Verdensbefolkning med eksponentialfunksjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

I 1960 var folketallet på jorden $3,0$ milliarder. I 2013 var folketallet $7,1$ milliarder. En god modell for utviklingen av folketallet er funksjonen $f$ gitt ved

f (t) = c \cdot e^{k \cdot t}

der $c$ og $k$ er konstanter og tiden $t$ er antall år etter 1960.

Kalkulator

Bestem konstantene $c$ og $k$ .

Kalkulator

Når vil folketallet passere 10 milliarder ifølge denne modellen?

Kalkulator

Forklar at folketallet stiger med en fast prosent hvert år ifølge modellen. Bestem denne faste, årlige prosenten.

Fasit

$c = 3,0, k \approx 0,01625$

$I løpet av 2034$

$\approx 1,64 % per år$

LøsningsforslagKI-generert

Tiden $t$ regnes som antall år etter 1960, så $t = 0$ svarer til 1960 og $t = 53$ svarer til 2013.

I 1960 er folketallet $3,0$ milliarder:

f (0) = c \cdot e^{k \cdot 0} = c = 3,0

Dermed er $c = 3,0$ .

I 2013 (dvs. $t = 53$ ) er folketallet $7,1$ milliarder:

f (53) = 3,0 \cdot e^{53 k} = 7,1

Vi løser for $k$ :

e^{53 k} = \frac{7,1}{3,0} \Rightarrow 53 k = \ln (\frac{7,1}{3,0}) \Rightarrow k = \frac{\ln (\frac{7,1}{3,0})}{53}

Dette er beregnet i GeoGebra CAS:

Vi finner $k \approx 0,01625$ , altså

f (t) = 3,0 \cdot e^{0,01625 \cdot t}

Svar: $c = 3,0 og k \approx 0,01625$ .

Folketallet passerer 10 milliarder når $f (t) = 10$ :

3,0 \cdot e^{k t} = 10 \Rightarrow e^{k t} = \frac{10}{3,0} \Rightarrow t = \frac{\ln (\frac{10}{3,0})}{k}

Fra CAS-utregningen over (t1 i skjermbildet) får vi

t \approx 74,07

Siden $t$ er antall år etter 1960, tilsvarer dette omtrent

1960 + 74,07 \approx 2034

Svar: Folketallet passerer $10 milliarder i løpet av 2034$ ifølge modellen.

Vi ser på forholdet mellom folketallet ett år senere og folketallet et gitt år:

\frac{f (t + 1)}{f (t)} = \frac{c \cdot e^{k (t + 1)}}{c \cdot e^{k t}} = \frac{e^{k t} \cdot e^{k}}{e^{k t}} = e^{k}

Dette uttrykket er en konstant (avhenger ikke av $t$ ), som betyr at folketallet hvert år multipliseres med den samme faktoren $e^{k}$ uansett hvilket år vi ser på. Det er nettopp definisjonen på en fast årlig prosentvis vekst.

Den årlige vekstfaktoren er

e^{k} = e^{0,01625} \approx 1,0164

Vekstfaktoren $1 + p = 1,0164$ gir en årlig prosentvis vekst på

p = (e^{k} - 1) \cdot 100 % \approx 1,64 %

Svar: Folketallet vokser med en fast, årlig prosent på omtrent $1,64 %$ ifølge modellen.

Oppgavedata

Hentet fra: R1 H2015, del 2, oppgave 1
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: Eksponentiell vekst, Modellering, Logaritmer

Verdensbefolkning med eksponentialfunksjon

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Verdensbefolkning med eksponentialfunksjon

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Verdensbefolkning med eksponentialfunksjon

Verdensbefolkning med eksponentialfunksjon

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer