Trekantareal og sin 45 grader

Rettvinklet likebeint trekant

Bruk trekanten ovenfor til å vise at $\sin 45 ° = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Gitt en trekant $A B C$ der $A B = 3 \sqrt{2}$ , $A C = 8$ og $∠ A = 45 °$ .

Bestem arealet av trekanten.

Gitt en trekant $P Q R$ der $P Q = 3 \sqrt{2}$ , $P R = 8$ og $∠ P = 140 °$ .

Hvilken av trekantene $A B C$ og $P Q R$ har størst areal? Husk å argumentere for svaret ditt.

Fasit

Vis ved hjelp av trekanten

$T = 12$

Trekant $A B C$

LøsningsforslagKI-generert

Trekanten er rettvinklet og likebeint med kateter $= 1$ og hypotenus $= \sqrt{2}$ .

\sin 45 ° = \frac{motstående katet}{hypotenuse} = \frac{1}{\sqrt{2}} ■

T = \frac{1}{2} \cdot A B \cdot A C \cdot \sin A = \frac{1}{2} \cdot 3 \sqrt{2} \cdot 8 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = 12

T_{P Q R} = \frac{1}{2} \cdot 3 \sqrt{2} \cdot 8 \cdot \sin 140 °

$\sin 140 ° = \sin 40 ° \approx 0,643 < \sin 45 ° \approx 0,707$

Siden sidene er like men $\sin 45 ° > \sin 140 °$ , har trekant $A B C$ størst areal.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 5 poeng

En riktig definisjon av sinus til en spiss vinkel i en rettvinklet trekant gir 1 poeng.

En kandidat som setter opp et riktig uttrykk, men ikke kommer fram til riktig areal, får 1 poeng.

Oppgavedata

Hentet fra: 1T H2025, del 1, oppgave 5
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: Trigonometri, Arealsetningen
Kompetansemål: Grunngi sinus-, cosinus- og arealsetninga
Gjere greie for definisjonane av sinus, cosinus og tangens og bruke trigonometri til å berekne lengder, vinklar og areal i vilkårlege trekantar

Innstillinger