Vektorer lengde og vinkel med prikkprodukt R1 V22

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

For vektorene $\vec{a}$ og $\vec{b}$ er $| \vec{a} | = 2$ , $| \vec{b} | = 3$ og $\vec{a} \cdot \vec{b} = - 3$ .

Vi lar $\vec{u} = \vec{a} + \vec{b}$ og $\vec{v} = \vec{a} - 6 \vec{b}$ .

For hånd

Bestem lengden av $\vec{u}$ og $\vec{v}$ .

Kalkulator

Bestem vinkelen mellom $\vec{u}$ og $\vec{v}$ .

Fasit

$| \vec{u} | = \sqrt{7}$ , $| \vec{v} | = 2 \sqrt{91}$

Vinkelen mellom $\vec{u}$ og $\vec{v}$ er omtrent $134 °$

LøsningsforslagKI-generert

Vi bruker at $| \vec{w} |^{2} = \vec{w} \cdot \vec{w}$ .

Lengden av $\vec{u} = \vec{a} + \vec{b}$ :

| \vec{u} |^{2} = (\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = | \vec{a} |^{2} + 2 \vec{a} \cdot \vec{b} + | \vec{b} |^{2}

| \vec{u} |^{2} = 2^{2} + 2 \cdot (- 3) + 3^{2} = 4 - 6 + 9 = 7

| \vec{u} | = \sqrt{7}

Lengden av $\vec{v} = \vec{a} - 6 \vec{b}$ :

| \vec{v} |^{2} = (\vec{a} - 6 \vec{b}) \cdot (\vec{a} - 6 \vec{b}) = | \vec{a} |^{2} - 12 \vec{a} \cdot \vec{b} + 36 | \vec{b} |^{2}

| \vec{v} |^{2} = 2^{2} - 12 \cdot (- 3) + 36 \cdot 3^{2} = 4 + 36 + 324 = 364

| \vec{v} | = \sqrt{364} = 2 \sqrt{91}

Vi bruker formelen $\cos θ = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{| \vec{u} | | \vec{v} |}$ .

Først regner vi ut prikkproduktet $\vec{u} \cdot \vec{v}$ :

\vec{u} \cdot \vec{v} = (\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - 6 \vec{b}) = | \vec{a} |^{2} - 6 \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{b} - 6 | \vec{b} |^{2}

= | \vec{a} |^{2} - 5 \vec{a} \cdot \vec{b} - 6 | \vec{b} |^{2}

= 4 - 5 \cdot (- 3) - 6 \cdot 9 = 4 + 15 - 54 = - 35

Deretter setter vi inn i vinkelformelen:

\cos θ = \frac{- 35}{\sqrt{7} \cdot 2 \sqrt{91}} = \frac{- 35}{2 \sqrt{637}} = \frac{- 35}{2 \cdot 7 \sqrt{13}} = \frac{- 5}{2 \sqrt{13}}

θ = \arccos (\frac{- 5}{2 \sqrt{13}}) \approx 134 °

Oppgavedata

Hentet fra: R1 V2022, del 2, oppgave 2
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Temaer: Geometri

Innstillinger