Undersøkelse av stasjonært punkt med parameter i CAS

For hånd

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En funksjon $f$ er gitt ved

f (x) = x^{3} - 2 a x^{2} + a^{2} x, a > 0

Bruk CAS til å

vise at grafen til $f$ har et nullpunkt og et stasjonært punkt i $P (a, 0)$
avgjøre om $P$ er et toppunkt, et bunnpunkt eller et terrassepunkt

Fasit

$P (a, 0)$ er et $bunnpunkt$ .

LøsningsforslagKI-generert

Vi legger inn $f (x) = x^{3} - 2 a x^{2} + a^{2} x$ i CAS.

CAS-utregning av f(x), faktorisering, f'(x), f''(x) og f''(a)

Nullpunkt i $P (a, 0)$ . CAS faktoriserer $f (x)$ (linje 2):

f (x) = x {(x - a)}^{2}

Setter vi inn $x = a$ (linje 3), får vi $f (a) = a \cdot {(a - a)}^{2} = 0$ . Dermed går grafen til $f$ gjennom punktet $P (a, 0)$ , altså er $P$ et nullpunkt.

Stasjonært punkt i $P (a, 0)$ . CAS deriverer (linje 4) og faktoriserer (linje 5):

f^{'} (x) = 3 x^{2} - 4 a x + a^{2} = (x - a) (3 x - a)

Setter vi inn $x = a$ : $f^{'} (a) = (a - a) (3 a - a) = 0$ . Siden $f^{'} (a) = 0$ , er $P (a, 0)$ et stasjonært punkt.

Klassifisering av $P$ . CAS finner andrederiverte (linje 6) og verdien i $x = a$ (linje 7):

f^{''} (x) = 6 x - 4 a f^{''} (a) = 2 a

Siden $a > 0$ er $f^{''} (a) = 2 a > 0$ . Andrederivert-testen sier da at $P (a, 0)$ er et $𝐛𝐮𝐧𝐧𝐩𝐮𝐧𝐤𝐭$ (lokalt minimum).

Oppgavedata

Hentet fra: 1T V2017, del 2, oppgave 6
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: CAS, Polynomfunksjoner, Derivasjon, Stasjonære punkter

Undersøkelse av stasjonært punkt med parameter i CAS

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Undersøkelse av stasjonært punkt med parameter i CAS

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Undersøkelse av stasjonært punkt med parameter i CAS

Undersøkelse av stasjonært punkt med parameter i CAS

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer