Vektorer kollinearitet og rett vinkel i trekant

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Vi har punktene $A (2, 1)$ , $B (4, 5)$ og $C (t + 3, t)$ .

For hånd

Bruk vektorregning til å bestemme $t$ slik at punktene $A$ , $B$ og $C$ ligger på en rett linje.

For hånd

Bruk vektorregning til å bestemme $t$ slik at $∠ A C B = 90 °$ .

Fasit

$t = - 3$

$t = 1 eller t = 2$

LøsningsforslagKI-generert

Vi har punktene $A (2, 1)$ , $B (4, 5)$ og $C (t + 3, t)$ .

Punktene $A$ , $B$ og $C$ ligger på en rett linje når vektorene $\vec{A B}$ og $\vec{A C}$ er parallelle, altså når de er kollineære (den ene er et tall ganger den andre). Vi finner vektorene:

\vec{A B} = (4 - 2, 5 - 1) = (2, 4)

\vec{A C} = (t + 3 - 2, t - 1) = (t + 1, t - 1)

To vektorer $(a_{1}, a_{2})$ og $(b_{1}, b_{2})$ er parallelle når $a_{1} \cdot b_{2} - a_{2} \cdot b_{1} = 0$ . Vi setter opp likningen:

2 (t - 1) - 4 (t + 1) = 0

2 t - 2 - 4 t - 4 = 0

- 2 t - 6 = 0

t = - 3

Kontroll i GeoGebra CAS (linje 1 i utklippet) gir samme svar.

Vektorer kollinearitet og rett vinkel i trekant

$∠ A C B = 90 °$ betyr at vektorene $\vec{C A}$ og $\vec{C B}$ står vinkelrett på hverandre, altså at $\vec{C A} \cdot \vec{C B} = 0$ . Vi finner vektorene:

\vec{C A} = A - C = (2 - (t + 3), 1 - t) = (- t - 1, - t + 1)

\vec{C B} = B - C = (4 - (t + 3), 5 - t) = (- t + 1, - t + 5)

Skalarproduktet settes lik null:

\vec{C A} \cdot \vec{C B} = (- t - 1) (- t + 1) + (- t + 1) (- t + 5) = 0

Vi kan faktorisere ut $(- t + 1)$ :

(- t + 1) [(- t - 1) + (- t + 5)] = 0

(- t + 1) (- 2 t + 4) = 0

Dette gir $- t + 1 = 0$ eller $- 2 t + 4 = 0$ , altså

t = 1 eller t = 2

Kontroll i GeoGebra CAS (linje 2 i utklippet) gir samme svar.

Oppgavedata

Hentet fra: R1 H2014, del 2, oppgave 3
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Vektorer, Skalarprodukt, Geometri

Vektorer kollinearitet og rett vinkel i trekant

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Vektorer kollinearitet og rett vinkel i trekant

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Vektorer kollinearitet og rett vinkel i trekant

Vektorer kollinearitet og rett vinkel i trekant

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer