Vektorfunksjoner og smygplan

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En kurve $C$ er grafen til vektorfunksjonen ${\vec{r}}_{1}$ gitt ved

{\vec{r}}_{1} (t) = [\sin t, t, \cos t], 0 < t < 2 π

For hånd

Bestem koordinatene til eventuelle punkter på $C$ der tangenten er parallell med $x y$ -planet.

For hånd

Vis at ${\vec{r}}_{1}^{'} (t) ⟂ {\vec{r}}_{1}^{''} (t)$ for alle $t$ .

For hånd

Vis at vinkelen mellom smygplanet og $y$ -aksen alltid er den samme for kurven $C$ . Bestem denne vinkelen.

En annen kurve er grafen til vektorfunksjonen ${\vec{r}}_{2}$ gitt ved

{\vec{r}}_{2} (t) = [\sin t, t, 2 \sin t + 1]

For hånd

Undersøk smygplanet til denne kurven for ulike verdier av $t$ . Gi en tolkning av det du har funnet i undersøkelsene dine.

Fasit

Punkt $(0, π, - 1)$

Se løsningsforslag — prikkproduktet er identisk lik 0.

Vinkelen er alltid $45 °$ .

Normalretningen er alltid $(- 2, 0, 1)$ — smygplanet har konstant orientering. Kurven ligger i planet $z = 2 x + 1$ .

LøsningsforslagKI-generert

Tangenten til kurven $C$ er gitt ved ${\vec{r}}_{1}^{'} (t)$ . Vi deriverer:

{\vec{r}}_{1}^{'} (t) = [\cos t, 1, - \sin t]

Tangenten er parallell med $x y$ -planet når $z$ -komponenten er null:

- \sin t = 0 ⟹ t = π (t \in ⟨ 0, 2 π ⟩)

Punktet på kurven ved $t = π$ :

{\vec{r}}_{1} (π) = [\sin π, π, \cos π] = [0, π, - 1]

Punktet $(0, π, - 1)$ er det eneste punktet der tangenten er parallell med $x y$ -planet.

Vi deriverer ${\vec{r}}_{1}^{'} (t)$ én gang til:

{\vec{r}}_{1}^{''} (t) = [- \sin t, 0, - \cos t]

Prikkproduktet er:

{\vec{r}}_{1}^{'} (t) \cdot {\vec{r}}_{1}^{''} (t) = \cos t \cdot (- \sin t) + 1 \cdot 0 + (- \sin t) \cdot (- \cos t)

= - \sin t \cos t + 0 + \sin t \cos t = 𝟎

GeoGebra CAS bekrefter:

Siden prikkproduktet er null for alle $t$ , er ${\vec{r}}_{1}^{'} (t) ⟂ {\vec{r}}_{1}^{''} (t)$ for alle $t$ . $■$

Smygplanet i et punkt inneholder ${\vec{r}}_{1}^{'} (t)$ og ${\vec{r}}_{1}^{''} (t)$ . Normalvektoren til smygplanet er:

\vec{n} = {\vec{r}}_{1}^{'} (t) \times {\vec{r}}_{1}^{''} (t)

Vi regner ut kryssprodukt komponent for komponent:

\vec{n} = | \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \cos t & 1 & - \sin t \\ - \sin t & 0 & - \cos t \end{matrix} |

= (1 \cdot (- \cos t) - (- \sin t) \cdot 0, (- \sin t) (- \sin t) - \cos t \cdot (- \cos t), \cos t \cdot 0 - 1 \cdot (- \sin t))

= (- \cos t, \sin^{2} t + \cos^{2} t, \sin t) = (- \cos t, 1, \sin t)

Lengden av $\vec{n}$ :

| \vec{n} |^{2} = \cos^{2} t + 1 + \sin^{2} t = 2 ⟹ | \vec{n} | = \sqrt{2}

Vinkelen $θ$ mellom normalvektoren $\vec{n}$ og $y$ -aksen $\hat{j} = (0, 1, 0)$ :

\cos θ = \frac{\vec{n} \cdot \hat{j}}{| \vec{n} | \cdot | \hat{j} |} = \frac{1}{\sqrt{2}} ⟹ θ = \frac{π}{4} = 45 °

GeoGebra CAS bekrefter $| \vec{n} |^{2} = 2$ og $θ = \frac{π}{4}$ :

Vinkelen mellom smygplanet og $y$ -aksen er $90 ° - θ = 90 ° - 45 ° = 45 °$ .

Siden $\cos θ = \frac{1}{\sqrt{2}}$ er uavhengig av $t$ , er vinkelen mellom smygplanet og $y$ -aksen alltid $45 °$ , uavhengig av hvilket punkt på kurven vi ser på. $■$

Vi finner ${\vec{r}}_{2}^{'} (t)$ og ${\vec{r}}_{2}^{''} (t)$ :

{\vec{r}}_{2} (t) = [\sin t, t, 2 \sin t + 1]

{\vec{r}}_{2}^{'} (t) = [\cos t, 1, 2 \cos t]

{\vec{r}}_{2}^{''} (t) = [- \sin t, 0, - 2 \sin t]

Normalvektoren til smygplanet:

{\vec{n}}_{2} = {\vec{r}}_{2}^{'} (t) \times {\vec{r}}_{2}^{''} (t)

= (1 \cdot (- 2 \sin t) - 2 \cos t \cdot 0, 2 \cos t \cdot (- \sin t) - \cos t \cdot (- 2 \sin t), \cos t \cdot 0 - 1 \cdot (- \sin t))

= (- 2 \sin t, - 2 \sin t \cos t + 2 \sin t \cos t, \sin t) = (- 2 \sin t, 0, \sin t)

= \sin t \cdot (- 2, 0, 1)

Tolkning: Normalvektoren ${\vec{n}}_{2} = \sin t \cdot (- 2, 0, 1)$ peker alltid i retningen $(- 2, 0, 1)$ (eller motsatt retning) uavhengig av $t$ (der $\sin t \neq 0$ ). Det betyr at smygplanet har den samme orienteringen for alle $t$ — det er alltid parallelt med planet med normal $(- 2, 0, 1)$ .

En naturlig forklaring er at kurven faktisk ligger i et fast plan: $z$ -komponenten er $2 \sin t + 1 = 2 x + 1$ , altså $z = 2 x + 1$ . Kurven $C_{2}$ ligger i sin helhet i planet $z = 2 x + 1$ , og smygplanet er det samme for alle punkter.

Merk at der $\sin t = 0$ (dvs. $t = 0, π, 2 π, \dots$ ) er ${\vec{r}}_{2}^{'}$ og ${\vec{r}}_{2}^{''}$ parallelle, og smygplanet er ikke definert i disse punktene.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 8 poeng

Det gis 1 poeng for rett strategi og i tillegg 1 poeng for å gjennomføre strategien og få rett svar.

Det gis full uttelling dersom kandidaten løser oppgaven rett og at løsningen blir kommunisert på en tilstrekkelig måte.

Det kan gis 1 poeng dersom kandidaten finner $\vec{n} = {\vec{r}}^{'} (t) \times {\vec{r}}^{''} (t)$ og en retningsvektor for $y$ -aksen, men ikke klarer å vise at cosinus til vinkelen er konstant (ved å bruke at $\sin^{2} t + \cos^{2} t = 1$ ).

For å få full uttelling må kandidaten vise at smygplanet har samme retning for alle verdier av $t$ . En fremragende løsning kommenterer at hele kurven ligger i ett plan.

Oppgavedata

Hentet fra: R2 H2023, del 2, oppgave 5
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Vanskegrad: 3
Poeng: 8
Temaer: Vektorer, Funksjoner, Bevis
Kompetansemål: Anvende parameterframstillinger til kurver og bruke parameterframstillinger til å løse naturvitenskapelige problemer inkludert problemer knyttet til fart og akselerasjon
Utforske og forstå regneregler for vektorer i rommet, og bruke vektorer til å beregne ulike størrelser i rommet

Vektorfunksjoner og smygplan

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Vektorfunksjoner og smygplan

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Vektorfunksjoner og smygplan

Vektorfunksjoner og smygplan

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer