Uendelig geometrisk rekke og brøk

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Tallet $x = 0,555 \dots$ består av uendelig mange 5-tall etter komma.

Forklar at vi kan se på dette tallet som summen av den uendelige geometriske rekken

\frac{5}{10} + \frac{5}{10^{2}} + \frac{5}{10^{3}} + \dots

Bruke dette til å skrive $x$ som en brøk.

Tallet $y = 0,232323 \dots$ kan skrives som en uendelig geometrisk rekke. Bruk dette til å skrive $y$ som en brøk.

Fasit

$x = \frac{5}{9}$

$y = \frac{23}{99}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi skriver $x = 0,555 \dots$ som en sum:

x = \frac{5}{10} + \frac{5}{10^{2}} + \frac{5}{10^{3}} + \dots

Dette er en uendelig geometrisk rekke med første ledd $a_{1} = \frac{5}{10}$ og kvotient $k = \frac{1}{10}$ .

Siden $| k | = \frac{1}{10} < 1$ konvergerer rekken, og summen er:

x = \frac{a_{1}}{1 - k} = \frac{\frac{5}{10}}{1 - \frac{1}{10}} = \frac{\frac{5}{10}}{\frac{9}{10}} = \frac{5}{10} \cdot \frac{10}{9} = \frac{5}{9}

Vi skriver $y = 0,232323 \dots$ som en sum:

y = \frac{23}{100} + \frac{23}{100^{2}} + \frac{23}{100^{3}} + \dots

Dette er en uendelig geometrisk rekke med første ledd $a_{1} = \frac{23}{100}$ og kvotient $k = \frac{1}{100}$ .

Siden $| k | = \frac{1}{100} < 1$ konvergerer rekken, og summen er:

y = \frac{a_{1}}{1 - k} = \frac{\frac{23}{100}}{1 - \frac{1}{100}} = \frac{\frac{23}{100}}{\frac{99}{100}} = \frac{23}{100} \cdot \frac{100}{99} = \frac{23}{99}

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 4 poeng

Kandidaten må vise sammenhengen $0,555 \dots = 0,5 + 0,05 + 0,005 + \dots$ for å få full uttelling.

Oppgavedata

Hentet fra: S2 V2015, del 1, oppgave 4
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Uendelig rekke, Geometrisk rekke, Brøk

Innstillinger