Vektorer til å bestemme sidekanter og vinkler i trekant

I trekanten $A B C$ er $A (3, 1)$ , $B (2, - 2)$ og $C (5, 2)$ .

Avgjør ved hjelp av vektorregning hvilken side av trekanten som er kortest.

Avgjør ved hjelp av vektorregning om noen av vinklene er $90 °$ .

Fasit

$A C$ er kortest ( $| A C | = \sqrt{5} \approx 2,24$ )

Nei, ingen av vinklene er $90 °$ .

Løsningsforslag

Vi finner lengden til alle tre sidene ved å beregne de tre sidevektorene.

\vec{A B} = B - A = (2 - 3, - 2 - 1) = (- 1, - 3)

| \vec{A B} | = \sqrt{{(- 1)}^{2} + {(- 3)}^{2}} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10} \approx 3,16

\vec{A C} = C - A = (5 - 3, 2 - 1) = (2, 1)

| \vec{A C} | = \sqrt{2^{2} + 1^{2}} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5} \approx 2,24

\vec{B C} = C - B = (5 - 2, 2 - (- 2)) = (3, 4)

| \vec{B C} | = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5

Vi sammenligner: $\sqrt{5} < \sqrt{10} < 5$ , det vil si $| A C | < | A B | < | B C |$ .

$A C$ er den korteste siden med lengde $\sqrt{5} \approx 2,24$ .

En vinkel i trekanten er $90 °$ hvis og bare hvis de to sidevektorene ut fra det hjørnet er ortogonale, det vil si at prikkproduktet er null.

Vinkel i $A$ — vektorene $\vec{A B}$ og $\vec{A C}$ :

\vec{A B} \cdot \vec{A C} = (- 1) \cdot 2 + (- 3) \cdot 1 = - 2 - 3 = - 5 \neq 0

Ikke $90 °$ i $A$ .

Vinkel i $B$ — vektorene $\vec{B A} = - \vec{A B} = (1, 3)$ og $\vec{B C} = (3, 4)$ :

\vec{B A} \cdot \vec{B C} = 1 \cdot 3 + 3 \cdot 4 = 3 + 12 = 15 \neq 0

Ikke $90 °$ i $B$ .

Vinkel i $C$ — vektorene $\vec{C A} = - \vec{A C} = (- 2, - 1)$ og $\vec{C B} = - \vec{B C} = (- 3, - 4)$ :

\vec{C A} \cdot \vec{C B} = (- 2) \cdot (- 3) + (- 1) \cdot (- 4) = 6 + 4 = 10 \neq 0

Ikke $90 °$ i $C$ .

Siden intet prikkprodukt er null, er ingen av vinklene $90 °$ .

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 4 poeng

Svar uten bruk av vektorregning gir ingen uttelling. Riktig utregning av lengden til en av sidene, kan gi 1 poeng.

Svar uten bruk av vektorregning gir ingen uttelling. For å få full uttelling må kandidaten argumentere for at ingen av vinklene er 90 grader.

Oppgavedata

Hentet fra: R1 H2023, del 1, oppgave 3
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Vanskegrad: 1
Poeng: 4
Temaer: Vektorer
Kompetansemål: Forstå begrepet vektor og regneregler for vektorer i planet, og bruke vektorer til å beregne ulike størrelser i planet

Innstillinger