Tunge kuler i kasse

I en kasse ligger det tre typer kuler. Disse veier henholdsvis 4 kg, 5 kg og 10 kg. Dersom vi trekker tilfeldig en kule, er sannsynligheten $\frac{1}{4}$ for at kulen veier 4 kg og $\frac{1}{2}$ for at den veier 5 kg.

Vis at $E (X) = 6 kg$ . Regn ut variansen til $X$ .

Vi trekker tilfeldig en kule og legger den tilbake igjen. Dette gjør vi to ganger. La $X_{1}$ være vekten til den første kulen vi trekker, og $X_{2}$ vekten til den andre kulen vi trekker. La $Y = X_{1} + X_{2}$ .

Sett opp sannsynlighetsfordelingen til $Y$ .

Bestem $P (Y > 10)$ .

Fasit

$E (X) = 6$ kg, $Var (X) = 5,5$

Se LF

$\frac{7}{16}$

Løsningsforslag

Siden det kun er tre typer kuler så må sannsynligheten for å trekke en kule som veier 10 kg være

P (10 kg) = 1 - \frac{1}{4} - \frac{1}{2} = \frac{1}{4}

Forventningsverdien er summen av produktene av sannsynlighet $\times$ verdi. Altså:

E (X) = \frac{1}{4} \cdot 4 + \frac{1}{2} \cdot 5 + \frac{1}{4} \cdot 10 = \frac{2}{2} + \frac{5}{2} + \frac{5}{2} = \frac{12}{2} = 6

For å finne variansen må vi finne differansen til gjennomsnittet for hver verdi, kvadrere denne differansen og multiplisere den med sannsynligheten for observasjonsverdien.

$x$	$E (x) - x$	$P (X = x)$	${(E (x) - x)}^{2} \cdot P (X = x)$
4	2	$\frac{1}{4}$	$2^{2} \cdot \frac{1}{4} = 1$
5	1	$\frac{1}{2}$	$1^{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$
10	4	$\frac{1}{4}$	$4^{2} \cdot \frac{1}{4} = 4$
Sum			5,5

Jeg har vist at forventningsverdien er 6 kg og at variansen er 5,5 kg.

Valgtre til oppgave 1-5

Se valgtreet over. Jeg ser at utfallene for $Y = X_{1} + X_{2}$ er 8, 9, 10, 14, 15 og 20. Jeg bruker valgtreet til å beregne sannsynligheten for hvert utfall

$y$	$P (Y = y)$
8	$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{16}$
9	$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \cdot 2 = \frac{1}{4}$
10	$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$
14	$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} \cdot 2 = \frac{1}{8}$
15	$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \cdot 2 = \frac{1}{4}$
20	$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{16}$

$P (Y > 10)$ betyr sannsynligheten for at $Y$ er større 10. Det stemmer når $Y = 14$ , $Y = 15$ og $Y = 20$ .

P (Y > 10) = P (Y = 14) + P (Y = 15) + P (Y = 20) = \frac{1}{8} + \frac{1}{4} + \frac{1}{16} = \frac{2 + 4 + 1}{16} = \frac{7}{16}

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 6 poeng

Det gis 1 poeng for riktig forventningsverdi og 1 poeng for varians. Dersom forventningsverdien er gal og formel for varians er riktig, kan det gis 1 poeng.

Dersom det er riktige $Y$ -verdier men mindre feil i sannsynlighetene, kan det gis 1 poeng.

Dersom kandidaten regner ut $P (Y \geq 10)$ kan det gis 1 poeng.

Oppgavedata

Hentet fra: S2 H2023, del 1, oppgave 5
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Sannsynlighet, Diskrete sannsynlighetsfordelinger, Forventningsverdi, Varians og standardavvik
Kompetansemål: Forstå begrepene forventningsverdi, varians og standardavvik, og bruke disse størrelsene til å tolke stokastiske variabler

Tunge kuler i kasse

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Tunge kuler i kasse

Lov på eksamen

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Tunge kuler i kasse

Tunge kuler i kasse

Lov på eksamen

Temaer