Vi starter med å faktorisere nevneren:

Definisjonsmengde

Nevneren i det opprinnelige uttrykket er null når $x=1$ eller $x=-1$, uansett hva $a$ og $b$ er. Definisjonsmengden er derfor alltid

Siden $x\ne 1$ er hele tiden, kan vi forkorte bort faktoren $(x-1)$ i teller og nevner:

Dette forenklede uttrykket beskriver grafen til $f$ overalt bortsett fra i $x=1$, der $f$ likevel er udefinert. Vi undersøker nå de ulike tilfellene for $a$ og $b$.

Tilfelle $a=0$

Da er $f(x)=0$ for alle $x$ i definisjonsmengden. Grafen er $x$-aksen, men med to hull — punktene $(\mathrm{1,0})$ og $(-\mathrm{1,0})$ er ikke med på grafen fordi de ikke ligger i definisjonsmengden.

Tilfelle $a\ne 0$ og $b=1$

Da blir $x+b=x+1$, slik at

Grafen er den vannrette linja $y=a$, men med hull i $(1,a)$ og $(-1,a)$.

Tilfelle $a\ne 0$ og $b\ne 1$ (det generelle tilfellet)

Vi ser på $f(x)={\displaystyle \frac{a(x+b)}{x+1}}$ for $x\ne 1,-1$:

Loddrett asymptote. I $x=-1$ er nevneren $0$. Telleren i $x=-1$ er $a(-1+b)=a(b-1)$, som er ulik null siden $a\ne 0$ og $b\ne 1$. Dermed er $x=-1$ en loddrett asymptote (ekte bruddpunkt, ikke hull).

Vannrett asymptote. Vi utfører polynomdivisjon:

Når $x\to \pm \infty$, går brøkleddet mot $0$, så $f(x)\to a$. Dermed er $y=a$ vannrett asymptote.

Hull i grafen. I $x=1$ er det forenklede uttrykket ${\displaystyle \frac{a(1+b)}{2}}$ — et vanlig tall, ikke udefinert. Men $x=1$ er likevel utenfor definisjonsmengden til $f$ (nevneren i det opprinnelige uttrykket er null der). Grafen har derfor et hull (en avtakbar diskontinuitet) i punktet

Nullpunkt. $f(x)=0$ når $x=-b$, forutsatt at $x=-b$ ligger i definisjonsmengden:

• Hvis $b\ne -1$, krysser grafen $x$-aksen i $x=-b$.
• Hvis $b=-1$, faller det mulige nullpunktet $x=-b=1$ sammen med hullet i $x=1$ — grafen har da ikke noe nullpunkt, siden punktet der den ville krysset aksen, er tatt bort.

Skjæring med $y$-aksen. $f(0)={\displaystyle \frac{a(0+b)}{0+1}}=ab$.

Oppsummering

For $a\ne 0$ og $b\ne 1$ er grafen til $f$ en forskjøvet og skalert hyperbel (som $y=\frac{1}{x}$) med

• loddrett asymptote $x=-1$
• vannrett asymptote $y=a$
• hull i $(1,{\displaystyle \frac{a(b+1)}{2}})$
• nullpunkt $x=-b$ (bortsett fra når $b=-1$, da forsvinner nullpunktet inn i hullet)
• $y$-skjæring i $y=ab$

De to spesialtilfellene $a=0$ (grafen blir $x$-aksen med to hull) og $b=1$ (grafen blir den vannrette linja $y=a$ med to hull) er degenererte utgaver der telleren og nevneren forkortes ytterligere.