Vinkel og likebeint trekant med vektorer R1 V26

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Gitt punktene $A (1, - 3)$ , $B (4, 1)$ og $C (- 2, a)$ , der $a \in ℝ$ .

Bestem $a$ slik at vinkel $B A C$ blir $90 °$ .

Bestem $a$ slik at $| \vec{A B} | = | \vec{A C} |$ .

Fasit

$a = - \frac{3}{4}$

$a = 1$ eller $a = - 7$

LøsningsforslagKI-generert

Vi finner vektorene $\vec{A B}$ og $\vec{A C}$ :

\vec{A B} = B - A = (4 - 1, 1 - (- 3)) = (3, 4)

\vec{A C} = C - A = (- 2 - 1, a - (- 3)) = (- 3, a + 3)

Vinkel $B A C = 90 °$ når $\vec{A B}$ og $\vec{A C}$ er ortogonale, det vil si når skalarproduktet er null.

\vec{A B} \cdot \vec{A C} = 3 \cdot (- 3) + 4 \cdot (a + 3) = 0

- 9 + 4 a + 12 = 0

4 a + 3 = 0

a = - \frac{3}{4}

$a = - \frac{3}{4}$

Trekanten er likebeint med $| \vec{A B} | = | \vec{A C} |$ når de to sidene fra $A$ er like lange. Vi setter opp:

| \vec{A B} |^{2} = 3^{2} + 4^{2} = 9 + 16 = 25

| \vec{A C} |^{2} = {(- 3)}^{2} + {(a + 3)}^{2} = 9 + {(a + 3)}^{2}

Vi setter $| \vec{A B} |^{2} = | \vec{A C} |^{2}$ :

25 = 9 + {(a + 3)}^{2}

{(a + 3)}^{2} = 16

a + 3 = \pm 4

a = 1 eller a = - 7

$a = 1$ eller $a = - 7$

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 4 poeng

1 poeng for å finne vektorene og 1 poeng for å finne $a$ .

Kandidaten må finne begge verdiene for $a$ for å få full uttelling. En god strategi som ikke fører helt frem kan gi 1 poeng.

Oppgavedata

Hentet fra: R1 V2026, del 1, oppgave 7
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Vektorer, Skalarprodukt
Kompetansemål: Forstå begrepet vektor og regneregler for vektorer i planet, og bruke vektorer til å beregne ulike størrelser i planet

Innstillinger