Vinkler og tyngdepunkt i trekanter med vektorer

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En $△ A B C$ har hjørnene $A (3, 5)$ , $B (6, 5)$ og $C (7, 9)$ .

Kalkulator

Bestem $\vec{A B}$ , $\vec{A C}$ og bruk vektorregning til å bestemme $∠ B A C$ .

Tyngdepunktet $T$ til en trekant med hjørnene $A$ , $B$ og $C$ er generelt gitt ved

\vec{O T} = \frac{1}{3} (\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C}), der O er origo.

For hånd

Bestem, ved vektorregning, koordinatene til tyngdepunktet $T$ til $△ A B C$ .

En $△ D E F$ er gitt. To av hjørnene er $D (2, 3)$ og $E (- 3, 5)$ . Tyngdepunktet er $S (4, 2)$ .

For hånd

Bestem koordinatene til hjørnet $F$ .

Fasit

$∠ B A C = 45 °$

$T = (\frac{16}{3}, \frac{19}{3})$

$F = (13, - 2)$

LøsningsforslagKI-generert

Vi finner vektorene $\vec{A B}$ og $\vec{A C}$ ut fra koordinatene til hjørnene $A (3, 5)$ , $B (6, 5)$ og $C (7, 9)$ :

\vec{A B} = B - A = (6 - 3, 5 - 5) = (3, 0)

\vec{A C} = C - A = (7 - 3, 9 - 5) = (4, 4)

Vinkelen $∠ B A C$ mellom vektorene finner vi med formelen

\cos (∠ B A C) = \frac{\vec{A B} \cdot \vec{A C}}{| \vec{A B} | \cdot | \vec{A C} |}

Prikkproduktet er

\vec{A B} \cdot \vec{A C} = 3 \cdot 4 + 0 \cdot 4 = 12

Lengdene er

| \vec{A B} | = \sqrt{3^{2} + 0^{2}} = 3 | \vec{A C} | = \sqrt{4^{2} + 4^{2}} = \sqrt{32} = 4 \sqrt{2}

Dette gir

\cos (∠ B A C) = \frac{12}{3 \cdot 4 \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}

∠ B A C = \cos^{- 1} (\frac{\sqrt{2}}{2}) = 45 °

Se vinkelA i utklippet under, som bekrefter $∠ B A C = 45 °$ .

Tyngdepunktet er gitt ved $\vec{O T} = \frac{1}{3} (\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C})$ , altså gjennomsnittet av hjørnenes koordinater:

T = (\frac{3 + 6 + 7}{3}, \frac{5 + 5 + 9}{3}) = (\frac{16}{3}, \frac{19}{3})

Se Tx og Ty i utklippet, som gir $\frac{16}{3} \approx 5,33$ og $\frac{19}{3} \approx 6,33$ .

Vi bruker samme formel som i b), men nå er tyngdepunktet $S (4, 2)$ kjent og hjørnet $F$ er ukjent:

S = \frac{1}{3} (D + E + F) \Rightarrow F = 3 S - D - E

Med $D (2, 3)$ , $E (- 3, 5)$ og $S (4, 2)$ får vi

F = (3 \cdot 4 - 2 - (- 3), 3 \cdot 2 - 3 - 5) = (13, - 2)

Se Fx og Fy i utklippet, som bekrefter $F = (13, - 2)$ .

CAS-utregning av vinkel, tyngdepunkt og ukjent hjørne

Oppgavedata

Hentet fra: R1 H2017, del 2, oppgave 2
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: Vektorer, Geometri

Innstillinger