdot (- 6), 4 \cdot (- 6)) = (4 - 30, - 24) = (- 26, - 24)

$P = (- 𝟐𝟔, - 𝟐𝟒)$

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 4 poeng

Kandidater som bruker skalarprodukt og konkluderer med at vinkelen ikke er 90 grader kan få 1 poeng. For å få full uttelling må kandidaten ha et argument for at vinkelen er større enn 90 grader.

Kandidater som bruker riktig strategi, men som gjør en liten regnefeil, kan få 2 poeng.

Oppgavedata

Hentet fra: R1 V2023, del 1, oppgave 3
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Vektorer, Geometri
Kompetansemål: Forstå begrepet vektor og regneregler for vektorer i planet, og bruke vektorer til å beregne ulike størrelser i planet

Vinkler og vinkelrette vektorer

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Vinkler og vinkelrette vektorer

Lov på eksamen

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Vinkler og vinkelrette vektorer

Vinkler og vinkelrette vektorer

Lov på eksamen

Temaer