Vektorer og plan i rommet med tre punkter

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Gitt punktene $A (1, 1, 1)$ , $B (3, 2, 3)$ og $C (2, 7, 5)$ .

Finn $\vec{A B} \cdot \vec{A C}$

Finn $\vec{A B} \times \vec{A C}$

Punktene $A$ , $B$ og $C$ ligger i planet $α$ .

Finn likningen til planet $α$ . Undersøk om punktet $D (2, 2, 3)$ ligger i planet $α$ .

Bestem en parameterframstilling for en linje $l$ som går gjennom punktet $D$ , og som står vinkelrett på planet $α$ . Finn skjæringspunktet $S$ mellom $l$ og $α$ .

Fasit

$\vec{A B} \cdot \vec{A C} = 16$

$\vec{A B} \times \vec{A C} = (- 8, - 6, 11)$

$- 8 x - 6 y + 11 z + 3 = 0$ , $D$ ligger ikke i $α$

$S = (\frac{506}{221}, \frac{490}{221}, \frac{575}{221})$

LøsningsforslagKI-generert

Vi finner først vektorene $\vec{A B}$ og $\vec{A C}$ :

\vec{A B} = B - A = (3 - 1, 2 - 1, 3 - 1) = (2, 1, 2)

\vec{A C} = C - A = (2 - 1, 7 - 1, 5 - 1) = (1, 6, 4)

Skalarproduktet er

\vec{A B} \cdot \vec{A C} = 2 \cdot 1 + 1 \cdot 6 + 2 \cdot 4 = 2 + 6 + 8

$\vec{A B} \cdot \vec{A C} = 16$

Vi bruker formelen for kryssprodukt med $\vec{A B} = (2,1,2)$ og $\vec{A C} = (1,6,4)$ :

\vec{A B} \times \vec{A C} = | \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & 1 & 2 \\ 1 & 6 & 4 \end{matrix} |

= (1 \cdot 4 - 2 \cdot 6) \vec{i} - (2 \cdot 4 - 2 \cdot 1) \vec{j} + (2 \cdot 6 - 1 \cdot 1) \vec{k}

= (4 - 12) \vec{i} - (8 - 2) \vec{j} + (12 - 1) \vec{k} = - 8 \vec{i} - 6 \vec{j} + 11 \vec{k}

$\vec{A B} \times \vec{A C} = (- 8, - 6, 11)$

Kryssproduktet $\vec{A B} \times \vec{A C}$ står vinkelrett på både $\vec{A B}$ og $\vec{A C}$ , og er dermed en normalvektor $\vec{n} = (- 8, - 6, 11)$ til planet $α$ som inneholder $A$ , $B$ og $C$ .

Planlikningen med normalvektor $\vec{n} = (n_{1}, n_{2}, n_{3})$ gjennom punktet $A (a_{1}, a_{2}, a_{3})$ er

n_{1} (x - a_{1}) + n_{2} (y - a_{2}) + n_{3} (z - a_{3}) = 0

Med $A (1,1,1)$ og $\vec{n} = (- 8, - 6,11)$ :

- 8 (x - 1) - 6 (y - 1) + 11 (z - 1) = 0

- 8 x + 8 - 6 y + 6 + 11 z - 11 = 0

- 8 x - 6 y + 11 z + 3 = 0

Vi undersøker om $D (2,2,3)$ ligger i planet ved å sette inn:

- 8 \cdot 2 - 6 \cdot 2 + 11 \cdot 3 + 3 = - 16 - 12 + 33 + 3 = 8 \neq 0

Siden venstre side ikke blir null, ligger $D ikke i planet α$ .

Linjen $l$ skal stå vinkelrett på planet $α$ , og kan derfor bruke normalvektoren $\vec{n} = (- 8, - 6, 11)$ til $α$ som retningsvektor. Linjen går gjennom $D (2,2,3)$ , så en parameterframstilling er

l : {\begin{matrix} x = 2 - 8 t \\ y = 2 - 6 t \\ z = 3 + 11 t \end{matrix}, t \in ℝ

For å finne skjæringspunktet $S$ mellom $l$ og $α$ setter vi parameterframstillingen inn i planlikningen $- 8 x - 6 y + 11 z + 3 = 0$ :

- 8 (2 - 8 t) - 6 (2 - 6 t) + 11 (3 + 11 t) + 3 = 0

- 16 + 64 t - 12 + 36 t + 33 + 121 t + 3 = 0

8 + 221 t = 0

t = - \frac{8}{221}

Vi setter denne $t$ -verdien inn i parameterframstillingen:

x = 2 - 8 \cdot (- \frac{8}{221}) = 2 + \frac{64}{221} = \frac{442 + 64}{221} = \frac{506}{221}

y = 2 - 6 \cdot (- \frac{8}{221}) = 2 + \frac{48}{221} = \frac{442 + 48}{221} = \frac{490}{221}

z = 3 + 11 \cdot (- \frac{8}{221}) = 3 - \frac{88}{221} = \frac{663 - 88}{221} = \frac{575}{221}

$S = (\frac{506}{221}, \frac{490}{221}, \frac{575}{221})$

Oppgavedata

Hentet fra: R2 H2009, del 1, oppgave 2
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Temaer: Vektorer, Romgeometri, Plan, Parameterframstilling

Vektorer og plan i rommet med tre punkter

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Vektorer og plan i rommet med tre punkter

Lov på eksamen

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Vektorer og plan i rommet med tre punkter

Vektorer og plan i rommet med tre punkter

Lov på eksamen

Temaer